《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第10章 第3節(jié) 2項式定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第10章 第3節(jié) 2項式定理（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)二項式定理【考綱下載】1能利用計數(shù)原理證明二項式定理2會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題1二項式定理二項式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn(nN*)二項式系數(shù)二項展開式中各項系數(shù)C(r0,1，n)二項式通項Tr1Canrbr，它表示第r1項2二項式系數(shù)的性質(zhì)1二項式(xy)n的展開式的第k1項與(yx)n的展開式的第k1項一樣嗎？提示：盡管(xy)n與(yx)n的值相等，但它們的展開式形式是不同的，因此應(yīng)用二項式定理時，x，y的位置不能隨便交換2二項式系數(shù)與項的系數(shù)一樣嗎？提示：不一樣二項式系數(shù)是指C，C，C，它只與各項的項數(shù)有關(guān)，而與a，b的值無關(guān)；而項的系

2、數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且也與a，b的值有關(guān)1(xy)n的二項展開式中，第r項的系數(shù)是()AC BC CC D(1)r1C解析：選D本題中由于y的系數(shù)為負，故其第r項的系數(shù)為(1)r1C.2(20xx四川高考)(1x)7的展開式中x2的系數(shù)是()A42 B35 C28 D21解析：選D依題意可知，二項式(1x)7的展開式中x2的系數(shù)等于C1521.3CCCCCC的值為()A62 B63 C64 D65解析：選B因為CCCCCC(CCCCCCC)C26163.4.n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則n等于_解析：展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，n10.答

3、案：105(20xx南充模擬)(x1)9的展開式中x3的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：依題意知，(x1)9的展開式中x3的系數(shù)為CC84.答案：84高頻考點考點一 求二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù) 1二項式定理是高中數(shù)學(xué)中的一個重要知識點，也是高考命題的熱點，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為容易題或中檔題2高考對二項式定理的考查主要有以下幾個命題角度：(1)求二項展開式中的第n項；(2)求二項展開式中的特定項；(3)已知二項展開式的某項，求特定項的系數(shù)例1(1)(20xx江西高考)5展開式中的常數(shù)項為()A80 B80 C40 D40(2)(20xx遼寧高考)使n(nN*)的展

4、開式中含有常數(shù)項的最小的n為()A4 B5 C6 D7自主解答(1)此二項展開式的通項為Tr1C(x2)5r(1)r2rx3rC(1)r2rx105r.因為105r0，所以r2，所以常數(shù)項為T3C2240.(2)Tr1C(3x)nrxrC3nrxnrrC3nrxn(r0,1,2，n)，若Tr1是常數(shù)項，則有nr0，即2n5r(r0,1，n)，當r0,1時，n0，不滿足條件；當r2時，n5.答案(1)C(2)B【互動探究】若本例(2)中的條件“nN*”改為“n3”，其他條件不變，則展開式中的有理項最少有_項解析：由本例(2)中的自主解答可知：Tr1C3nrxn(r0,1,2，n)即當為整數(shù)時，T

5、r1為有理項顯然當n3時，r的取值最少，有r0，r2，即有理項為T1、T3兩項答案：2 求二項式展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的第n項可依據(jù)二項式的通項公式直接求出第n項(2)求展開式中的特定項可依據(jù)條件寫出第r1項，再由特定項的特點求出r值即可(3)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)可由某項得出參數(shù)項，再由通項公式寫出第r1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)1若二項式n的展開式中第5項是常數(shù)項，則正整數(shù)n的值可能為()A6 B10 C12 D15解析：選CTr1C()nrr(2)rCx，當r4時，0，又nN*，所以n12.2(20xx昆明模擬)(1)4的展開式中x的系數(shù)是

6、_解析：(1)4的展開式中x的項為C10()4xC14()02xx3x.所以x的系數(shù)為3.答案：3考點二二項式系數(shù)或各項系數(shù)和 例2(1)(20xx新課標全國卷)設(shè)m為正整數(shù)，(xy)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(xy)2m1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b，若13a7b，則m()A5 B6 C7 D8(2)若CC(nN*)且(3x)na0a1xa2x2anxn，則a0a1a2(1)nan_.自主解答(1)由題意得：aC，bC，所以13C7C，13，解得m6，經(jīng)檢驗為原方程的解，選B.(2)由CC，得3n1n6(無整數(shù)解)或3n123(n6)，解得n4，問題即轉(zhuǎn)化為求(3x)4的展開式中

7、各項系數(shù)和的問題，只需在(3x)4中令x1即得a0a1a2(1)nan3(1)4256.答案(1)B(2)256【方法規(guī)律】賦值法的應(yīng)用(1)形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x1即可(2)對形如(axby)n(a，bR)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令xy1即可(3)若f(x)a0a1xa2x2anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0a2a4，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1a3a5.1設(shè)(1x)na0a1xanxn，若a1a2an63，則展開式中系數(shù)最大的項是()A15x3 B20x3 C21x3

8、D35x3解析：選B在(1x)na0a1xanxn中，令x1得2na0a1a2an.令x0，得1a0，a1a2an2n163，n6.而(1x)6的展開式中系數(shù)最大的項為T4Cx320x3.2(20xx麗水模擬)若(12x)2 014a0a1xa2 013x2 013a2 014x2 014(xR)，則的值為()A2 B0 C1 D2解析：選C令x0，則a01，令x，則a00，1.考點三二項式定理的應(yīng)用 例3(1)已知2n23n5na能被25整除，求正整數(shù)a的最小值；(2)求1.028的近似值(精確到小數(shù)點后三位)自主解答(1)2n23n5na42n3n5na46n5na4(51)n5na4(C

9、5nC5n1C52C5C)5na4(C5nC5n1C52)25n4a，顯然正整數(shù)a的最小值為4.(2)1.028(10.02)8CC0.02C0.022C0.0231.172.【方法規(guī)律】1整除問題的解題思路利用二項式定理找出某兩個數(shù)(或式)之間的倍數(shù)關(guān)系，是解決有關(guān)整除性問題和余數(shù)問題的基本思路，關(guān)鍵是要合理地構(gòu)造二項式，并將它展開進行分析判斷2求近似值的基本方法利用二項式定理進行近似計算：當n不很大，|x|比較小時，(1x)n1nx.求證：(1)32n28n9能被64整除(nN*)；(2)3n(n2)2n1(nN*，n2)證明：(1)32n28n93232n8n999n8n99(81)n8

10、n99(C8nC8n1C8C1)8n99(8nC8n1C82)98n98n9982(8n2C8n3C)64n649(8n2C8n3C)n，顯然括號內(nèi)是正整數(shù)，故原式能被64整除(2)因為nN*，且n2，所以3n(21)n展開后至少有4項(21)n2nC2n1C212nn2n12n12nn2n1(n2)2n1，故3n(n2)2n1(nN*，n2)課堂歸納通法領(lǐng)悟1個公式二項展開式的通項公式通項公式主要用于求二項式的特定項問題，在運用時，應(yīng)明確以下幾點：(1)Canrbr是第r1項，而不是第r項；(2)通項公式中a，b的位置不能顛倒；(3)通項公式中含有a，b，n，r，Tr1五個元素，只要知道其中

11、的四個，就可以求出第五個，即“知四求一”3個注意點二項式系數(shù)的三個注意點(1)求二項式所有系數(shù)的和，可采用“賦值法”；(2)關(guān)于組合式的證明，常采用“構(gòu)造法”構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造同一問題的兩種算法；(3)展開式中第r1項的二項式系數(shù)與第r1項的系數(shù)一般是不相同的，在具體求各項的系數(shù)時，一般先處理符號，對根式和指數(shù)的運算要細心，以防出錯 前沿?zé)狳c(十六)與二項式定理有關(guān)的交匯問題1二項式定理作為一個獨特的內(nèi)容，在高考中總有所體現(xiàn)，常?？疾槎検蕉ɡ淼耐棥㈨椀南禂?shù)、各項系數(shù)的和等2二項式定理作為一個工具，也常常與其他知識交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與函數(shù)交匯等因此在一些題目中不僅僅考查二項式

12、定理，還要考查其他知識，其解題的關(guān)鍵點是它們的交匯點，注意它們的聯(lián)系即可典例(20xx陜西高考)設(shè)函數(shù)f(x)則當x0時，ff(x)表達式的展開式中常數(shù)項為() A20 B20 C15 D15解題指導(dǎo)先尋找x0時f(x)的取值，再尋找ff(x)的表達式，再利用二項式定理求解解析x0時，f(x)0，則二項式6的展開式中的常數(shù)項是_解析：由a2a20，且a0，可得a2，所以二項展開式的通項是Tr1 C(2)6rrC26r(1)rx3r，令3r0，得r3，故二項展開式中的常數(shù)項是 C23160.答案：160全盤鞏固1在5的二項展開式中，x的系數(shù)為()A10 B10 C40 D40解析：選DTr1C(

13、2x2)5rr(1)r25rCx103r，令103r1，得r3.所以x的系數(shù)為(1)3253C40.2在(1)2(1)4的展開式中，x的系數(shù)等于()A3 B3 C4 D4解析：選B因為(1)2的展開式中x的系數(shù)為1，(1)4的展開式中x的系數(shù)為C4，所以在(1)2(1)4的展開式中，x的系數(shù)等于3.3(20xx全國高考)(1x)8(1y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是()A56 B84 C112 D168 解析：選D(1x)8展開式中x2的系數(shù)是C，(1y)4的展開式中y2的系數(shù)是C，根據(jù)多項式乘法法則可得(1x)8(1y)4展開式中x2y2的系數(shù)為CC286168.4.5的展開式中各項系數(shù)的和

14、為2，則該展開式中常數(shù)項為()A40 B20 C20 D40解析：選D由題意，令x1得展開式各項系數(shù)的和為(1a)(21)52，a1.二項式5的通項公式為Tr1C(1)r25rx52r，5展開式中的常數(shù)項為xC(1)322x1C(1)223x408040.5在(1x)na0a1xa2x2a3x3anxn中，若2a2an30，則自然數(shù)n的值是()A7 B8 C9 D10解析：選B易知a2C，an3(1)n3C(1)n3C，又2a2an30，所以2C(1)n3C0，將各選項逐一代入檢驗可知n8滿足上式6設(shè)aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，則a()A0 B1 C11 D12解析：選D

15、512 012a(1341)2 012a，被13整除余1a，結(jié)合選項可得a12時，512 012a能被13整除7(20xx杭州模擬)二項式5的展開式中第四項的系數(shù)為_解析：由已知可得第四項的系數(shù)為C(2)380，注意第四項即r3.答案：808(20xx四川高考)二項式(xy)5的展開式中，含x2y3的項的系數(shù)是_(用數(shù)字作答)解析：由二項式定理得(xy)5的展開式中x2y3項為Cx53y310x2y3，即x2y3的系數(shù)為10.答案：109(20xx浙江高考)設(shè)二項式5的展開式中常數(shù)項為A，則A_.解析：因為5的通項Tr1C()5rr(1)rCxx(1)rCx.令155r0，得r3，所以常數(shù)項為

16、(1)3Cx010.即A10.答案：1010已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6；(4)|a0|a1|a2|a7|.解：令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，則a0a1a2a3a4a5a6a737.(1)a0C1，a1a2a3a72.(2)()2，得a1a3a5a71 094.(3)()2，得a0a2a4a61 093.(4)(12x)7展開式中a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 1

17、87.11若某一等差數(shù)列的首項為CA，公差為m的展開式中的常數(shù)項，其中m是777715除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項的和最大？并求出這個最大值解：設(shè)該等差數(shù)列為an，公差為d，前n項和為Sn.由已知得又nN*，n2，CACACA54100，a1100.777715(761)77157677C7676C7611576(7676C7675C)1476M14(MN*)，777715除以19的余數(shù)是5，即m5.m的展開式的通項是Tr1C5rr(1)rC52rxr5(r0,1,2,3,4,5)，令r50，得r3，代入上式，得T44，即d4，從而等差數(shù)列的通項公式是an100(n1)(4)1044n.設(shè)

18、其前k項之和最大，則解得k25或k26，故此數(shù)列的前25項之和與前26項之和相等且最大，S25S2625251 300.12從函數(shù)角度看，組合數(shù)C可看成是以r為自變量的函數(shù)f(r)，其定義域是r|rN，rn(1)證明：f(r)f(r1)；(2)利用(1)的結(jié)論，證明：當n為偶數(shù)時，(ab)n的展開式中最中間一項的二項式系數(shù)最大解：(1)證明：f(r)C，f(r1)C，f(r1).則f(r)f(r1)成立(2)設(shè)n2k，f(r)f(r1)，f(r1)0，.令f(r)f(r1)，則1，則rk(等號不成立)當r1,2，k時，f(r)f(r1)成立反之，當rk1，k2，2k時，f(r)f(r1)成立f(k)C最大，即(ab)n的展開式中最中間一項的二項式系數(shù)最大沖擊名校1(20xx新課標全國卷)已知(1ax)(1x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a()A4 B3 C2 D1解析：選D已知(1ax)(1x)5的展開式中，x2的系數(shù)為CaC5，則a1.2(20xx湖州模擬)6的展開式中的系數(shù)為12，則實數(shù)a的值為_解析：二項式6展開式中第r1項為Tr1C(2)6rrC26rarx3r，當3r2，即r5時，含有的項的系數(shù)是C2a512，解得a1.