《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 理一輪復習配套文檔：第10章 第4節(jié) 隨機事件的概率》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學 理一輪復習配套文檔：第10章 第4節(jié) 隨機事件的概率（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第四節(jié)隨機事件的概率【考綱下載】1了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率意義以及頻率與概率的區(qū)別2了解兩個互斥事件的概率加法公式1事件的分類2頻率和概率(1)在相同的條件S下重復n次實驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)為事件A出現(xiàn)的頻率(2)對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率3事件的關系與運算定義符號表示包含關系如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時稱事件B包含事件A(或稱事件A包含于事件B)BA

2、(或AB)相等關系若BA且AB，那么稱事件A與事件B相等AB并事件(和事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，稱此事件為事件A與事件B的并事件(或和事件)AB(或AB)交事件(積事件)若某事件發(fā)生當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件(或積事件)AB(或AB)互斥事件若AB為不可能事件，那么事件A與事件B互斥AB對立事件若AB為不可能事件，AB為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件AB且ABU4.概率的幾個基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0,1(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.(4)概率的加法公式如果事件A與事件B互斥，

3、則P(AB)P(A)P(B)若事件A與B互為對立事件，則AB為必然事件P(AB)1，P(A)1P(B)1概率和頻率有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學抽象當試驗次數(shù)越來越大時，頻率也越來越向概率接近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地看作隨機事件的概率2互斥事件和對立事件有什么區(qū)別和聯(lián)系？提示：互斥事件和對立事件都是針對兩個事件而言的在一次試驗中，兩個互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生；而對立事件則是必有一個發(fā)生，但不能同時發(fā)生所以兩個事件互斥但未必對立；反之兩個事件對立則它們一定互斥1下列事件中，隨機事件的個數(shù)為()物體在只受重力的作用下

4、會自由下落；方程x22x80有兩個實根；某信息臺每天的某段時間收到信息咨詢的請求次數(shù)超過10次；下周六會下雨A1 B2 C3 D4解析：選B為必然事件，為不可能事件，為隨機事件2(教材習題改編)從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是()A至少有一個紅球與都是紅球B至少有一個紅球與都是白球C至少有一個紅球與至少有一個白球D恰有一個紅球與恰有兩個紅球解析：選D對于A中的兩個事件不互斥，對于B中的兩個事件互斥且對立，對于C中的兩個事件不互斥，對于D中的兩個事件互斥而不對立3從某班學生中任意找出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在160,1

5、75的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8解析：選B由對立事件的概率可求該同學的身高超過175 cm的概率為 10.20.50.3.4甲、乙兩人下棋，兩人和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸?shù)母怕适莀解析：乙不輸?shù)氖录閮扇撕推寤蛞耀@勝，因此乙不輸?shù)母怕蕿?答案：5給出下列三個命題：有一大批產(chǎn)品，已知次品率為10%，從中任取100件，必有10件是次品；做7次拋硬幣的試驗，結(jié)果3次出現(xiàn)正面，因此正面出現(xiàn)的概率是；隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率其中錯誤的命題有_個解析：錯，不一定是10件次品；錯，是頻率而非概率；錯，頻率不

6、等于概率，這是兩個不同的概念答案：3考點一隨機事件的關系 例1(1)一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A表示“向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B表示“向上的一面出現(xiàn)的數(shù)不超過3”，事件C表示“向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4”，則()AA與B是互斥而非對立事件BA與B是對立事件CB與C是互斥而非對立事件DB與C是對立事件(2)判斷下列給出的每對事件是互斥事件還是對立事件，并說明理由從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花各10張，且點數(shù)都為110)中，任取一張“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；“抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)

7、”與“抽出的牌點數(shù)大于9”自主解答(1)AB出現(xiàn)點數(shù)1或3，事件A，B不互斥更不對立；BC，BC(為所有基本事件的全集)，故事件B、C是對立事件(2)是互斥事件，不是對立事件原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發(fā)生的，所以是互斥事件，但是，不能保證其中必有一個發(fā)生，這是由于還有可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對立事件既是互斥事件，又是對立事件原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”是不可能同時發(fā)生的，且其中必有一個發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對立事件不是互斥事件，也不是對立事件原因：從40張撲克牌中任意抽取1張，“

8、抽出的牌點數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于9”這兩個事件可能同時發(fā)生，如抽得牌點數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當然不可能是對立事件答案(1)D【方法規(guī)律】1互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是兩個事件之間的關系(2)所研究的兩個事件是在一次試驗中所涉及的(3)兩個事件互斥是從“試驗的結(jié)果不能同時出現(xiàn)”來確定的2從集合的角度理解互斥事件和對立事件(1)幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集(2)事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集.從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事

9、件：(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；(2)“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；(3)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”解：任取3只球，共有以下4種可能結(jié)果：“3只紅球”，“2只紅球1只白球”，“1只紅球2只白球”，“3只白球”(1)“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件(2)“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，可能同時不發(fā)生，故不是對立事件(3)“取出3只紅球”與“取出3

10、只球中至少有一只白球”不可能同時發(fā)生，故互斥其中必有一個發(fā)生，故對立(4)“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件高頻考點考點二 隨機事件的頻率與概率1隨機事件的頻率與概率有著一定的聯(lián)系，在統(tǒng)計學中，可通過計算事件發(fā)生的頻率去估算事件的概率，因此，它們也成為近幾年高考的命題熱點多以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會以選擇、填空題的形式出現(xiàn)多為容易題或中檔題2高考對該部分內(nèi)容的考查主要有以下幾個命題角度：(1)列出頻率分布表；(2)由頻率估計概率；(3)由頻率計算某部分的數(shù)量例2(20xx湖南高考)某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格

11、點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗，一株該種作物的年收獲量 Y(單位：kg)與它的“相近”作物株數(shù)X之間的關系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米(1)完成下表，并求所種作物的平均年收獲量；Y51484542頻數(shù)4 (2)在所種作物中隨機選取一株，求它的年收獲量至少為48 kg的概率自主解答(1)所種作物的總株數(shù)為1234515，其中“相近”作物株數(shù)為1的作物有2株，“相近”作物株數(shù)為2的作物有4株，“相近”作物株數(shù)為3的作物有6株，“相近”作物株數(shù)為4的作物有3株列表如下：Y5148

12、4542頻數(shù)2463所種作物的平均年收獲量為46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所種作物中隨機選取一株，它的年收獲量至少為48 kg的概率為P(Y48)P(Y51)P(Y48).【互動探究】若本例中的條件不變，試估計年收獲量介于42,48之間的可能性解：依題意知：法一：P(42x48)P(x42)P(x45)P(x48).法二：P(42x48)1P(x51)1. 隨機事件的頻率與概率的常見類型及解題策略(1)補全或?qū)懗鲱l率分布表可直接依據(jù)已知條件，逐一計數(shù)，寫出頻率(2)由頻率估計概率可以根據(jù)頻率與概率的關系，由頻率直接估計概率(3)由頻率估計某部分的數(shù)值可由頻率估計概率，

13、再由概率估算某部分的數(shù)值某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓練，各次訓練的成績?nèi)缦卤恚荷鋼舸螖?shù)100120150100150160150擊中飛碟數(shù)819512382119127121擊中飛碟的頻率 (1)將各次擊中飛碟的頻率填入表中；(2)這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？解：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率(1)射擊次數(shù)100，擊中飛碟數(shù)是81，故擊中飛碟的頻率是0.81，同理可求得下面的頻率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81.考點三互斥事件、對立事件的概率 例3(20xx洛陽模擬

14、)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應的概率如下：排隊人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊等候的概率是多少？(2)至少3人排隊等候的概率是多少？自主解答記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A、B、C、D、E、F互斥(1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：記“至少3人排隊等候”為事件H，則HDE

15、F，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)1P(G)0.44.【方法規(guī)律】求復雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接求法：將所求事件分解為一些彼此互斥的事件的和，運用互斥事件概率的加法公式計算(2)間接求法：先求此事件的對立事件，再用公式P(A)1P()求得，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接求法就會較簡便提醒：應用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個事件是否彼此互斥，然后求出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)某商場有獎銷售活動中，購滿100元商品得

16、1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1張獎券的中獎概率；(3)1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分別為，.(2)1張獎券中獎包含中特等獎、一等獎、二等獎設“1張獎券中獎”這個事件為M，則MABC.A、B、C兩兩互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1張獎券的中獎概率為.(3)設“1張獎券不中特等獎且不中一等獎”為事件N，則事件N與“1張獎券中特等獎或中一等獎

17、”為對立事件，P(N)1P(AB)1.故1張獎券不中特等獎且不中一等獎的概率為.課堂歸納通法領悟1個難點對頻率和概率的理解(1)依據(jù)定義求一個隨機事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗，用事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率，但是，某一事件的概率是一個常數(shù)，而頻率隨著試驗次數(shù)的變化而變化(2)概率意義下的“可能性”是大量隨機事件現(xiàn)象的客觀規(guī)律，與我們?nèi)粘Ｋf的“可能”“估計”是不同的也就是說，單獨一次結(jié)果的不確定性與積累結(jié)果的有規(guī)律性，才是概率意義下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本質(zhì)屬性1個重點對互斥事件與對立事件的理解(1)對于互斥事件要抓住如下特征進行理解：互斥事件研究的是兩個事件之間

18、的關系；所研究的兩個事件是在一次試驗中涉及的；兩個事件互斥是從試驗的結(jié)果中不能同時出現(xiàn)來確定的(2)對立事件是互斥事件的一種特殊情況，是指在一次試驗中有且只有一個發(fā)生的兩個事件，集合A的對立事件記作.從集合的角度來看，事件所含結(jié)果的集合正是全集U中由事件A所含結(jié)果組成的集合的補集，即AU，A.對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件 易誤警示(十三)忽視概率加法公式的應用條件致誤典例拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點，2點，3點，4點，5點，6點的概率都是，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“向上的點數(shù)不超過3”，求P(AB)解題指導由于AB中會有出現(xiàn)點數(shù)為1點，2點，3點，

19、5點四個互斥事件因此，可用概率加法公式解記事件“出現(xiàn)1點”“出現(xiàn)2點”“出現(xiàn)3點”“出現(xiàn)5點”分別為A1，A2，A3，A4，由題意知這四個事件彼此互斥故P(AB)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).名師點評1.如果審題不仔細，未對AB事件作出正確判斷，誤認為P(AB)P(A)P(B)，則易出現(xiàn)P(AB)1的錯誤2解決互斥事件的有關問題時，應重點注意以下兩點：(1)應用加法公式時，一定要注意其前提條件是涉及的事件是互斥事件(2)對于事件P(AB)P(A)P(B)，只有當A、B互斥時，等號成立全盤鞏固1給出以下結(jié)論：互斥事件一定對立；對立事件一定互斥；互斥事件不一定對立；事件A與B的和事件的

20、概率一定大于事件A的概率；事件A與B互斥，則有P(A)1P(B)其中正確命題的個數(shù)為()A0 B1 C2 D3解析：選C對立必互斥，互斥不一定對立，所以正確，錯；又當ABA時，P(AB)P(A)，所以錯；只有A與B為對立事件時，才有P(A)1P(B)，所以錯2從存放號碼分別為1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼，統(tǒng)計結(jié)果如下：卡片號碼12345678910取到次數(shù)138576131810119則取到號碼為奇數(shù)的卡片的頻率是()A0.53 B0.5 C0.47 D0.37解析：選A取到號碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：1356181153，則所求的頻率為0.53.

21、3某種產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品，在正常生產(chǎn)情況下，出現(xiàn)乙級品和丙級品的概率分別是5%和3%，則抽檢一件產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為()A0.95 B0.97 C0.92 D0.08解析：選C記“抽檢一件產(chǎn)品是甲級品”為事件A，“抽檢一件產(chǎn)品是乙級品”為事件B，“抽檢一件產(chǎn)品是丙級品”為事件C，這三個事件彼此互斥，因而抽檢一件產(chǎn)品是正品(甲級品)的概率為P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.4從16個同類產(chǎn)品(其中有14個正品，2個次品)中任意抽取3個，下列事件中概率為1的是()A三個都是正品B三個都是次品C三個中至少有一個是正品D三個中至少有一個是次品解析：選

22、C16個同類產(chǎn)品中，只有2件次品，抽取三件產(chǎn)品，A是隨機事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是隨機事件，又必然事件的概率為1，故C正確5從某校高二年級的所有學生中，隨機抽取20人，測得他們的身高(單位：cm)分別為：162153148154165168172171173150151152160165164179149158159175根據(jù)樣本頻率分布估計總體分布的原理，在該校高二年級的所有學生中任抽一人，估計該生的身高在155.5 cm170.5 cm之間的概率為()A. B. C. D.解析：選A從已知數(shù)據(jù)可以看出，在隨機抽取的這20位學生中，身高在155.5 cm170.5 cm之間的學

23、生有8人，頻率為，故可估計在該校高二年級的所有學生中任抽一人，其身高在155.5 cm170.5 cm之間的概率為.6(20xx舟山模擬)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分別為0.2、0.2、0.3、0.3，則下列說法正確的是()AAB與C是互斥事件，也是對立事件BBC與D是互斥事件，也是對立事件CAC與BD是互斥事件，但不是對立事件DA與BCD是互斥事件，也是對立事件解析：選D因為P(A)0.2，P(B)0.2，P(C)0.3，P(D)0.3，且P(A)P(B)P(C)P(D)1，所以A與BCD是互斥，也是對立事件7一個袋子中有紅球5個，黑球4個，現(xiàn)從中任取5個球，則至少

24、有1個紅球的概率為_解析：“從中任取5個球，至少有1個紅球”是必然事件，必然事件發(fā)生的概率為1.答案：18拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點”，事件B為“出現(xiàn)2點”，已知P(A)，P(B)，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率為_解析：由題意知“出現(xiàn)奇數(shù)點”的概率是事件A的概率，“出現(xiàn)2點”的概率是事件B的概率，事件A，B互斥，則“出現(xiàn)奇數(shù)點或2點”的概率為P(A)P(B).答案：9甲、乙兩顆衛(wèi)星同時監(jiān)測臺風，在同一時刻，甲、乙兩顆衛(wèi)星準確預報臺風的概率分別為0.8和0.75，則在同一時刻至少有一顆衛(wèi)星預報準確的概率為_解析：P10.20.250.95.答案：0.9510假設甲、乙兩種品

25、牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解他們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機抽取100個進行測試，結(jié)果統(tǒng)計如下：(1)估計甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個產(chǎn)品已使用了200小時，試估計該產(chǎn)品是甲品牌的概率解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的頻率為，用頻率估計概率，可得甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時的概率為.(2)根據(jù)頻數(shù)分布圖可得壽命大于200小時的兩種品牌產(chǎn)品共有7570145(個)，其中甲品牌產(chǎn)品有75個，所以在樣本中，壽命大于200小時的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是，用頻率估計概率，所以已使用了200小時的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為.11. (20xx

26、通化模擬)有A、B、C、D、E五位工人參加技能競賽培訓現(xiàn)分別從A、B二人在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次用如圖所示莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù) (1)A、B二人預賽成績的中位數(shù)分別是多少？(2)現(xiàn)要從A、B中選派一人參加技能競賽，從平均狀況和方差的角度考慮，你認為派哪位工人參加合適？請說明理由；(3)若從參加培訓的5位工人中選2人參加技能競賽，求A、B二人中至少有一人參加技能競賽的概率解：(1)A的中位數(shù)是84，B的中位數(shù)是83.(2)派A參加比較合適理由如下：A(7580808385909295)85，B(7379818284889598)85，s(7585)2(8085)2(8085)

27、2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241，s(7385)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9585)2(9885)260.5.AB，ssA的成績較穩(wěn)定，派A參加比較合適(3)任派兩個(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10種情況；A、B兩人都不參加有(C，D)，(C，E)，(D，E)3種至少有一個參加的對立事件是兩個都不參加，所以P1.12(20xx北京高考)近年來，某市為了促進生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他

28、垃圾三類，并分別設置了相應的垃圾箱為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1 000噸的生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下(單位：噸).“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060 (1)試估計廚余垃圾投放正確的概率；(2)試估計生活垃圾投放錯誤的概率；(3)假設廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a，b，c，其中a0，abc600.當數(shù)據(jù)a，b，c的方差s2最大時，寫出a，b，c的值(結(jié)論不要求證明)，并求此時s2的值注：s2(x1)2(x2)2(xn)2，其中為數(shù)據(jù)x1，x2，x

29、n的平均數(shù)解：(1)廚余垃圾投放正確的概率約為.(2)設生活垃圾投放錯誤為事件A，則事件表示生活垃圾投放正確事件的概率約為“廚余垃圾”箱里廚余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量與“其他垃圾”箱里其他垃圾量的總和除以生活垃圾總量，即P()0.7，所以P(A)10.70.3.(3)當a600，bc0時，s2取得最大值因為(abc)200，所以s2(600200)2(0200)2(0200)280 000.沖擊名校袋中有紅球、黑球、黃球、綠球若干，從中任取一球，得到紅球的概率為，得到黑球或黃球的概率為，得到黃球或綠球的概率為，求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是多少？解：記“得到紅球”為事件A，“得到黑球”為事件B，“得到黃球”為事件C，“得到綠球”為事件D，事件A，B，C，D顯然彼此互斥，則由題意可知，P(A)，P(BC)P(B)P(C)，P(CD)P(C)P(D)，由事件A和事件BCD是對立事件可得P(A)1P(BCD)1P(B)P(C)P(D)，即P(B)P(C)P(D)1P(A)1，聯(lián)立可得P(B)，P(C)，P(D).即得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率分別是，.