《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點題型:第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪突破熱點題型:第8章 第9節(jié) 圓錐曲線的綜合問題(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 第九節(jié)圓錐曲線的綜合問題 考點一圓錐曲線中的最值(或取值范圍)問題 例1(20xx新課標全國卷)平面直角坐標系xOy中,過橢圓M:1 (ab0)右焦點的直線xy0交M于A,B兩點,P為AB的中點,且OP的斜率為.(1)求M的方程;(2)C,D為M上的兩點,若四邊形ACBD的對角線CDAB,求四邊形ACBD面積的最大值自主解答(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則1,1,1,由此可得1.因為x1x22x0,y1y22y0,所以a22b2.又由題意知,M的右焦點為(,0),故a2b23.因此a26,b23.所以M的方程為1.(2)由解得或因此|AB|.由題意可設(shè)直線CD
2、的方程為yxn,設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)由得3x24nx2n260.于是x3,4.因為直線CD的斜率為1,所以|CD|x4x3|.由已知,四邊形ACBD的面積S|CD|AB|.當(dāng)n0時,S取得最大值,最大值為.所以四邊形ACBD面積的最大值為.【互動探究】若本例的條件不變,則四邊形ACBD的面積有最小值嗎?若有,求出其值;若沒有,說明理由解:由(2)可知3x24nx2n260,又yxn與橢圓1相交,(4n)243(2n26)8(9n2)0,即3n3,0n29,而SACBD,00.由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1x2,x1x2,因為x軸是PBQ的角平分線,所以,即y1(x21)y2(x11)
3、0,(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0,2kx1x2(kb)(x1x2)2b0,將代入,得2kb2(kb)(82bk)2k2b0,kb,此時0,直線l的方程為yk(x1),直線l過定點(1,0)【方法規(guī)律】圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系,找到定點(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關(guān)在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓1的左、右頂點為A、B,右焦點為F.設(shè)過點T(t,m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M(x1,y1)、N(x2,y2),其中m0,y1
4、0,y20,得m2,此時直線MN的方程為x1,過點D(1,0)若x1x2,則m2,直線MD的斜率kMD,直線ND的斜率kND,得kMDkND,所以直線MN過D點因此,直線MN必過x軸上的點(1,0)高頻考點考點三 圓錐曲線中的定值問題1圓錐曲線中的定值問題,是近幾年來高考命題的熱點,多以解答題的形式出現(xiàn),試題難度較大,多為高檔題2高考中關(guān)于圓錐曲線中的定值問題有以下幾個命題角度:(1)求代數(shù)式為定值;(2)求點到直線的距離為定值;(3)求某線段長為定值例3(20xx江西高考)橢圓C:1(ab0)的離心率e,ab3.(1)求橢圓C的方程;(2)如圖所示,A,B,D是橢圓C的頂點,P是橢圓C上除頂
5、點外的任意一點,直線DP交x軸于點N,直線AD交BP于點M,設(shè)BP的斜率為k,MN的斜率為m.證明:2mk為定值自主解答(1)因為e,所以ac,bc.代入ab3,得c,a2,b1.故橢圓C的方程為y21.(2)證明:法一:因為B(2,0),P不為橢圓頂點,則直線BP的方程為yk(x2),把代入y21,解得P.直線AD的方程為:yx1.與聯(lián)立解得M.由D(0,1),P,N(x,0)三點共線知,解得N.所以MN的斜率為m,則2mkk(定值)法二:設(shè)P(x0,y0)(x00,x02),則k,直線AD的方程為:y(x2),直線BP的方程為:y(x2),直線DP的方程為:y1x,令y0,由于y01,可得
6、N聯(lián)立解得M,因此MN的斜率為m,所以2mk(定值)圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略(1)求代數(shù)式為定值依題意設(shè)條件,得出與代數(shù)式參數(shù)有關(guān)的等式,代入代數(shù)式、化簡即可得出定值;(2)求點到直線的距離為定值利用點到直線的距離公式得出距離的解析式,再利用題設(shè)條件化簡、變形求得;(3)求某線段長度為定值利用長度公式求得解析式,再依據(jù)條件對解析式進行化簡、變形即可求得如圖所示,已知點A(1,)是離心率為的橢圓C:1(ab0)上的一點,斜率為的直線BD交橢圓C于B、D兩點,且A、B、D三點不重合(1)求橢圓C的方程;(2)ABD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,請說明理由;
7、(3)求證:直線AB、AD斜率之和為定值解:(1)由題意,可得e,1,a2b2c2,解得a2,b,c,所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)直線BD的方程為yxm,D(x1,y1),B(x2,y2),由得4x22mxm240,所以8m2640,則2m2,x1x2m,x1x2.所以|BD|x1x2|.設(shè)d為點A到直線BD:yxm的距離,所以d.所以SABD|BD|d,當(dāng)且僅當(dāng)8m2m2,即m2時取等號因為2(2,2),所以當(dāng)m2時,ABD的面積最大,最大值為.(3)證明:設(shè)直線AB、AD的斜率分別為kAB、kAD,則kADkAB2m,(*)將(2)中、式代入(*)式,整理得2m0,即kADkAB0.故直線AB、AD斜率之和為定值課堂歸納通法領(lǐng)悟2種方法求定值問題常見的兩種方法(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān);(2)直接推理、計算,并在此過程中消去變量,從而得到定值4個重視求定值、最值等圓錐曲線綜合問題要四重視(1)重視定義在解題中的作用;(2)重視平面幾何知識在解題中的作用;(3)重視根與系數(shù)的關(guān)系在解題中的作用;(4)重視曲線的幾何特征與方程的代數(shù)特征在解題中的作用5方面考慮求最值(或范圍)問題需從以下五方面考慮見本節(jié)考點一方法規(guī)律