《第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列（教案）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列（教案）（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 二輪數(shù)學專題三 數(shù)列第一講等差數(shù)列、等比數(shù)列考情分析等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時，也注重對函數(shù)與方程、等價轉化、分類討論等數(shù)學思想的考查；對等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題；等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和是高考考查的重點.年份卷別考查角度及命題位置2017卷等差數(shù)列的基本運算T4卷數(shù)學文化中的等比數(shù)列應用T3等差數(shù)列與裂項求和T15卷等差數(shù)列與等比數(shù)列的運算T9等比數(shù)列的基本運算T142016卷等差數(shù)列的基本運算T3等比數(shù)列的運算及二次函數(shù)最值問題T152015卷等比數(shù)列

2、的性質T4數(shù)列的遞推關系式、等差數(shù)列的定義與通項T16真題自檢1(2017高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和若a4a524，S648，則an的公差為()A1B2C4 D8解析：設等差數(shù)列an的公差為d，d4，故選C.答案：C2(2016高考全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100()A100 B99C98 D97解析：法一：an是等差數(shù)列，設其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199198.故選C.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差d

3、a10a5835.故a100a5(201)598.故選C.答案：C3(2015高考全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()A21 B42C63 D84解析：a13，a1a3a521，33q23q421.1q2q47.解得q22或q23(舍去)a3a5a7q2(a1a3a5)22142.答案：B4(2016高考全國卷改編)設等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為()A32 B64C48 D128解析：設等比數(shù)列an的公比為q，則由a1a310，a2a4q(a1a3)5，知q.又a1a1q210，a18.故a1a2anaq12(n1)記t

4、(n27n)2，結合nN*可知n3或4時，t有最大值6.又y2t為增函數(shù)，從而a1a2an的最大值為2664.答案：B5(2015高考全國卷)設Sn是數(shù)列an的前n項和，且a11，an1SnSn1，則Sn_.解析：an1Sn1Sn，an1SnSn1，Sn1SnSnSn1.Sn0，1，即1.又1，是首項為1，公差為1的等差數(shù)列1(n1)(1)n，Sn.答案： 等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算方法結論1兩組求和公式(1)等差數(shù)列：Snna1d；(2)等比數(shù)列：Sn(q1)2在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算

5、，以減少計算量題組突破1(2017高考全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為()A24B3C3 D8解析：設等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，則d2，所以a6a15d9，所以an前6項的和S6624，故選A.答案：A2(2017貴陽模擬)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a3a916，則S11()A88B48C96 D176解析：通解：依題意得S1188，選A.優(yōu)解：依題意，可考慮將題目中的等差數(shù)列特殊化為常數(shù)列(注意慎用此方法)，

6、即an8，因此S1188，選A.答案：A3(2017陜西模擬)已知數(shù)列an，an0, 它的前n項和為Sn，且2a2是4a1與a3的等差中項若an為等比數(shù)列，a11，則S7_.解析：設數(shù)列an的公比為q，依題意有a11,4a24a1a3，即4q4q2，故q2，則S7127.答案：1274(2017長沙模擬)已知數(shù)列an為等差數(shù)列，其中a2a38，a53a2.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)數(shù)列bn中，b11，b22，從數(shù)列an中取出第bn項記為cn，若cn是等比數(shù)列，求bn的前n項和解析：(1)設等差數(shù)列an的公差為d，依題意有，解得a11，d2，從而an的通項公式為an2n1，nN*.(2)

7、c1ab1a11，c2ab2a23，從而等比數(shù)列cn的公比為3，因此cn13n13n1.另一方面，cnabn2bn1，所以2bn13n1，因此bn.記bn的前n項和為Sn，則Sn.誤區(qū)警示在運用等比數(shù)列前n項和公式時，一定要注意判斷公比q是否為1，切忌盲目套用公式導數(shù)失誤 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質方法結論1等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質：等差數(shù)列等比數(shù)列性質(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S

8、3mS2m，仍成等比數(shù)列(Sm0)2.等差數(shù)列中利用中項求和(1)若n為奇數(shù)，則Sn.(2)若n為偶數(shù)，則S 3在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，有S偶S奇nd，；當項數(shù)為奇數(shù)2n1時，有S奇S偶an，.4在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，q.題組突破1(2017洛陽模擬)等差數(shù)列an為遞增數(shù)列，若aa101，a5a611，則數(shù)列an的公差d等于()A1B2C9 D10解析：依題意得(a1a10)22a1a10(a5a6)22a1a101212a1a10101，a1a1010，又a1a10a5a611，a1a10，a11，a1010，d1，選A.答案：A2(2017江西紅色七校聯(lián)考)等比數(shù)列a

9、n滿足an0，q1，a3a520，a2a664，則公比q為()A. B.C2 D4解析：通解：由已知可得aq664，即a1q38，得a48，所以8q20，化簡得2q25q20，解得q2或q(舍去)，故q2，選C.優(yōu)解：由已知可得，解得或(舍去)，故4q2，故q2，選C.答案：C3(2017江西高安中學等九校聯(lián)考)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，數(shù)列bn是等差數(shù)列，若a1a6a113，b1b6b117，則tan的值是()A1 B.C D解析：an是等比數(shù)列，bn是等差數(shù)列，且a1a6a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantan()tan(2)tan.答案：D誤區(qū)警

10、示在等比數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m仍成等比數(shù)列的前提是Sm0，易忽視這一條件 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明方法結論1證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等差中項性質，即證明2anan1an1(n2)2證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等比中項性質，即證明aan1an1(n2，an0)典例(2017玉溪模擬)已知數(shù)列an的前n項和為Sn，數(shù)列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且anSnn.(1)設cnan1，求證：cn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列bn的通項公式解析：(

11、1)證明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，當n1時，a1S11，a1，a11，又cnan1，cn是首項為，公比為的等比數(shù)列(2)由(1)可知cn()()n1()n，ancn11()n.當n2時，bnanan11()n1()n1()n1()n()n.又b1a1也符合上式，bn()n.類題通法1等價轉化思想在解決an與Sn關系問題中的應用在已知an與Sn的關系問題中，通常利用an與Sn的關系轉化為an中an與an1或an1與an的關系，然后再求解其他問題2構建新數(shù)列是解決遞推關系求通項公式中的一種常用方法如本例(1)問中構造an1為等比數(shù)列

12、演練沖關1(2017華南師大附中測試)在數(shù)列an中，a1p，an1qand(nN*，p，q，d是常數(shù))，則d0是數(shù)列an是等比數(shù)列的()A必要不充分條件B充分不必要條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：當d0，p0時，an0，數(shù)列an不是等比數(shù)列，所以充分性不成立；當q0，pd，d0時，and，則數(shù)列an為公比為1的等比數(shù)列，所以必要性不成立綜上所述，d0是數(shù)列an是等比數(shù)列的既不充分也不必要條件，故選D.答案：D2(2017臨川一中模擬)已知數(shù)列an滿足：a13，an1an2n2.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)證明：1.證明：(1)由an1an2n2得2，即2，數(shù)列是首項為3，公差為

13、2的等差數(shù)列(2)由(1)知，3(n1)22n1，ann(2n1)，()()()()1，1. 等差、等比數(shù)列與其他知識的交匯交匯點數(shù)列與其他知識的交匯數(shù)列在中學教材中既有相對獨立性，又有較強的綜合性，很多數(shù)列問題一般轉化為特殊數(shù)列求解，一些題目常與函數(shù)、向量、三角函數(shù)、解析幾何等知識交匯結合，考查數(shù)列的基本運算與應用典例1(2017宜昌月考)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a1a2 016，且A，B，C三點共線(該直線不過點O)，則S2 016等于()A1 007B1 008C2 015 D2 016解析：A，B，C三點共線，a1a2 0161，S2 0161 008，故選B.答案：B類題

14、通法本題巧妙地將三點共線條件(xy且A，B，C三點共線xy1)與等差數(shù)列的求和公式結合，解決的關鍵是抓住整體求值思想演練沖關1(2017銅仁質檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列an中，若a3a4a53，則sin(log3a1log3a2log3a7)的值為()A. B.C1 D解析：因為a3a4a53a，所以a4，即log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案：B創(chuàng)新點新定義下數(shù)列的創(chuàng)新問題典例2設Sn為數(shù)列an的前n項和，若(nN*)是非零常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和等比數(shù)列”；若數(shù)列cn是首項為2，公差為d(d0)的等差

15、數(shù)列，且數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，則d_.解析：由題意可知，數(shù)列cn的前n項和為Sn，前2n項和為S2n，所以22.因為數(shù)列cn是“和等比數(shù)列”，即為非零常數(shù)，所以d4.答案：4類題通法解決新定義下數(shù)列問題一般是直接扣定義進行求解本例的關鍵是抓住為非零常數(shù)來確定參數(shù)值演練沖關2在數(shù)列an中，nN*，若k(k為常數(shù))，則稱an為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷：k不可能為0；等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”；“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0.其中所有正確判斷的序號是_解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以錯誤；當an是等比數(shù)列，且公比q1時，an不是等差比數(shù)列，所以錯誤；數(shù)列0,1,0,1，是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以正確答案：9 / 9