《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題（精解精析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題（精解精析）（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學真題分類匯編 數(shù)列大題 （精解精析） 1．(2021年高考全國乙卷理科)記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知． (1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列; (2)求的通項公式． 【答案】（1）證明見解析；（2）． 解析：（1）由已知得,且，, 取,由得, 由于為數(shù)列的前n項積， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以數(shù)列是以為首項，以為公差等差數(shù)列; （2）由（1）可得，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列， , , 當n=1時，, 當n≥2時,,顯然對于n=1不成立, ∴． 【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明，考

2、查數(shù)列的前n項和與項的關(guān)系，數(shù)列的前n項積與項的關(guān)系，其中由,得到，進而得到是關(guān)鍵一步；要熟練掌握前n項和，積與數(shù)列的項的關(guān)系，消和（積）得到項（或項的遞推關(guān)系），或者消項得到和（積）的遞推關(guān)系是常用的重要的思想方法． 2．(2021年高考全國甲卷理科)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記為的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立． ①數(shù)列是等差數(shù)列：②數(shù)列是等差數(shù)列；③． 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分． 【答案】答案見解析 解析：選①②作條件證明③： 設，則， 當時，； 當時，； 因為也是等差數(shù)列，所以，解得； 所以，所以． 選①③作條件證

3、明②： 因為，是等差數(shù)列， 所以公差， 所以，即， 因為， 所以是等差數(shù)列． 選②③作條件證明①： 設，則， 當時，； 當時，； 因為，所以，解得或； 當時，，當時，滿足等差數(shù)列的定義，此時為等差數(shù)列； 當時，，不合題意，舍去． 綜上可知為等差數(shù)列． 【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關(guān)鍵是牢牢抓住已知條件，結(jié)合相關(guān)公式，逐步推演，等差數(shù)列的證明通常采用定義法或者等差中項法． 3．(2020年高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科)設是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項． (1)求的公比； (2)若，求數(shù)列的前項和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）設的公

4、比為，為的等差中項， ， ； （2）設前項和為，， ，① ，② ①②得， ， ． 【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算、等差中項的性質(zhì)，以及錯位相減法求和，考查計算求解能力，屬于基礎題． 4．(2020年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)設數(shù)列{an}滿足a1=3，． (1)計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明； (2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn． 【答案】（1），，，證明見解析；（2）． 解析：（1）由題意可得，， 由數(shù)列的前三項可猜想數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，即， 證明如下： 當時，成立； 假設時，成立． 那么時，也成立． 則

5、對任意的，都有成立； （2）由（1）可知， ，① ，② 由①②得： ， 即． 【點睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項公式以及利用錯位相減法求數(shù)列的和，屬于中檔題． 5．(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅱ卷理科)已知數(shù)列和滿足，，，． 證明：是等比數(shù)列，是等差數(shù)列； 求和的通項公式． 【答案】見解析；，. 【官方解析】 由題設得，即． 又因為，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列． 由題設得，即． 又因為，所以是首項為，公差為的等差數(shù)列． 由知，，． 所以， ． 【分析】可通過題意中的以及對兩式進行相加和相減即可推導出數(shù)列是等比數(shù)列以及數(shù)列是等差數(shù)列； 可通過中的

6、結(jié)果推導出數(shù)列以及數(shù)列的通項公式，然后利用數(shù)列以及數(shù)列的通項公式即可得出結(jié)果. 【解析】由題意可知，，，， 所以，即， 所以數(shù)列是首項為、公比為的等比數(shù)列，， 因為， 所以，數(shù)列是首項、公差為等差數(shù)列，. 由可知，，， 所以，. 【點評】本題考查了數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，主要考查了等差數(shù)列以及等比數(shù)列的相關(guān)證明，證明數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列一定要結(jié)合等差數(shù)列或者等比數(shù)列的定義，考查推理能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題. 6．(2018年高考數(shù)學課標Ⅲ卷（理）)(12分)等比數(shù)列中，， (1)求的通項公式； (2)記為的前項和，若，求． (1)或；(2) 【答案】【官方解析

7、】（1）設的公比為，由題設得 由已知得，解得（舍去），或 故或 （2）若，則，由，得，此方和沒有正整數(shù)解 若，則，由，得，解得 綜上，． 【民間解析】（1）設等比數(shù)列的公比為，由，可得，所以 所以 當時，；當時， （2）由（1）可知 當時，由即，即，所以； 當時，由即，即，無解 綜上可知． 7．(2018年高考數(shù)學課標Ⅱ卷（理）)(12分)記為等差數(shù)列的前項和，已知，． (1)求的通項公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】解析：（1）設的公差為，由題意得． 由得，所以的通項公式為． （2）由（1）得． 所以當時，取得最小值，最小值為． 8．(2016

8、高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科)已知數(shù)列的前項和,其中. (Ⅰ)證明是等比數(shù)列,并求其通項公式; (Ⅱ)若,求. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】(Ⅰ)由題意得,故,,. 由,得,即. 由,得,所以. 因此是首項為,公比為的等比數(shù)列,于是. (Ⅱ)由(Ⅰ)得,由得,即,解得. 9．(2016高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科)(本題滿分12分)為等差數(shù)列的前項和，且記，其中表示不超過的最大整數(shù)，如． (I)求；(II)求數(shù)列的前1 000項和． 【答案】（1），，；（2）． 【解析】（1）設的公差為，據(jù)已知有，解得． 所以數(shù)列的通項公式為． ，，． （2）因為 所以數(shù)列的前項和為．

9、 10．(2015高考數(shù)學新課標1理科)(本小題滿分12分)為數(shù)列的前項和．已知 (Ⅰ)求的通項公式： (Ⅱ)設,求數(shù)列的前項和 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 分析：（Ⅰ）先用數(shù)列第項與前項和的關(guān)系求出數(shù)列{}的遞推公式，可以判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列{}的通項公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）數(shù)列{}的通項公式，再用拆項消去法求其前項和． 解析：（Ⅰ）當時，，因為，所以=3， 當時，==，即，因為，所以=2， 所以數(shù)列{}是首項為3，公差為2的等差數(shù)列， 所以=； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，=， 所以數(shù)列{}前n項和為= =． 考點：數(shù)列前n項和與第n項的關(guān)系；等差

10、數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法 11．(2014高考數(shù)學課標2理科)(本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足=1，． (Ⅰ)證明是等比數(shù)列，并求的通項公式； (Ⅱ)證明： 【答案】解析：（Ⅰ）由，得，且 所以是首相為，公比為的等比數(shù)列。 因此，所以的通項公式為． （Ⅱ）由（1）知 當時，，所以 于是 所以 考點：（1）等比數(shù)列的證明及通項公式的求法；（2）等比數(shù)列的前項的和 （3）放縮法證明不等式 難度：C 備注：一題多解 12．(2014高考數(shù)學課標1理科)已知數(shù)列的前項和為,,,,其中為常數(shù)． (1)證明:; (2)是否存在,使得為等差數(shù)列?并說明理由． 【答案】解析:(1)由題設,,兩式相減 ,由于,所以． (2)由題設,,可得,由(1)知 假設為等差數(shù)列,則成等差數(shù)列,∴,解得; 證明時,為等差數(shù)列:由知 數(shù)列奇數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列 令則,∴ 數(shù)列偶數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列是首項為3,公差為4的等差數(shù)列 令則,∴ ∴(), 因此,存在存在,使得為等差數(shù)列． 考點:(1)等差數(shù)列的證明;(2)等差數(shù)列的前項和及綜合應用(3)分類討論思想 難度:C 備注:高頻考點