《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何小題（精解精析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【2022高考必備】2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何小題（精解精析）（36頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2012-2021十年全國高考數(shù)學(xué)真題分類匯編 立體幾何小題（精解精析） 一、選擇題 1．(2021年高考全國乙卷理科)在正方體中，P為中點(diǎn)，則直線與所成的角為 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析： 如圖，連接，因?yàn)椤危? 所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角， 因?yàn)槠矫?，所以，又，? 所以平面，所以， 設(shè)正方體棱長為2，則， ，所以． 故選：D 2．(2021年高考全國甲卷理科)在一個(gè)正方體中，過頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是 (　　) (　　) A． B． C

2、． D． 【答案】D 解析：由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示， 所以其側(cè)視圖為 故選：D 3．(2021年高考全國甲卷理科)已如A． B．C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：，為等腰直角三角形，， 則外接圓的半徑為，又球的半徑為1， 設(shè)到平面的距離為， 則， 所以． 故選：A． 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查球內(nèi)幾何體問題，解題的關(guān)鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關(guān)系求解． 4．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)已知為球球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面

3、積為，，則球的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意， 得，為等邊三角形， 由正弦定理可得， ，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面， ， 球的表面積． 故選：A 【點(diǎn)睛】 本題考查球的表面積，應(yīng)用球的截面性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題． 5．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【

4、答案】C 【解析】如圖，設(shè)，則， 由題意，即，化簡(jiǎn)得， 解得（負(fù)值舍去）． 故選：C． 【點(diǎn)晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道容易題． 6．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知△ABC是面積為等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為 (　　) A． B． C．1 D． 【答案】C 解析： 設(shè)球的半徑為，則，解得：． 設(shè)外接圓半徑為，邊長為， 是面積為的等邊三角形， ，解得：，， 球心到平面的距離． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查球的相關(guān)問題的求解，涉及到球的表面積公式和三

5、角形面積公式的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是明確球的性質(zhì)，即球心和三角形外接圓圓心的連線必垂直于三角形所在平面． 7．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】A 解析：根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形， 上的點(diǎn)在正視圖中都對(duì)應(yīng)點(diǎn)M,直線上的點(diǎn)在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N, ∴在正視圖中對(duì)應(yīng),在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,線段,上的所有點(diǎn)在側(cè)試圖中都對(duì)應(yīng),∴點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為． 故選：A 【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖判斷點(diǎn)的

6、位置，解題關(guān)鍵是掌握三視圖的基礎(chǔ)知識(shí)和根據(jù)三視圖能還原立體圖形的方法，考查了分析能力和空間想象，屬于基礎(chǔ)題． 8．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)下圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是 (　　) (　　) A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2 【答案】C 解析：根據(jù)三視圖特征，在正方體中截取出符合題意的立體圖形 根據(jù)立體圖形可得： 根據(jù)勾股定理可得： 是邊長為的等邊三角形 根據(jù)三角形面積公式可得： 該幾何體的表面積是：． 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)三視圖求立體圖形的表面積問題，解題關(guān)鍵是掌握根據(jù)三視圖畫出立體圖形，考查了分析能力和

7、空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題． 9．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖，點(diǎn)為正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線段的中點(diǎn)，則 (　　) A．，且直線是相交直線 B．，且直線是相交直線 C．，且直線是異面直線 D．，且直線是異面直線 【答案】B 【解析】 取中點(diǎn)，如圖連接輔助線，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，共面相交，選項(xiàng)C，D錯(cuò)誤．平面平面，，平面，又,∴平面，從而，．所以與均為直角三角形．不妨設(shè)正方形邊長，易知，所以，,，故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題比較具有綜合性，既考查了面面垂直、線面垂直等線面關(guān)系，還考查了三角形中的一些計(jì)算問題，是一個(gè)比較經(jīng)典的題目． 10

8、．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)設(shè)、為兩個(gè)平面，則的充要條件是 (　　) A．內(nèi)有無數(shù)條直線與平行 B．內(nèi)有兩條相交直線與平行 C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一平面 【答案】B 【解析】由面面平行的判定定理知：內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件，由面面平行性質(zhì)定理知，若，則內(nèi)任意一條直線都與平行，所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件，故選B. 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間兩個(gè)平面的判定與性質(zhì)及充要條件，滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)，利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷．面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理，最容易犯的錯(cuò)誤為定理記不住，憑主觀臆斷，如：“若，則”此

9、類的錯(cuò)誤． 11．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅰ卷理科)已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，分別是，的中點(diǎn)，，則球的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：三棱錐為正三棱錐，取中點(diǎn)，連接，則， ，可得平面，從而，又，可得， 又，所以平面，從而，從而正三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且，可將該三棱錐還原成一個(gè)以為棱的正方體，正方體的體對(duì)角線即為球的直徑，即，所以球的體積為． 12．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)設(shè)是同一個(gè)半徑為的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，則三棱錐體積的最大值為 (　　) A． B． C． D．

10、 【答案】B 解析：設(shè)的邊長為，則，此時(shí)外接圓的半徑為，故球心到面的距離為，故點(diǎn)到面的最大距離為，此時(shí)，故選B． 點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的外接球，考查了勾股定理，三角形的面積公式和三棱錐的體積公式，判斷出當(dāng)平面時(shí)，三棱錐體積最大很關(guān)鍵，由為三角形的重心，計(jì)算得到，再由勾股定理得到，進(jìn)而得到結(jié)果，屬于較難題型． 13．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷（理）)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭，若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體．則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 (　　) (　　) 【答案】

11、A 解析：依題意，結(jié)合三視圖的知識(shí)易知，帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是A圖． 14．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)在長方體中，，，則異面直線與所成角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以 因?yàn)? 所以異面直線與所成角的余弦值為，故選C． 15．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)已知正方體的校長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面而積的最大值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析一】根據(jù)題意，平面與正方體對(duì)角線垂直，記正方體為不妨設(shè)平面與垂直，且交于點(diǎn)．平

12、面與平面與分別交于．正方體中心為,則容易證明當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為三角形且周長逐漸增大:當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為六邊形且周長不變;當(dāng)從運(yùn)動(dòng)到時(shí)，截面為三角形且周長還漸減小。我們熟知周長一定的多邊形中，正多邊形的面積最大，因此當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，截面為邊長為的正大邊形，此時(shí)截面面積最大，為 【解析二】由題意可知，該平面與在正方體的截面為對(duì)邊平行的六邊形，如圖所示，則截面面積為 所以當(dāng)時(shí)， 16．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）)某圓柱的高為，底面周長為,其三視圖如右圈，圓柱表面上的點(diǎn)在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為 (

13、　　) A． B． C． D． 【答案】B 解析：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16，高為：2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖： 圓柱表面上的點(diǎn)在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度：，故選B． 17．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科)某多面體的三視圖如圖所示,其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】由題意該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成,則表面中含梯形的面積之和

14、為,故選B． 【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖 【點(diǎn)評(píng)】三視圖往往與幾何體的體積、表面積及空間線面關(guān)系、角、距離等問題相結(jié)合,解決此類問題的關(guān)鍵是由三視圖準(zhǔn)確確定空間幾何體的形狀及其結(jié)構(gòu)特征并且熟悉常見幾何體的三視圖． 18．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓柱的高為，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】法一：如圖，畫出圓柱的軸截面 ，所以，那么圓柱的體積是，故選B． 法二：設(shè)圓柱的底面圓的半徑為，圓柱的高，而該圓柱的外接球的半徑為 根據(jù)球與圓柱的對(duì)稱性，可得即，故該圓柱的體

15、積為，故選B． 【考點(diǎn)】圓柱的體積公式 【點(diǎn)評(píng)】（1）求解空間幾何體體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；（2）若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解． 19．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【命題意圖】本題考查立體幾何中的異面直線角度的求解，意在考查考生的空間想象能力 【解析】解法一：常規(guī)解法 在邊﹑﹑﹑上分別取中點(diǎn)﹑ ﹑﹑，并相互連接． 由三角形中位線定理和平行線平移功能，異面 直

16、線和所成的夾角為或其補(bǔ)角， 通過幾何關(guān)系求得，， ，利用余弦定理可求得異面直線 和所成的夾角余弦值為． 解法二：補(bǔ)形 通過補(bǔ)形之后可知：或其補(bǔ)角為異面 直線和所成的角，通過幾何關(guān)系可知： ，，，由勾股定理 或余弦定理可得異面直線和所成的 夾角余弦值為． 解法三：建系 建立如左圖的空間直角坐標(biāo)系，，，， ∴ ， ∴ 解法四：投影平移-三垂線定理 設(shè)異面直線和所成的夾角為 利用三垂線定理可知： 異面直線和所成的夾角余弦值為． 【知識(shí)拓展】立體幾何位置關(guān)系中角度問題一直是理科的熱點(diǎn)問題，也是高頻考點(diǎn)，證明的方 法大體有兩個(gè)方向：1．

17、幾何法；2．建系；幾何法步驟簡(jiǎn)潔，但不易想到；建系容易想到，但計(jì)算 量偏大，平時(shí)復(fù)習(xí)應(yīng)注意各方法優(yōu)勢(shì)和不足，做到胸有成竹，方能事半功倍． 20．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】 B 【命題意圖】本題主要考查簡(jiǎn)單幾何體三視圖及體積，以考查考生的空間想象能力為主目的． 【解析】解法一：常規(guī)解法 從三視圖可知：一個(gè)圓柱被一截面截取一部分而剩余的部分，具體圖像如下： 切割前圓柱 切割中

18、 切割后幾何體 從上圖可以清晰的可出剩余幾何體形狀，該幾何體的體積分成兩部分，部分圖如下： 從左圖可知：剩下的體積分上下兩部分陰影的體積，下面陰影的體 積為，，，∴ ；上面陰影的體積是上 面部分體積的一半，即，與的比為高的比（同底）， 即，，故總體積． 第二種體積求法：，其余同上，故總體積 ． 【知識(shí)拓展】三視圖屬于高考必考點(diǎn)，幾乎年年考三視圖，題型一般有五方面，1．求體積；2．求面 積（表面積，側(cè)面積等）；3．求棱長；4．視圖本質(zhì)考查（推斷視圖，展開圖，空間直角坐標(biāo)系視 圖）；5．視圖與球體綜合聯(lián)立，其中前三個(gè)方面考的較多． 21．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科

19、)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球,若,,,,則的最大值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使球的體積最大,必須球的半徑最大.由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí),球的半徑取得最大值,此時(shí)球的體積為,故選B. 22．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的表面積為 (　　) A． B． C．90 D．81 【答案】B 【解析】由三視圖知該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱,如圖 所以該幾何體的表面積為,故選B. 23．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)右圖是由圓柱與圓錐組合

20、而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】還原幾何體后是一個(gè)高為4底面半徑為2的圓柱與底面半徑為2高為 的圓錐的組合體 而圓錐的側(cè)面積為：，而圓柱的側(cè)面積為：，圓柱的底面積為： 所以幾何體的表面積為：，故選C 24．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)平面過正方體的頂點(diǎn)，平面CB1D1，平面，平面，則所成角的正弦值為 (　　) (A)(B)(C)(D) 【答案】A【解析】如圖所示： ∵，∴若設(shè)平面平面，則 又∵平面∥平面，結(jié)合平面平面 ∴，故 同理可得： 故、的所成角的大小與、所成角的大小相等，即的大小

21、． 而（均為面對(duì)交線），因此，即． 故選A． 25．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是 (　　) (　　) (A)(B)(C)(D) 【答案】A【解析】由三視圖知：該幾何體是個(gè)球，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以它的表面積是，故選A． 26．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知是球的球面上兩點(diǎn)，,為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐體積的最大值為36，則球的表面積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球

22、的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C． 考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積． 27．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為 (　　) (　　) A． B． C． D． 【答案】D 解析：由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如圖所示，，設(shè)正方體棱長為，則，故剩余幾何體體積為，所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為，故選D． 考點(diǎn)：三視圖． 28．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示．若該幾

23、何體的表面積為，則= A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 解析：由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為r，圓柱的高為2r，其表面積為==16 + 20，解得r=2，故選B． 考點(diǎn)：簡(jiǎn)單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測(cè)面積公式 29．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?”其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和

24、堆放的米各為多少?”已知1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有 (　　) A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 【答案】B 解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，則=，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1．62≈22，故選B． 考點(diǎn)：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式 30．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1， 則BM與AN所成的角的余弦值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：分別以軸，建立空間直角坐標(biāo)系，令，則， ，故選C。 考點(diǎn)

25、：（1）異面直線所成的角；（2）利用空間向量求線線角。 難度：C 備注：一題多解 31．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 解析：由三視圖知該零件由兩個(gè)半徑分別為3,2的圓柱構(gòu)成，用原來圓柱的體積減去現(xiàn)在零件的體積得到削掉部分的體積：利用體積公式可得答案為C。 考點(diǎn)：（1）三視圖；（2）圓柱的體積計(jì)算。 難度：B 備注：應(yīng)用題 32．(2014高考

26、數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的個(gè)條棱中,最長的棱的長度為 (　　) (　　) A． B． C．6 D．4 【答案】C 【解析】:如圖所示,原幾何體為三棱錐, 其中,,故最長的棱的長度為, 選C． 考點(diǎn):(1)幾何體的三視圖(2)空間幾何體的直觀圖(3)數(shù)形結(jié)合的思想 難度:C 備注:典型題 33．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以平面為投影面，則得到正視圖可以為 (　　) (　　) 【答案】A 解析

27、：在空間直角坐標(biāo)系中，先畫出四面體的直觀圖，以平面為投影面，則得到正視圖，所以選A． 考點(diǎn)：（1）9．1．2幾何體的三視圖；（2）9．6．1空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)算 難度： B 備注：高頻考點(diǎn) 34．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科)已知為異面直線，平面，平面．直線滿足，，則 (　　) A．且 B．且 C．與相交，且交線垂直于 D．與相交，且交線平行于 【答案】D 解析：利用空間直線平面的平行與垂直的判定與性質(zhì)定理可得答案為D 考點(diǎn)：（1）9．5．1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)；（2）9．5．2平面與平面垂直的判定與性質(zhì) （3）9．4．1直線與平面平行的判定與性質(zhì)；（4）9．

28、3．2空間直線的位置關(guān)系 難度：A 備注：高頻考點(diǎn)、易錯(cuò)題。 35．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 (　　) A． B． C． D． 【答案】Ａ 解析：將三視圖還原成直觀圖為： 由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2高為4，上邊放一個(gè)長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，故選A． 考點(diǎn):（1）9．2．3由三視圖求幾何體的表面積、體積． 難度：Ｂ 備注：高頻考點(diǎn) 36．(2013高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接

29、觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為 (　　) A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 【答案】Ａ 解析：設(shè)球的半徑為R，則由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，則，解得R=5，∴球的體積為=，故選A． 考點(diǎn): （1）9．2．2幾何體的體積． 難度：Ａ 備注：高頻考點(diǎn) 37．(2012高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)理科)已知集合；,則中所含元素的個(gè)數(shù)為 (　　) A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 解析：以x為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類： 當(dāng)x=5時(shí)，滿足的y的可能取值為1,2,3,4，共有4個(gè)，（確定y的個(gè)數(shù)） 當(dāng)x=4時(shí)，滿

30、足的y的可能取值為1,2,3，共有3個(gè)，（確定y的個(gè)數(shù)） 當(dāng)x=3時(shí)，滿足的y的可能取值為1,2，共有2個(gè)，（確定y的個(gè)數(shù)） 當(dāng)x=2時(shí)，滿足的y的可能取值為1，共有1個(gè)，（確定y的個(gè)數(shù)） 得中所含元素（x，y）的個(gè)數(shù)為4+3+2+1=10個(gè)。（確定中元素的個(gè)數(shù)） 考點(diǎn)：1．1．1集合的基本概念． 難度：A 備注：高頻考點(diǎn)． 二、填空題 38．(2021年高考全國乙卷理科)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_________(寫出符合要求的一組答案即可)． 【答案】③④ 解析：選擇側(cè)視圖為③

31、，俯視圖為④， 如圖所示，長方體中，， 分別為棱的中點(diǎn)， 則正視圖①，側(cè)視圖③，俯視圖④對(duì)應(yīng)的幾何體為三棱錐． 故答案為：③④． 【點(diǎn)睛】三視圖問題解決的關(guān)鍵之處是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系． 39．(2020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)設(shè)有下列四個(gè)命題： p1：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)． p2：過空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面． p3：若空間兩條直線不相交，則這兩條直線平行． p4：若直線l平面α，直線m⊥平面α，則m⊥l． 則下述命題中所有真命題的序號(hào)是__________． ①②③④ 【答案】①③④ 解析：

32、對(duì)于命題，可設(shè)與相交，這兩條直線確定的平面為； 若與相交，則交點(diǎn)在平面內(nèi)， 同理，與的交點(diǎn)也在平面內(nèi)， 所以，，即，命題為真命題； 對(duì)于命題，若三點(diǎn)共線，則過這三個(gè)點(diǎn)的平面有無數(shù)個(gè)， 命題為假命題； 對(duì)于命題，空間中兩條直線相交、平行或異面， 命題為假命題； 對(duì)于命題，若直線平面， 則垂直于平面內(nèi)所有直線， 直線平面，直線直線， 命題為真命題． 綜上可知，，為真命題，，為假命題， 真命題，為假命題， 為真命題，為真命題． 故答案為：①③④． 【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假，同時(shí)也考查了空間中線面關(guān)系有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于中等題． 40．(2

33、020年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為_________． 【答案】 解析：易知半徑最大球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球，球與圓錐內(nèi)切時(shí)的軸截面如圖所示， 其中，且點(diǎn)M為BC邊上的中點(diǎn)， 設(shè)內(nèi)切圓的圓心為， 由于，故， 設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則： ， 解得：，其體積：． 故答案為：． 【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面

34、上，正方體的體對(duì)角線長等于球的直徑． 41．(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去四棱錐后所得的幾何體，其中為長方體的中心，分別為所在棱的中點(diǎn)，打印所用原料密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________． 【答案】118.8 【解析】由題意得，四棱錐的底面積為，其高為點(diǎn)到底面的距離為，則此四棱錐的體積為．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為． 【點(diǎn)評(píng)】此題牽涉到的是3D打印新時(shí)代背景下的幾何體質(zhì)量，忽略問題易致誤，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解． 42．(2

35、019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖是一個(gè)棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長為．則該半正多面體共有　　個(gè)面，其棱長為　　 (本題第一空分，第二空分). 【答案】共有個(gè)面；棱長為. 【解析】由圖可知第一層與第三層各有個(gè)面，計(jì)個(gè)面，第二層共有個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長為，則，延長與交于點(diǎn)，

36、延長交正方體棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，∵， ∴，∴，即該半正多面體棱長為． 【點(diǎn)評(píng)】第一問可按題目數(shù)出來，第二問需在正方體中簡(jiǎn)單還原出物體位置，利用對(duì)稱性，平面幾何解決． 本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形． 43．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷（理）)已知圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，若 的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為__________． 【答案】 解析：因?yàn)槟妇€、所成角的余弦值為，所以母線、所

37、成角的正弦值為．設(shè)母線長為，則的面積為，解得，又與圓錐底面所成角為45°，可得底面半徑，所以該圓錐的側(cè)面積是． 44．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科)為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論： ①當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角； ②當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角； ③直線與所成角的最小值為； ④直線與所成角的最大值為． 其中正確的是 ．(填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)) 【答案】②③ 【解析】法一:由題意, 是以為軸,為底面半徑的圓錐的母線,由 ,又圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點(diǎn),作 ,交底面圓 于點(diǎn),如圖所示,連結(jié),則,

38、,連結(jié),等腰中, ,當(dāng)直線與成角時(shí), ,故 ,又在 中, ,過點(diǎn)作,交圓于點(diǎn),連結(jié),由圓的對(duì)稱性可知, 為等邊三角形, ,即與成角,②正確,①錯(cuò)誤． 由最小角定理可知③正確; 很明顯,可以滿足平面直線,直線 與 所成的最大角為,④錯(cuò)誤． 正確的說法為②③． 法二:斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),可得一個(gè)圓錐,其中相當(dāng)于母線,并將平移到,經(jīng)過點(diǎn),依題意易知在圓錐的底面上,如下圖 直線不動(dòng),讓繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),設(shè)直線與直線所成的角為,直線與直線所成角為,則由三余弦公式可得,所以,即直線與直線所成角的最小值為,最大值為,故③正確,④不正確;當(dāng)時(shí),有 ,此時(shí)直線即與直線所成的角也為,設(shè)

39、直線與所成的角為,則有,所以即與成角,故②正確;綜上可知選②③． 法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,畫出圖形如圖． 不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1,故,, 斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),則點(diǎn)保持不變,點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心,1為半徑的圓． 以為坐標(biāo)原點(diǎn),以為軸的正方向,為軸的正方向,為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 則,,直線的方向單位向量,．點(diǎn)起始坐標(biāo)為, 直線的方向單位向量,． 設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo), 其中為與的夾角,． 那么在運(yùn)動(dòng)過程中的向量,． 設(shè)與所成夾角為, 則． 故,所以③正確,④錯(cuò)誤． 設(shè)與所成夾角為, ． 當(dāng)與夾角

40、為時(shí),即, ． ∵, ∴． ∴． ∵． ∴,此時(shí)與夾角為． ∴②正確,①錯(cuò)誤． 改進(jìn)一下法三:由題意知,三條直線兩兩相互垂直,如下圖,設(shè)為直線,為直線,不妨設(shè) 則,,,依題意可設(shè) 則有,,設(shè)直線與成角,直線與成角 則有, 當(dāng)直線與成角時(shí),有,由,可得,此時(shí) 所以與成角,故②正確; 由,而,故,所以 所以③正確,④錯(cuò)誤 綜上可知選②③． 【考點(diǎn)】異面直線所成的角 【點(diǎn)評(píng)】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法,其基本思路是通過平移直線,把異面問題化歸為共面問題來解決,具體步驟如下: ①平移:平移異面直線中的一

41、條或兩條,作出異面直線所成的角; ②認(rèn)定:證明作出的角就是所求異面直線所成的角; ③計(jì)算:求該角的值,常利用解三角形; ④取舍:由異面直線所成的角的取值范圍是,當(dāng)所作的角為鈍角時(shí),應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角． (2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍． 45．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科)是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題： (1)如果，，，那么． (2)如果，，那么． (3)如果，，那么． (4)如果，，那么與所成的角和與所成的角相等． 其中正確的命題有 ．(填寫所有正確命題的編號(hào)) 【答案】②③④ 【解析】利用正方體模型可得：①錯(cuò)誤，②正確，③正確，④正確，命題正確的有②③④．