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1、高考文科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（極坐標(biāo)與參數(shù)方程） 第二講 極坐標(biāo)與參數(shù)方程目標(biāo)認(rèn)知考試大綱要求：1. 理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；2. 能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；3. 能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義；4. 了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的方法相比較，了解它們的區(qū)別；5. 了解參

2、數(shù)方程，了解參數(shù)的意義，能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程；6. 了解平擺線、漸開(kāi)線的生成過(guò)程，并能推導(dǎo)出它們的參數(shù)方程，了解其他擺線的生成過(guò)程，了解擺線在實(shí)際中的應(yīng)用，了解擺線在表示行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用。重點(diǎn)、難點(diǎn)：1理解參數(shù)方程的概念，了解常用參數(shù)方程中參數(shù)的意義，掌握參數(shù)方程與普通方程的互化。2理解極坐標(biāo)的概念，掌握極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化；直線和圓的極坐標(biāo)方程。【知識(shí)要點(diǎn)梳理】:知識(shí)點(diǎn)一：極坐標(biāo)1極坐標(biāo)系平面內(nèi)的一條規(guī)定有單位長(zhǎng)度的射線，為極點(diǎn)，為極軸，選定一個(gè)長(zhǎng)度單位和角的正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍@就構(gòu)成了極坐標(biāo)系。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)平面上一點(diǎn)到極點(diǎn)的距離稱為極

3、徑，與軸的夾角稱為極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)就叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)。（1）一般情況下，不特別加以說(shuō)明時(shí)表示非負(fù)數(shù)； 當(dāng)時(shí)表示極點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的位置這樣確定：作射線， 使，在的反向延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使得，點(diǎn)即為所求的點(diǎn)。（2）點(diǎn)與點(diǎn)（）所表示的是同一個(gè)點(diǎn)，即角與的終邊是相同的。 綜上所述，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)與其點(diǎn)的極坐標(biāo)之間不是一一對(duì)應(yīng)而是一對(duì)多的對(duì)應(yīng)， 即，, 均表示同一個(gè)點(diǎn).3. 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 當(dāng)極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系在特定條件下（極點(diǎn)與原點(diǎn)重合；極軸與軸正半軸重合；長(zhǎng)度單位相同），平面上一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)有如下關(guān)系：直角坐標(biāo)化極坐標(biāo)：；極坐標(biāo)化直角坐標(biāo)：.此即在兩個(gè)坐標(biāo)系下，同一個(gè)點(diǎn)的兩種坐標(biāo)間

4、的互化關(guān)系.4. 直線的極坐標(biāo)方程：（1）過(guò)極點(diǎn)傾斜角為的直線：或?qū)懗杉?（2）過(guò)垂直于極軸的直線：5. 圓的極坐標(biāo)方程：（1）以極點(diǎn)為圓心，為半徑的圓：.（2）若，以為直徑的圓：知識(shí)點(diǎn)二：柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系：1. 柱坐標(biāo)系的定義：空間點(diǎn)與柱坐標(biāo)之間的變換公式：2. 球坐標(biāo)系的定義：空間點(diǎn)與球坐標(biāo)之間的變換公式：知識(shí)點(diǎn)三：參數(shù)方程1. 概念：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是某個(gè)變數(shù)的函數(shù)：，并且對(duì)于的每一個(gè)允許值，方程所確定的點(diǎn)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系間的關(guān)系的變數(shù)叫做參變數(shù)（簡(jiǎn)稱參數(shù)）.相對(duì)于參數(shù)方程來(lái)說(shuō)，前面學(xué)過(guò)的直接給出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)

5、關(guān)系的方程，叫做曲線的普通方程。知識(shí)點(diǎn)四：常見(jiàn)曲線的參數(shù)方程1直線的參數(shù)方程（1）經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)）；其中參數(shù)的幾何意義：，有，即表示直線上任一點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離。（當(dāng)在上方時(shí)，在下方時(shí)，)。 （2）過(guò)定點(diǎn)，且其斜率為的直線的參數(shù)方程為： （為參數(shù)，為為常數(shù)，）；其中的幾何意義為：若是直線上一點(diǎn)，則。2圓的參數(shù)方程（1）已知圓心為，半徑為的圓的參數(shù)方程為： （是參數(shù)，）； 特別地當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，其參數(shù)方程為（是參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義為：由軸的正方向到連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的半徑所成的角。 （3）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程明確地指出圓心和半徑，圓的一般方程突出方程形式上的特

6、點(diǎn)，圓的參數(shù)方程則直接指出圓上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的特點(diǎn)。3. 橢圓的參數(shù)方程（1）橢圓（）的參數(shù)方程（為參數(shù)）。（2）參數(shù)的幾何意義是橢圓上某一點(diǎn)的離心角。 如圖中，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的角為（過(guò)作軸， 交大圓即以為直徑的圓于），切不可認(rèn)為是。（3）從數(shù)的角度理解，橢圓的參數(shù)方程實(shí)際上是關(guān)于橢圓的一組三角代換。 橢圓上任意一點(diǎn)可設(shè)成， 為解決有關(guān)橢圓問(wèn)題提供了一條新的途徑。4. 雙曲線的參數(shù)方程雙曲線（,）的參數(shù)方程為（為參數(shù)）。5. 拋物線的參數(shù)方程拋物線()的參數(shù)方程為（是參數(shù)）。參數(shù)的幾何意義為：拋物線上一點(diǎn)與其頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)，即。規(guī)律方法指導(dǎo)：1、把參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，選取適

7、當(dāng)?shù)南麉⒎椒? 常見(jiàn)的消參方法有：代入消法 ；加減消參；平方和（差）消參法；乘法消參法；比值消參法；利用恒等式消參法；混合消參法等.2、把曲線的普通方程化為參數(shù)方程的關(guān)鍵：一是適當(dāng)選取參數(shù)；二是確?；セ昂蠓匠痰牡葍r(jià)性， 注意方程中的參數(shù)的變化范【課前演練】一、選擇題1.已知集合,則= Ax|-1x1 Bx |x1 Cx|-1x1 Dx |x-12.若復(fù)數(shù)(1+bi)(2+i)是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù))，則b=A-2 B C. D23.若函數(shù)f(x)=x3(xR)，則函數(shù)y=f(-x)在其定義域上是 A單調(diào)遞減的偶函數(shù) B.單調(diào)遞減的奇函數(shù) C單凋遞增的偶函數(shù) D單涮遞增的奇函數(shù)4若向

8、量滿足,與的夾角為,則 A B C. D25客車(chē)從甲地以60kmh的速度勻速行駛1小時(shí)到達(dá)乙地，在乙地停留了半小時(shí)，然后以80kmh的速度勻速行駛l小時(shí)到達(dá)丙地。下列描述客車(chē)從甲地出發(fā)，經(jīng)過(guò)乙地，最后到達(dá) 丙地所經(jīng)過(guò)的路程s與時(shí)間t之間關(guān)系的圖象中，正確的是二、填空題11在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線關(guān)于x軸對(duì)稱，頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，且過(guò)點(diǎn)P(2,4)，則該拋物線的方程是 12函數(shù)f(x)=xlnx(x0)的單調(diào)遞增區(qū)間是 13已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，則其通項(xiàng)an= ；若它的第k項(xiàng)滿足5ak8，則k= 14(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin=3，則點(diǎn)(

9、2，/6)到直線l的距離為 15(幾何證明選講選做題)如圖4所示，圓O的直徑AB=6，C為圓周上一點(diǎn)，BC=3過(guò)C作圓的切線l，過(guò)A作l的垂線AD，垂足為D， 則DAC= 【經(jīng)典例題精析】類型二：參數(shù)方程與普通方程互化4把參數(shù)方程化為普通方程(1) (，為參數(shù))； （2） (，為參數(shù)）；（3）(,為參數(shù))； （4） (為參數(shù)).思路點(diǎn)撥:（1）將第二個(gè)式子變形后，把第一個(gè)式子代入消參；（2）利用三角恒等式進(jìn)行消參；（3）觀察式子的結(jié)構(gòu)，注意到兩式中分子分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，因而可以采取加減消參的辦法；或把用表示，反解出后再代入另一表達(dá)式即可消參；（4）此題是（3）題的變式，僅僅是把換成而已，因而消參

10、方法依舊，但需要注意、的范圍?？偨Y(jié)升華：1. 消參的方法主要有代入消參，加減消參，比值消參，平方消參，利用恒等式消參等。2.消參過(guò)程中應(yīng)注意等價(jià)性，即應(yīng)考慮變量的取值范圍，一般來(lái)說(shuō)應(yīng)分別給出、的范圍.在這過(guò)程中實(shí)際上是求函數(shù)值域的過(guò)程，因而可以綜合運(yùn)用求值域的各種方法.舉一反三：【變式1】化參數(shù)方程為普通方程。（1）(t為參數(shù)) ； （2）（t為參數(shù)）.【變式2】（1）圓的半徑為_(kāi) ；（2）參數(shù)方程(表示的曲線為（ ）。 A、雙曲線一支，且過(guò)點(diǎn) B、拋物線的一部分，且過(guò)點(diǎn) C、雙曲線一支，且過(guò)點(diǎn)D、拋物線的一部分，且過(guò)點(diǎn)【變式3】（1）直線: (t為參數(shù))的傾斜角為（ ）。A、 B、 C、 D

11、、 （2）為銳角，直線的傾斜角（ ）。 A、 B、 C、 D、5已知曲線的參數(shù)方程（、為常數(shù)）。 （1）當(dāng)為常數(shù)()，為參數(shù)()時(shí)，說(shuō)明曲線的類型； （2）當(dāng)為常數(shù)且，為參數(shù)時(shí)，說(shuō)明曲線的類型。思路點(diǎn)撥:通過(guò)消參，化為普通方程，再做判斷?？偨Y(jié)升華：從本例可以看出：某曲線的參數(shù)方程形式完全相同，但選定不同的字母為參數(shù)，則表示的意義也不相同，表示不同曲線。因此在表示曲線的參數(shù)方程時(shí)，一般應(yīng)標(biāo)明選定的字母參數(shù)。舉一反三：【變式】已知圓錐曲線方程為。（1）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離。（2）若為參數(shù)，為常數(shù)，求此曲線的離心率。【課堂檢測(cè)】選擇題橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是( )。 A(-3, 5

12、)，(-3, -3) B(3, 3)，(3, -5) C(1, 1)，(-7, 1) D(7, -1)，(-1, -1)六、1若直線的參數(shù)方程為，則直線的斜率為（ ）A BC D2下列在曲線上的點(diǎn)是（ ）A B C D 3將參數(shù)方程化為普通方程為（ ）A B C D 6極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A一條射線和一個(gè)圓 B兩條直線 C一條直線和一個(gè)圓 D一個(gè)圓七、1直線的參數(shù)方程為，上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)是，則點(diǎn)與之間的距離是（ ）A B C D 2參數(shù)方程為表示的曲線是（ ）A一條直線 B兩條直線 C一條射線 D兩條射線3直線和圓交于兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）A B C D 5與參數(shù)方程為等價(jià)的普通方

13、程為（ ）A B C D 6直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 八、1把方程化為以參數(shù)的參數(shù)方程是（ ）A B C D 2曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是（ ）A B C D 3直線被圓截得的弦長(zhǎng)為（ ）A B C D 4若點(diǎn)在以點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線上，則等于（ ）A B C D 6在極坐標(biāo)系中與圓相切的一條直線的方程為（ ）A B C D填空題參、把參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，結(jié)果是。六、1直線的斜率為_(kāi)。2參數(shù)方程的普通方程為_(kāi)。3已知直線與直線相交于點(diǎn)，又點(diǎn)，則_。4直線被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)。七、1曲線的參數(shù)方程是，則它的普通方程為_(kāi)。2直線過(guò)定點(diǎn)_。3點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)。4曲線的極坐標(biāo)方程為，則曲線的直角坐標(biāo)方程為_(kāi)。5設(shè)則圓的參數(shù)方程為_(kāi)。八、1已知曲線上的兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，那么=_。2直線上與點(diǎn)的距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是_。3圓的參數(shù)方程為，則此圓的半徑為_(kāi)。4極坐標(biāo)方程分別為與的兩個(gè)圓的圓心距為_(kāi)。5直線與圓相切，則_。