《[理學(xué)]高數(shù) 第十一章 曲線積分與曲面積分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《[理學(xué)]高數(shù) 第十一章 曲線積分與曲面積分（35頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十一章 曲線積分與曲面積分 §1 對弧長的曲線積分 計算公式：無論是對弧長還是對坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程 若，則 若，則 注意：上限一定要大于下限 1． 計算下列對弧長的曲線積分 （1），其中為圓周； 解：法一： 法二：， （2），其中為圓周，直線及軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個邊界； A B 解：，其中 ，， （或 ） 故 （3），其中為拋物線上介于與之間的一段?。? 解：由，得 （4），其中為擺線的一拱； 解： （令） （5），其中為圓周； 解：利用對稱性

2、，其中 （6），其中為曲線，，上相應(yīng)于從0變到2的弧段； 解： （7），其中為空間圓周： . 解：由，得，令 故。故 2． 螺旋形彈簧一圈的方程為： ，設(shè)它的線密度為，求： （1） 它關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動慣量；（2）它的重心坐標(biāo). （1） （2） （分子采用分部積分法） = §2 對坐標(biāo)的曲線積分 無論是對弧長還是對坐標(biāo)的曲線積分重要的是寫出曲線的參數(shù)方程 1計算公式：若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)），則 若，（其中分別始點(diǎn)和終點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)），則 注意：（1）對定向曲線才能說對

3、坐標(biāo)的曲線積；定向曲線的參數(shù)方程與未定向曲線的參數(shù)方程的不同： ① 定向曲線的參數(shù)表示為始點(diǎn)的參數(shù)到終點(diǎn)的參數(shù)而不管誰大誰?。? ② 未定向曲線的參數(shù)方程的參數(shù)表示為不等式： （2）①弧長的積分轉(zhuǎn)化為定積分時定積分的上限一定要大于下限 ②對坐標(biāo)的曲線積分轉(zhuǎn)化為定積分時定積分的上限一定是終點(diǎn)的參數(shù)，下限是始點(diǎn)的參數(shù)，而不管上限是否一定要大于下限 2：兩類曲線積分的關(guān)系 （1） 定向曲線的切向量及其方向余弦 若 ①當(dāng)時 切向量為：； 方向余弦為 ②當(dāng)時 切向量為：； 方向余弦為 類似可以推廣到空間曲線。 （2） 兩類曲線積分的關(guān)系 其中為定向曲線切向量的方向余弦

4、 注意：把第二類曲線積分轉(zhuǎn)化為第一類曲線積分其關(guān)鍵是求出切向量。特別要注意始點(diǎn)參數(shù)與終點(diǎn)參數(shù)大小關(guān)系對切向量符號的影響。 1． 把對坐標(biāo)的曲線積分化為對弧長的曲線積分，其中為： （1）從點(diǎn)（0，0）沿拋物線到點(diǎn)（1，1）； 解：，由，故在處切向量為，所以 ， 所以 （2）從點(diǎn)（0，0）沿上半圓周到點(diǎn)（1，1）. 解：，由，故在處切向量為，所以 ，所以 （或） 法二，由， 故切向量為，即 所以 ， ，所以 2． 計算下列對坐標(biāo)的曲線積分： （1），其中為拋物線上從點(diǎn)（0，0）到（2，4）的一段??； 解：由，得 O A a

5、 （2），其中為圓周及軸所圍成的在第一象限內(nèi)的區(qū)域的整個邊界曲線?。ò茨鏁r針方向）； 解：， 其中， （注意此方程不是的極坐標(biāo)方程，故不能說在極坐標(biāo)系下的范圍，事實(shí)上極坐標(biāo)方程為，故在極坐標(biāo)系下的范圍為） 故 （3），為從點(diǎn)（1，0）到點(diǎn)（-1，0）的上半橢圓周； 解：由，得 （4），其中為圓周（按逆時針方向）； 解：由，得 （5），其中為橢圓周：，且從軸正方向看去，取順時針方向； 解：由 得，故 （注意：易知，所以 （6），其中是曲線：上由0到的一段弧. 解： 3．計算，其中：（

6、1）拋物線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段?。唬?）從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的直線段； （3）曲線上從點(diǎn)（1，1）到點(diǎn)（4，2）的一段弧. 解：（1）由，得 （2）由，得 （3）由，得 4．證明： 其中為平面上光滑曲線的長度. （提示：轉(zhuǎn)化為對弧長的曲線積分） 證明： 其中是切向量的方向余弦，故滿足。 法二：證明： 其中是切向量的方向余弦，故滿足。 設(shè)向量，則 ， 故 §3 Green公式 1． 用曲線積分計算下列曲線所圍平面圖形的面積： （1）橢圓：； 解：若：，則 （

7、2）星形線：，. 解：若：，則 2．用格林公式計算下列曲線積分 （1），其中為圓周，取逆時針方向； （2），其中為閉區(qū)域的正向邊界. 解：（1）， 又逆時針方向，設(shè)，所以 （注意，為什么？） （2） 所以 （其中 所以） 3．計算積分，其中為圓周（按逆時針方向）； 解 （1）故當(dāng)時，在所圍的區(qū)域內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)，滿足格林公式條件。 （2）故當(dāng)時，所圍的區(qū)域含有點(diǎn)，故在區(qū)域有點(diǎn)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，不滿足格林公式條件。不能直接用格林公式條件。 做曲線（取得足夠小保證含在所圍區(qū)域）方向為逆時針，即。

8、則曲線圍成復(fù)連通區(qū)域且為的正向邊界。 故在復(fù)連通區(qū)域滿足格林公式條件，故 即 （注之所以取曲線是方便計算，若取則計算麻煩） 4．證明下列曲線積分在面上與路徑無關(guān)，并計算積分. （1） 解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且 A（1，2） C（3，4） ，所以曲線積分在面上與路徑無關(guān)。B（3，2） 法一： 其中 法二設(shè)： 則得0 ，故 （2） 解：，所以單連通區(qū)域面有連續(xù)偏導(dǎo)，且 A（1，0） C（2，1） B（2，0） ，所以曲線積分在面上與路徑無關(guān)。 法一： 其中 法二設(shè)： ，得0，所以

9、， 故= 5．用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ嬎阆铝星€積分 O B A D A （1），其中為圓周上從點(diǎn)依逆時針方向到點(diǎn)的弧段； 解：由 ，有 其中， B（1，2） A（2，1） C（1，1） （2），其中為從點(diǎn)到點(diǎn)的直線段. 解：由 ，有 積分與路徑無關(guān)，則 其中， （注意：若應(yīng)用積分與路徑無關(guān)，則必須保證在添加的曲線與原曲線所圍的區(qū)域是單連通的，和在區(qū)域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如該題中區(qū)域就不能含原點(diǎn)） 6．解下列全微分方程 （1）； 解： ，在面有，得方程為全微分方程。 法一，故 O（0，0） B（x，y） A（x，0） ，得，即

10、 所以方程通解為 法二，令 其中 所以方程通解為 （2）. 解：，在面有，得方程為全微分方程。 法一，故 O（0，0） B（x，y） A（x，0） ，得，即 所以方程通解為 法二，令 其中 所以方程通解為 7．計算曲線積分，其中： （1）閉區(qū)域的正向邊界； ，則 顯然在內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，滿足格林公式條件，故 （2）圓周按逆時針方向； 解：圓周所圍區(qū)域含原點(diǎn)，故在其內(nèi)沒有連續(xù)偏導(dǎo)，數(shù)，不能用格林公式。直接計算，故 (0, p)E (p,-p),B (-p,-p)A (- p, p),C (p, p)

11、,D （3）從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧段. 解：由，則積分路徑無關(guān)，故： ， 其中， 故： 8．利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件，求待定參數(shù)或函數(shù). （1）確定的值，使曲線積分與路徑無關(guān)； 解：，欲使曲線積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即 ，即得 （2）求可微函數(shù)，，使曲線積分 在的開區(qū)域內(nèi)與積分路徑無關(guān). 解：，積分與路徑無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)，即 ，得 ，（這是以自變量為未知函數(shù)的一階線性微分方程） 又得 9．證明的充分必要條件為： 其中是單連通開域內(nèi)的一條簡單閉曲線，在內(nèi)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù) 證明：對曲線積分，故的充分必要條件為，

12、又， 故的充分必要條件為， 即 §4 對面積的曲面積分 1．計算下列曲面積分 （1），其中∑為拋物面在面上方的部分; 解： 則 故 （2），其中∑為錐面及平面所圍成閉區(qū)域的邊界曲面. 解：如圖，其中 ，故 =+ = + （3），其中∑為錐面被柱面所截得的部分; 解： 則 故 （區(qū)域關(guān)于軸對稱，函數(shù)，是關(guān)于奇函數(shù)） （4），其中∑為上半球面. 解：，則 故： 3． 計算曲面殼 的質(zhì)量，面密度. 解：質(zhì)量 其中， 則 4． 求密度為常數(shù)的均勻半球殼對于O

13、z軸的轉(zhuǎn)動慣量. 解： ∑在面上的投影區(qū)域： §5對坐標(biāo)的曲面積分 計算聯(lián)合形式 法一：直接計算：則分別計算，， （1） 計算時 （Ⅰ）將曲面投影在面（且只能投影面，即使投影為曲線而非區(qū)域，此時）為區(qū)域，即根據(jù)方程解出：，并確定曲面是朝上還是朝下 1計算下列對坐標(biāo)的曲面積分 （1），其中∑是柱面被平面及所截下的第一卦限內(nèi)部分的前側(cè); 解：（1）計算 ∑在面投影為0，故 （2） 計算 曲面朝投影為 故，前側(cè) 故 （令 （3） 計算 曲面朝投影為 故，右側(cè) 故 故 = （2），其中∑是拋物面介于平面及之間的部

14、分的下側(cè); y z x 解：法一（直接計算）：計算，將投影到面為 ，朝下，故 y Z=2 計算將投影到面為，如圖 ，其中，朝前 ，朝后，故 （其中令） 故 法二（投影面轉(zhuǎn)換法）因為，：，朝下，，所以 （其中利用對稱性：， 由于：易知：，即） 2把對坐標(biāo)的曲面積分化為對面積的曲面積分： （1）∑：平面被柱面所截部分的下側(cè); 解：曲面在處的法向量為，故： ，，故 （注意對于非定向曲面可為，或，但對于定向曲面朝下則第三個分量應(yīng)為負(fù)） （2）∑：拋物面被平面所截的部分的左側(cè).

15、 解：曲面在處的法向量為，故： ，，故 （注意對于非定向曲面可為，或，但對于定向曲面朝做則第二個分量應(yīng)為負(fù)） 3．計算曲面積分 其中為連續(xù)函數(shù)，∑是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè). 解：由∑是平面在第四卦限內(nèi)的上側(cè)，故曲面在處的法向量為 故，，，則 （其中平面的面積為） 5． 計算，∑為錐面上滿足，，的那部分曲面的下側(cè). 解：（采用投影面轉(zhuǎn)換法計算較為簡單） 由，有 又∑為錐面：，，，朝下， §6 Gauss公式與Stokes公式 1．利用高斯公式計算下列曲面積分. （1）其中∑是球面的外側(cè)

16、. 解 （本題中若寫成是錯誤的，為什么？） 2）其中∑為由曲面與所圍立體的表面的外側(cè). 解： （若采用先二后一的方法計算三重積分） ，其中 （若采用柱坐標(biāo)方法計算三重積分） 2．計算下列曲面積分： （1），∑是球面的上側(cè). 解；作曲面，朝下。則 其中 （先二后一） 由，朝下，有 ，故 （2），∑為拋物面被平面所截下的部分的下側(cè). 解；作曲面，朝上。則 其中 （用柱坐標(biāo)） 由，朝上有 故 （其中利用定積分的幾何意義有 ） 3：計

17、算曲面積分其中∑為和所圍曲面外側(cè). 解： 4．設(shè)是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，計算曲面積分 其中∑為錐面 與兩球面及所圍立體表面的外側(cè). 解： 5．利用斯托克斯公式計算下列曲線積分: （1），為圓周：，從z軸正向看去，取逆時針方向. 解：原積分= （其中如圖它是在球內(nèi)的部分，朝上。） 的法向量為，故 （2），為橢圓，從z軸正向看去，取逆時針方向. 解：原積分= （其中它是在圓柱內(nèi)的部分，朝上） 的法向量為，故 原積分 第十章 自測題 1．（1）求，其中為曲線，； 解： （2）求，其中L為上半圓周，，沿逆時針方向. 解：， 做直線段，則 O A 2a 由有 故 2．計算下列各題： （1），其中∑為界于與之間的柱面：. 解：利用對稱性有 其中為在第一卦限部分如圖 （2）求其中∑為錐面的外側(cè). 解：作曲面，朝上，則 由，朝上有 故 （3）其中∑為曲面的上側(cè). 解：作曲面，朝下，則 由，朝下，有 故=0 3．求均勻曲面的質(zhì)心的坐標(biāo). 解：利用對稱性，，其中 ，故質(zhì)心為