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1、◆+◆◆二〇一九高考數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料◆+◆◆ 曲線與方程 導(dǎo)學(xué)目標： 了解曲線的方程與方程的曲線的對應(yīng)法則． 自主梳理 1．曲線的方程與方程的曲線 如果曲線C上點的坐標(x，y)都是方程f(x，y)＝0的解，且以方程f(x，y)＝0的解(x，y)為坐標的點都在曲線C上，那么，方程f(x，y)＝0叫做曲線C的方程．曲線C叫做方程f(x，y)＝0的曲線． 2．求曲線方程的一般方法(五步法) 求曲線(圖形)的方程，一般有下面幾個步驟： (1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標； (2)寫出適合條件p的點M的集合P＝{M|p(M)}； (3)

2、用坐標表示條件p(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式； (5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上． 3．求曲線方程的常用方法： (1)直接法；(2)定義法；(3)代入法；(4)參數(shù)法． 自我檢測 1．已知動點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線中點的軌跡方程為______________． 2．一動圓與圓O：x2＋y2＝1外切，而與圓C：x2＋y2－6x＋8＝0內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是______________________________________________________________

3、____． 3．已知A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C為一個焦點作過A、B的橢圓，橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是______________________． 4．若M、N為兩個定點且MN＝6，動點P滿足·＝0，則P點的軌跡方程為________． 5．(2011·江西改編)若曲線C1：x2＋y2－2x＝0與曲線C2：y(y－mx－m)＝0有四個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍是__________________． 探究點一　直接法求軌跡方程 例1　動點P與兩定點A(a,0)，B(－a,0)連線的斜率的乘積為k，試求點P的軌跡方程，并討論軌跡是什么曲線．

4、 變式遷移1　已知兩點M(－2,0)、N(2,0)，點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足||||＋·＝0，則動點P(x，y)的軌跡方程為______________． 探究點二　定義法求軌跡方程 例2　已知兩個定圓O1和O2，它們的半徑分別是1和2，且O1O2＝4.動圓M與圓O1內(nèi)切，又與圓O2外切，建立適當?shù)淖鴺讼?，求動圓圓心M的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線． 變式遷移2　在△ABC中，A為動點，B、C為定點，B，C，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動點A的軌跡方程為_______________________

5、_____________． 探究點三　相關(guān)點法(代入法)求軌跡方程 例3　如圖所示，從雙曲線x2－y2＝1上一點Q引直線x＋y＝2的垂線，垂足為N. 求線段QN的中點P的軌跡方程． 變式遷移3　已知長為1＋的線段AB的兩個端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，P是AB上一點，且＝.求點P的軌跡C的方程． 分類討論思想 例　(14分) 過定點A(a，b)任作互相垂直的兩直線l1與l2，且l1與x軸交于點M，l2與y軸交于點N，如圖所示，求線段MN的中點P的軌跡方程． 多角度

6、審題　要求點P坐標，必須先求M、N兩點，這樣就要求直線l1、l2，又l1、l2過定點且垂直，只要l1的斜率存在，設(shè)一參數(shù)k1即可求出P點坐標，再消去k1即得點P軌跡方程． 【答題模板】 解　(1)當l1不平行于y軸時，設(shè)l1的斜率為k1，則k1≠0.因為l1⊥l2， 所以l2的斜率為－， [2分] l1的方程為y－b＝k1(x－a)， ①[4分] l2的方程為y－b＝－(x－a)， ②[6分] 在①中令y＝0，得M點的橫坐標為x1＝a－， [8分] 在②中令x＝0，得N點的縱坐標為y1＝b＋， [10分] 設(shè)MN中點P的坐標為(x，y)，則有 消去k1

7、，得2ax＋2by－a2－b2＝0 (x≠)． ③[12分] (2)當l1平行于y軸時，MN中點為，其坐標滿足方程③. 綜合(1)(2)知所求MN中點P的軌跡方程為2ax＋2by－a2－b2＝0. [14分] 【突破思維障礙】 引進l1的斜率k1作參數(shù)，寫出l1、l2的直線方程，求出M、N的坐標，求出點P的坐標，得參數(shù)方程，消參化為普通方程，本題還要注意直線l1的斜率是否存在． 【易錯點剖析】 當AM⊥x軸時，AM的斜率不存在，此時MN中點為，易錯點是把斜率不存在的情況忽略，因而丟掉點. 1．求軌跡方程的常用方法：(1)直接法：如果動點運動的條件就是一些幾何量的等量關(guān)

8、系，這些條件簡單明確，易于表達成含x，y的等式，就得到軌跡方程，這種方法稱之為直接法．用直接法求動點軌跡的方程一般有建系設(shè)點，列式，代換，化簡，證明五個步驟，但最后的證明可以省略．(2)定義法：運用解析幾何中一些常用定義(例如圓錐曲線的定義)，可從曲線定義出發(fā)直接寫出軌跡方程，或從曲線定義出發(fā)建立關(guān)系式，從而求出軌跡方程．(3)代入法：動點所滿足的條件不易表達或求出，但形成軌跡的動點P(x，y)卻隨另一動點Q(x′，y′)的運動而有規(guī)律的運動，且動點Q的軌跡為給定或容易求得，則可先將x′，y′表示為x、y的式子，再代入Q的軌跡方程，然后整理得P的軌跡方程，代入法也稱相關(guān)點法．(4)參數(shù)法：求軌

9、跡方程有時很難直接找出動點的橫坐標、縱坐標之間的關(guān)系，則可借助中間變量(參數(shù))，使x、y之間建立起聯(lián)系，然后再從所求式子中消去參數(shù)，得出動點的軌跡方程． 2．本節(jié)易錯點：(1)容易忽略直線斜率不存在的情況；(2)利用定義求曲線方程時，應(yīng)考慮是否符合曲線的定義． (滿分：90分) 一、填空題(每小題6分，共48分) 1．已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓的一個動點，如果M是線段F1P的中點，則動點M的軌跡是_________________________________________________________________． 2．已知A、B是兩個定點，且AB＝

10、3，CB－CA＝2，則點C的軌跡方程為______________． 3．長為3的線段AB的端點A、B分別在x軸、y軸上移動，＝2，則點C的軌跡方程為____________． 4．(2011·淮安模擬)如圖，圓O：x2＋y2＝16，A(－2，0)，B(2,0)為兩個定點．直線l是圓O的一條切線，若經(jīng)過A、B兩點的拋物線以直線l為準線，則拋物線焦點所在的軌跡是________． 5．P是橢圓＋＝1上的動點，作PD⊥y軸，D為垂足，則PD中點的軌跡方程為____________． 6．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足PA＝2PB，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等

11、于______． 7．已知△ABC的頂點B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長CD＝3，則頂點A的軌跡方程為______________． 8．平面上有三點A(－2，y)，B，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程為__________． 二、解答題(共42分) 9．(14分)已知拋物線y2＝4px (p>0)，O為頂點，A，B為拋物線上的兩動點，且滿足OA⊥OB，如果OM⊥AB于點M，求點M的軌跡方程． 10．(14分)(2009·寧夏、海南)已知橢圓C的中心為平面直角坐標系xOy的原點，焦點在x軸上，它的一個頂點到兩個

12、焦點的距離分別是7和1. (1)求橢圓C的方程； (2)若P為橢圓C上的動點，M為過P且垂直于x軸的直線上的一點，＝λ，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線． 11．(14分)在平面直角坐標系xOy中，有一個以F1(0，－)和F2(0，)為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與x軸，y軸的交點分別為A，B，且＝＋.求： (1)點M的軌跡方程； (2)||的最小值． 學(xué)案53　曲線與方程 答案 自我檢測 1．8x2－2y－1＝0　

13、2.雙曲線的右支　3.y2－＝1(y≤－1) 4．x2＋y2＝9 5．(－，0)∪(0，) 解析　C1：(x－1)2＋y2＝1， C2：y＝0或y＝mx＋m＝m(x＋1)． 當m＝0時，C2：y＝0，此時C1與C2顯然只有兩個交點； 當m≠0時，要滿足題意，需圓(x－1)2＋y2＝1與直線y＝m(x＋1)有兩交點，當圓與直線相切時，m＝±， 即直線處于兩切線之間時滿足題意， 則－

14、B的斜率存在，因此軌跡曲線應(yīng)除去A、B兩點； ③一般地，方程＋＝1所表示的曲線有以下幾種情況： 1°　A>B>0，表示焦點在x軸上的橢圓； 2°　A＝B>0，表示圓； 3°　00>B，表示焦點在x軸上的雙曲線； 5°　A<0

15、，(*)式即－＝1， ①若k>0，點P的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線(除去A、B兩點)． ②若k<0，(*)式可化為＋＝1. 1°　當－1

16、　解題導(dǎo)引　(1)由于動點M到兩定點O1、O2的距離的差為常數(shù)，故應(yīng)考慮是否符合雙曲線的定義，是雙曲線的一支還是兩支，能否確定實軸長和虛軸長等，以便直接寫出其方程，而不需再將幾何等式借助坐標轉(zhuǎn)化； (2)求動點的軌跡或軌跡方程時需注意：“軌跡”和“軌跡方程”是兩個不同的概念，前者要指出曲線的形狀、位置、大小等特征，后者指方程(包括范圍)． 解　 如圖所示，以O(shè)1O2的中點O為原點，O1O2所在直線為x軸建立平面直角坐標系． 由O1O2＝4， 得O1(－2,0)、O2(2,0)． 設(shè)動圓M的半徑為r，則 由動圓M與圓O1內(nèi)切，有MO1＝r－1； 由動圓M與圓O2外切，有MO2

17、＝r＋2. ∴MO2－MO1＝3<4. ∴點M的軌跡是以O(shè)1、O2為焦點，實軸長為3的雙曲線的左支． ∴a＝，c＝2，∴b2＝c2－a2＝. ∴點M的軌跡方程為－＝1 (x<0)． 變式遷移2?。? (x>) 解析　∵sin C－sin B＝sin A，由正弦定理得到 AB－AC＝BC＝a(定值)． ∴A點軌跡是以B，C為焦點的雙曲線右支，其中實半軸長為，焦距為BC＝a. ∴虛半軸長為 ＝a，由雙曲線標準方程得為－＝1(x>)． 例3　解題導(dǎo)引　相關(guān)點法也叫坐標轉(zhuǎn)移(代入)法，是求軌跡方程常用的方法．其題目特征是：點A的運動與點B的運動相關(guān)，且點B的運動有規(guī)律(有方程)，

18、只需將A的坐標轉(zhuǎn)移到B的坐標中，整理即可得點A的軌跡方程． 解　設(shè)動點P的坐標為(x，y)，點Q的坐標為(x1，y1)，則點N的坐標為(2x－x1,2y－y1)． ∵N在直線x＋y＝2上， ∴2x－x1＋2y－y1＝2. ① 又∵PQ垂直于直線x＋y＝2， ∴＝1，即x－y＋y1－x1＝0. ② 聯(lián)立①②解得 ③ 又點Q在雙曲線x2－y2＝1上， ∴x－y＝1.④ ③代入④，得動點P的軌跡方程是 2x2－2y2－2x＋2y－1＝0. 變式遷移3　解　設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)， ＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x

19、0＝－x，y＝(y0－y) 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因為AB＝1＋，即x＋y＝(1＋)2， 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡得＋y2＝1. ∴點P的軌跡方程為＋y2＝1. 課后練習(xí)區(qū) 1．以F1、O為焦點的橢圓 2．雙曲線的一支 解析　A、B是兩個定點，CB－CA＝2

20、A、B在拋物線上， 所以由拋物線的定義知，A、B到F的距離AF、BF分別等于A、B到準線l的距離AM、BN(如圖所示)， 于是AF＋BF＝AM＋BN. 過O作OR⊥l，由于l是圓O的一條切線，所以四邊形AMNB是直角梯形，OR是中位線， 故有AF＋BF＝AM＋BN ＝2OR＝8>4＝AB. 根據(jù)橢圓的定義知，焦點F的軌跡是一個橢圓． 5.＋＝1 解析　設(shè)PD中點為M(x，y)，則P點坐標為(2x，y)，代入方程＋＝1， 即得＋＝1. 6．4π 解析　設(shè)P(x，y)，由題知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0， 配方得(x－2)2＋

21、y2＝4，可知圓的面積為4π. 7．(x－10)2＋y2＝36 (y≠0) 解析　方法一　直接法． 設(shè)A(x，y)，y≠0，則D， ∴CD＝ ＝3. 化簡得(x－10)2＋y2＝36， ∵A、B、C三點構(gòu)成三角形， ∴A不能落在x軸上，即y≠0. 方法二　 定義法．如圖所示， 設(shè)A(x，y)，D為AB的中點，過A作AE∥CD交x軸于E， 則E(10,0)． ∵CD＝3，∴AE＝6， ∴A到E的距離為常數(shù)6. ∴A的軌跡為以E為圓心，6為半徑的圓， 即(x－10)2＋y2＝36. 又A、B、C不共線，故A點縱坐標y≠0. 故A點軌跡方程為(x－10)2＋y2

22、＝36 (y≠0)． 8．y2＝8x 9．解　設(shè)M(x，y)，直線AB斜率存在時， 設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b. 由OM⊥AB得k＝－. 設(shè)A、B兩點坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 由y2＝4px及y＝kx＋b消去y， 得k2x2＋x(2kb－4p)＋b2＝0，所以x1x2＝. 消去x，得ky2－4py＋4pb＝0， 所以y1y2＝. (6分) 由OA⊥OB，得y1y2＝－x1x2， 所以＝－，b＝－4kp. 故y＝kx＋b＝k(x－4p)． (10分) 用k＝－代入， 得x2＋y2－4px＝0 (x≠0)． (12分) AB斜率不存在時

23、，經(jīng)驗證也符合上式． 故M的軌跡方程為 x2＋y2－4px＝0 (x≠0)． (14分) 10．解　(1)設(shè)橢圓長半軸長及半焦距分別為a、c，由已知得解得又∵b2＝a2－c2，∴b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (4分) (2)設(shè)M(x，y)，其中x∈[－4,4]， 由已知＝λ2及點P在橢圓C上可得＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112， 其中x∈[－4,4]． (5分) ①當λ＝時，化簡得9y2＝112， 所以點M的軌跡方程為y＝±(－4≤x≤4)． 軌跡是兩條平行于x軸的線段．(7分) ②當λ≠時，方程變形為＋＝1， 其中x∈[－

24、4,4]． 當0<λ<時，點M的軌跡為中心在原點、實軸在y軸上的雙曲線滿足－4≤x≤4的部分． 當<λ<1時，點M的軌跡為中心在原點、長軸在x軸上的橢圓滿足－4≤x≤4的部分； 當λ≥1時，點M的軌跡為中心在原點，長軸在x軸上的橢圓． (14分) 11．解　(1)橢圓的方程可寫為＋＝1，其中a>b>0， 由得，所以曲線C的方程為x2＋＝1(01，y>2)． (10分) (2)||2＝x2＋y2，y2＝＝4＋， 所以||2＝x2－1＋＋5≥4＋5＝9， 當且僅當x2－1＝，即x＝時，上式取等號． 故||的最小值為3. (14分) 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品 高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)精品