《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 二 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 二 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理 Word版含答案（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及判定定理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P21] 1．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) (1)圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)． 如圖：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. (2)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角． 如圖：∠CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一外角，則有：∠CBE＝∠D. 2．圓內(nèi)接四邊形的判定 (1)判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． (2)推論：如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)

2、頂點(diǎn)共圓． [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P21] 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) [例1]　如圖，AB是⊙O的直徑，弦BD，CA的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，EF垂直BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F. 求證：∠DEA＝∠DFA. [思路點(diǎn)撥]　本題主要考查圓內(nèi)接四邊形判定及性質(zhì)的應(yīng)用．解題時(shí)，只需證A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓后可得結(jié)論． [證明]　連接AD.因?yàn)锳B為圓的直徑，所以∠ADB＝90°.又EF⊥AB，∠EFA＝90°，所以A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 所以∠DEA＝∠DFA. 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即對(duì)角互補(bǔ)，一個(gè)外角等于其內(nèi)角的對(duì)角，可用來(lái)作為三角形相似的條件，從而證明一些比例式的成立或證明某些等量關(guān)

3、系． 1．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，已知∠A，∠B，∠C的度數(shù)比為4∶3∶5，求四邊形各角的度數(shù)． 解：設(shè)∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為4x,3x,5x， 則由∠A＋∠C＝180°， 可得4x＋5x＝180°.∴x＝20°. ∴∠A＝4×20°＝80°，∠B＝3×20°＝60°， ∠C＝5×20°＝100°，∠D＝180°－∠B＝120°. 2．已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，延長(zhǎng)AD，BC相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BD的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE平分∠CDF. (1)求證：AB＝AC； (2)若AC＝3 cm，AD＝2 cm，求DE的長(zhǎng)． 解：(1)證明： ∵∠ABC＝∠2，

4、 ∠2＝∠1＝∠3，∠4＝∠3， ∴∠ABC＝∠4. ∴AB＝AC. (2)∵∠3＝∠4＝∠ABC， ∠DAB＝∠BAE， ∴△ABD∽△AEB. ∴＝. ∵AB＝AC＝3，AD＝2， ∴AE＝＝. ∴DE＝－2＝(cm). 圓內(nèi)接四邊形的判定 [例2]　如圖，在△ABC中，E，D，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點(diǎn)，且AP⊥BC于P. 求證：E，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． [思路點(diǎn)撥]　可先連接PF，構(gòu)造四邊形EDPF的外角∠FPC，證明∠FPC＝∠C，再證明∠FPC＝∠FED即可． [證明]　如圖，連接PF， ∵AP⊥BC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)， ∴PF＝AC.

5、 ∵FC＝AC， ∴PF＝FC. ∴∠FPC＝∠C. ∵E、F、D分別為AB，AC，BC的中點(diǎn)． ∴EF∥CD，ED∥FC. ∴四邊形EDCF為平行四邊形， ∴∠FED＝∠C. ∴∠FPC＝∠FED. ∴E，D，P，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 證明四點(diǎn)共圓的方法常有：①如果四點(diǎn)與一定點(diǎn)等距離，那么這四點(diǎn)共圓；②如果四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；③如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；④如果兩個(gè)三角形有公共邊，公共邊所對(duì)的角相等且在公共邊的同側(cè)，那么這兩個(gè)三角形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓． 3．判斷下列各命題是否正確． (1)任意三角形都

6、有一個(gè)外接圓，但可能不只一個(gè)； (2)矩形有唯一的外接圓； (3)菱形有外接圓； (4)正多邊形有外接圓． 解：(1)錯(cuò)誤，任意三角形有唯一的外接圓；(2)正確，因?yàn)榫匦螌?duì)角線的交點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離相等；(3)錯(cuò)誤，只有當(dāng)菱形是正方形時(shí)才有外接圓；(4)正確，因?yàn)檎噙呅蔚闹行牡礁黜旤c(diǎn)的距離相等． 4．已知：在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于點(diǎn)F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于點(diǎn)G.求證： (1)D、E、F、G四點(diǎn)共圓； (2)G、B、C、F四點(diǎn)共圓． 證明：(1)如圖， 連接GF， 由DF⊥AB，EG⊥AC， 知∠GDF＝∠GEF＝90°， ∴GF中點(diǎn)到D、E

7、、F、G四點(diǎn)距離相等，∴D、E、F、G四點(diǎn)共圓． (2)連接DE.由AD＝DB，AE＝EC，知DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B.又由(1)中D、E、F、G四點(diǎn)共圓， ∴∠ADE＝∠GFE.∴∠GFE＝∠B. ∴G、B、C、F四點(diǎn)共圓. 圓內(nèi)接四邊形的綜合應(yīng)用 [例3]　如圖，已知⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙O1上一點(diǎn)，PA、PB的延長(zhǎng)線分別交⊙O2于點(diǎn)D、C，⊙O1的直徑PE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)M. 求證：PM⊥CD. [思路點(diǎn)撥]　⊙O1與⊙O2相交，考慮連接兩交點(diǎn)A、B得公共弦AB；PE是⊙O1的直徑，考慮連接AE或BE得90°的圓周角；要證PM⊥CD，再考慮

8、證角相等． [證明]　如圖， 分別連接AB，AE， ∵A、B、C、D四點(diǎn)共圓， ∴∠ABP＝∠D. ∵A、E、B、P四點(diǎn)共圓， ∴∠ABP＝∠AEP. ∴∠AEP＝∠D. ∴A、E、M、D四點(diǎn)共圓． ∴∠PMC＝∠DAE. ∵PE是⊙O1的直徑， ∴EA⊥PA. ∴∠PMC＝∠DAE＝90°. ∴PM⊥CD. 此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，知識(shí)點(diǎn)豐富，解決的辦法大多是先判斷四點(diǎn)共圓，然后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明或求得某些結(jié)論成立． 5.如圖，P點(diǎn)是等邊△ABC外接圓的上一點(diǎn)，CP的延長(zhǎng)線和AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，連接BP. 求證：(1)∠D＝∠CBP； (2)

9、AC2＝CP·CD. 證明：(1)∵△ABC為等邊三角形， ∴∠ABC＝∠A＝60°. ∴∠DBC＝120°. 又∵四邊形ABPC是圓內(nèi)接四邊形， ∴∠BPC＝180°－∠A＝120°. ∴∠BPC＝∠DBC. 又∵∠DCB＝∠BCP， ∴△BCP∽△DCB. ∴∠D＝∠CBP. (2)由(1)知△BCP∽△DCB， ∴＝. ∴CB2＝CP·CD. 又CB＝AC，∴AC2＝CP·CD. 6．如圖，在正三角形ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于點(diǎn)P. 求證：(1)四點(diǎn)P，D，C，E共圓； (2)AP⊥CP. 解：

10、(1)證明：在△ABC中， 由BD＝BC，CE＝CA知： △ABD≌△BCE， 即∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝180°， 所以四點(diǎn)P，D，C，E共圓． (2)如圖，連接DE. 在△CDE中，CD＝2CE， ∠ACD＝60°， 由余弦定理知∠CED＝90°. 由四點(diǎn)P，D，C，E共圓知， ∠DPC＝∠DEC， 所以AP⊥CP. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P24] 一、選擇題 1．設(shè)四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，現(xiàn)給出四個(gè)關(guān)系式： ①sin A＝sin C，②sin A＋sin C＝0，③cos B＋cos D＝0，④cos B＝cos D. 其中恒成立的關(guān)系

11、式的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：因?yàn)閳A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)， 故∠A＝180°－∠C，且∠A，∠C均不為0°或180°， 故①式恒成立，②式不成立． 同樣由∠B＝180°－∠D知，③式恒成立． ④式只有當(dāng)∠B＝∠D＝90°時(shí)成立． 答案：B 2．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2 C．4∶1∶3∶2 D．以上都不對(duì) 解析：由四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，從而只有B符合題意． 答案：B 3．如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四

12、邊形，E為AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠CBE＝40°，則∠AOC等于(　　) A．20° B．40° C．80° D．100° 解析：四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且∠CBE＝40°，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠D＝∠CBE＝40°， 又由圓周角定理知：∠AOC＝2∠D＝80°. 答案：C 4．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，下列結(jié)論中正確的有(　　) ①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°； ②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形； ③∠A的外角與∠C的外角互補(bǔ)； ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：由“

13、圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)”可知：①相等且互補(bǔ)的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對(duì)角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補(bǔ)兩內(nèi)角的外角也互補(bǔ)；④兩組對(duì)角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯(cuò)誤． 答案：B 二、填空題 5．(2014·陜西高考)如圖，△ABC中，BC＝6，以BC為直徑的半圓分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，若AC＝2AE，則EF＝________. 解析：∵B，C，F(xiàn)，E四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，∴∠AEF＝∠ACB，又∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB，∴＝， 即＝，∴EF＝3. 答案：3 6．如圖，直徑AB＝10，弦BC＝8，CD平分∠

14、ACB，則AC＝______， BD＝________. 解析：∠ACB＝90°，∠ADB＝90°. 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6. 又∵CD平分∠ACB. 即∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD. ∴BD＝ ＝5. 答案：6　5 7．如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在⊙O上，若∠C＝34°，則∠AOB＝________，∠ADB＝________. 解析：∵∠C和∠AOB分別是所對(duì)的圓周角與圓心角， ∴∠AOB＝2∠C＝68°. ∵周角是360°，劣弧AB的度數(shù)為68°，∴優(yōu)弧AB的度數(shù)為292°. ∴∠ADB＝×292°＝146°. 答案：

15、68°　146° 三、解答題 8.已知：如圖，E、F、G、H分別為菱形ABCD各邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC與BD相交于O點(diǎn)，求證：E，F(xiàn)，G，H共圓． 證明：法一：連接EF、FG、GH、HE. ∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)， ∴EF∥AC.同理EH∥BD. ∴∠HEF＝∠AOB. ∵AC⊥BD，∴∠HEF＝90°. 同理∠FGH＝90°. ∴∠HEF＋∠FGH＝180°. ∴E、F、G、H共圓． 法二： 連接OE、OF、OG、OH. ∵四邊形ABCD為菱形． ∴AC⊥BD， AB＝BC＝CD＝DA. ∵E、F、G、H分別為菱形ABCD各邊的中點(diǎn)， ∴OE＝AB，O

16、F＝BC， OG＝CD，OH＝DA. ∴OE＝OF＝OG＝OH. ∴E，F(xiàn)，G，H在以O(shè)點(diǎn)為圓心，以O(shè)E為半徑的圓上． 故E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共圓． 9.如圖，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于E點(diǎn)，且EC＝ED. (1)證明：CD∥AB； (2)延長(zhǎng)CD到F，延長(zhǎng)DC到G，使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 證明：(1)因?yàn)镋C＝ED， 所以∠EDC＝∠ECD. 因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上， 所以∠EDC＝∠EBA. 故ECD＝∠EBA. 所以CD∥AB. (2)由(1)知，AE＝BE. 因?yàn)镋F＝EG， 故∠EFD＝

17、∠EGC，從而∠FED＝∠GEC. 連接AF，BG，則△EFA≌△EGB， 故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA. 所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 10．如圖，已知⊙O的半徑為2，弦AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)C與點(diǎn)D分別是劣弧與優(yōu)弧上的任一點(diǎn)(點(diǎn)C、D均不與A、B重合)． (1)求∠ACB. (2)求△ABD的最大面積． 解：(1)連接OA、OB，作OE⊥AB，E為垂足，則AE＝BE. Rt△AOE中，OA＝2. AE＝AB＝×2＝. 所以sin ∠AOE＝＝， ∴∠AOE＝60°，∠AOB＝2∠AOE＝120°. 又∠ADB＝∠AOB， ∴∠ADB＝60°. 又四邊形ACBD為圓內(nèi)接四邊形， ∴∠ACB＋∠ADB＝180°. 從而有∠ACB＝180°－∠ADB＝120°. (2)作DF⊥AB，垂足為F，則 S△ABD＝AB·DF＝×2×DF＝DF. 顯然，當(dāng)DF經(jīng)過(guò)圓心O時(shí)，DF取最大值， 從而S△ABD取得最大值． 此時(shí)DF＝DO＋OF＝3，S△ABD＝3， 即△ABD的最大面積是3. 最新精品資料