《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第二講 五 與圓有關(guān)的比例線段 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第二講 五 與圓有關(guān)的比例線段 Word版含解析（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 五與圓有關(guān)的比例線段 [對應(yīng)學(xué)生用書P31] 1．相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．如圖，弦AB與CD相交于P點，則PA·PB＝PC·PD. 2．割線有關(guān)定理 (1)割線定理： ①文字敘述： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． ②圖形表示： 如圖，⊙O的割線PAB與PCD，則有：PA·PB＝PC·PD. (2)切割線定理： ①文字敘述： 從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例

2、中項； ②圖形表示： 如圖，⊙O的切線PA，切點為A，割線PBC，則有PA2＝PB·PC. 3．切線長定理 (1)文字敘述： 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角． (2)圖形表示： 如圖：⊙O的切線PA，PB，則PA＝PB，∠OPA＝∠OPB. [對應(yīng)學(xué)生用書P32] 相交弦定理 [例1]　如圖，已知在⊙O中，P是弦AB的中點，過點P作半徑OA的垂線分別交⊙O于C、D兩點，垂足是點E. 求證：PC·PD＝AE·AO. [思路點撥]　由相交弦定理知PC·PD＝AP·PB，又P為AB的中點，∴PC·PD＝AP2.

3、在Rt△PAO中再使用射影定理即可． [證明]　連接OP， ∵P為AB的中點， ∴OP⊥AB，AP＝PB. ∵PE⊥OA， ∴AP2＝AE·AO. ∵PD·PC＝PA·PB＝AP2， ∴PD·PC＝AE·AO. (1)相交弦定理的運用往往與相似三角形聯(lián)系密切，也經(jīng)常與垂徑定理、射影定理等相結(jié)合進行某些計算與證明． (2)由相交弦定理可得推論：垂直于弦的直徑平分這條弦，且弦的一半是直徑被弦分成的兩條線段的比例中項． 1.如圖，已知⊙O的兩條弦AB，CD相交于AB的中點E，且AB＝4，DE＝CE＋3，則CD的長為(　　) A．4　　　　　　　　　 B．5 C．8

4、 D．10 解析：設(shè)CE＝x，則DE＝3＋x.根據(jù)相交弦定理，得x(x＋3)＝2×2，x＝1或x＝－4(不合題意，應(yīng)舍去)． 則CD＝3＋1＋1＝5. 答案：B 2.如圖，已知AB是⊙O的直徑，OM＝ON，P是⊙O上的點，PM、PN的延長線分別交⊙O于Q、R. 求證：PM·MQ＝PN·NR. ?PM·MQ＝PN·NR. 割線定理、切割線定理 [例2]　如圖，AB是⊙O的一條切線，切點為B，ADE，CFD，CGE都是⊙O的割線，已知AC＝AB. 證明：(1)AD·AE＝AC2； (2)FG∥AC. [思路點撥]　(1)利用切割線定理； (2)證△ADC∽△

5、ACE. [證明]　(1)∵AB是⊙O的一條切線， ADE是⊙O的割線， ∴由切割線定理得AD·AE＝AB2. 又AC＝AB，∴AD·AE＝AC2. (2)由(1)得＝， 又∠EAC＝∠DAC，∴△ADC∽△ACE. ∴∠ADC＝∠ACE. 又∠ADC＝∠EGF，∴∠EGF＝∠ACE. ∴FG∥AC. (1)割線定理、切割線定理常常與弦切角定理、相交弦定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形知識結(jié)合在一起解決數(shù)學(xué)問題，有時切割線定理利用方程進行計算、求值等． (2)切割線定理可以看成是割線定理的特殊情況，當(dāng)兩條割線中的一條變成切線時，即為切割線定理． 3．如

6、圖，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D.若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，則PD＝________；AB＝________. 解析：∵PD∶DB＝9∶16， 不妨設(shè)PD＝9a，DB＝16a(a>0)，∴PB＝25a. 由切割線定理知PA2＝PD·PB， 即9＝9a×25a，∴a＝. ∴PD＝.在直角三角形PAB中，PA＝3， PB＝5，可知AB＝4. 答案：　4 4.如圖，AD為⊙O的直徑，AB為⊙O的切線，割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求： (1)BC的長； (2)⊙O的半徑r. 解：(1)不妨設(shè)BM＝MN＝NC＝

7、x. 根據(jù)切割線定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)， 解得x＝，∴BC＝3x＝3. (2)在Rt△ABC中， AC＝＝， 由割線定理，得 CD·AC＝CN·CM，由(1)可知， CN＝，BC＝3，CM＝BC－BM＝3－＝2，AC＝， ∴CD＝＝， ∴r＝(AC－CD) ＝＝. 切線長定理 [例3]　如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，過點C的切線與過A、B兩點的切線分別交于點E、F，AF與BE交于點P. 求證：∠EPC＝∠EBF. [思路點撥]　→→→→ [證明]　∵EA，EF，F(xiàn)B是⊙O的切線， ∴EA＝EC，F(xiàn)C＝FB. ∵E

8、A，F(xiàn)B切⊙O于A，B，AB是直徑， ∴EA⊥AB，F(xiàn)B⊥AB. ∴EA∥FB.∴＝.∴＝. ∴CP∥FB.∴∠EPC＝∠EBF. 運用切線長定理時，注意分析其中的等量關(guān)系，即①切線長相等，②圓外點與圓心的連線平分兩條切線的夾角，然后結(jié)合三角形等圖形的有關(guān)性質(zhì)進行計算與證明． 5．兩個等圓⊙O與⊙O′外切，過O作⊙O′的兩條切線OA、OB，A、B是切點，則∠AOB＝(　　) A．90°　　　　　　　　 B．60° C．45° D．30° 解析：如圖，連接OO′，O′A. ∵OA為⊙O′的切線， ∴∠OAO′＝90°. 又∵⊙O與⊙O′為等圓且外切， ∴O

9、O′＝2O′A. ∴sin ∠AOO′＝＝. ∴∠AOO′＝30°. 又由切線長定理知∠AOB＝2∠AOO′＝60°. 答案：B 6.已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA和⊙O分別相切于L，M，N，P. 求證：AD＋BC＝AB＋CD. 證明：由圓的切線長定理得 CM＝CN，BL＝BM，AP＝AL，DP＝DN， ∵AB＝AL＋LB，BC＝BM＋MC， CD＝CN＋ND，AD＝AP＋PD， ∴AD＋BC＝(AP＋PD)＋(BM＋MC) ＝(AL＋ND)＋(BL＋CN) ＝(AL＋BL)＋(ND＋CN) ＝AB＋CD， 即AD＋BC＝AB＋CD.

10、[對應(yīng)學(xué)生用書P33] 一、選擇題 1．自圓外一點所作過圓心的割線長是12 cm，圓的半徑為4 cm，則過此點所引的切線長為(　　) A．16 cm　　　　　　　　 B．4 cm C．4 cm D．以上答案都不對 解析：設(shè)切線長為x cm，由切割線定理得x2＝(12－2×4)×12，故x＝4. 答案：B 2．點C在⊙O的弦AB上，P為⊙O上一點，且OC⊥CP，則(　　) A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PB C．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB 解析：根據(jù)OC⊥CP，可知C為過PC點弦的中點，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB. 答案：D

11、 3．如圖，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，以BD為直徑的圓與BC交于點E，則(　　) A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 解析：在直角三角形ABC中，根據(jù)直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根據(jù)切割線定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB. 答案：A 4.已知PT切⊙O于點T，TC是⊙O的直徑，割線PBA交TC于點D，交⊙O于B、A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，則PB等于(　　) A．20 B．10 C．5 D．8 解析：∵DA＝3，DB＝4，DC

12、＝2， ∴由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT， 即DT＝＝＝6； 因為TC為⊙O的直徑，所以PT⊥DT. 設(shè)PB＝x， 則在Rt△PDT中， PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36. 由切割線定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)， 所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)， 解得x＝20，即PB＝20. 答案：A 二、填空題 5．AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，AM＝4，BM＝9，則弦CD的長為________． 解析：根據(jù)相交弦定理，AM·BM＝()2， 所以＝6，CD＝12. 答案： 12 6.如圖所示，直線PB與圓O相切于點B，D是弦AC上的

13、點，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，則AB＝________. 解析：因為直線PB是圓的切線，所以∠ABP＝∠C，又因為∠ABP＝∠ABD，所以∠ABD＝∠C，又因為∠A＝∠A，所以△ABD∽△ACB，所以＝，所以AB＝＝. 答案： 7.如圖，PA，PB分別為⊙O的切線，切點分別為A，B，PA＝7，在劣弧上任取一點C，過C作⊙O的切線，分別交PA，PB于D，E，則△PDE的周長是________． 解析：由切線長定理知， PB＝PA＝7，且DA＝DC，EC＝EB， 所以△PDE的周長為PD＋PE＋DE＝PD＋DC＋CE＋PE＝PA＋PB＝14. 答案：14 三、解答題

14、 8.如圖，AB是圓O的直徑，弦CD⊥AB，垂足是G，F(xiàn)是CG的中點，延長AF交⊙O于E，CF＝2，AF＝3，求EF的長． 解：因為CD⊥AB于G，F(xiàn)為CG的中點，所以G為CD的中點，即CD＝8，F(xiàn)D＝6. 又因為AF·FE＝CF·FD，即3×EF＝2×6， 所以EF＝4. 9.已知：如圖，PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C三點，PO＝13 cm，⊙O半徑r＝5 cm，求△PDE的周長． 解：∵PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C三點， ∴DA＝DC，EB＝EC. ∴△PDE的周長為PA＋PB＝2PA. 連接OA，則OA⊥PA. ∴PA＝＝＝12 cm. ∴△PDE的

15、周長為24 cm. 10．如圖，已知⊙O1和⊙O2相交于點A，B，過點A作⊙O1的切線交⊙O2于點C，過點B作兩圓的割線，分別交⊙O1，⊙O2于點D，E，DE與AC相交于點P. (1)求證：AD∥EC； (2)若AD是⊙O2的切線，且PA＝6，PC＝2，BD＝9，求AD的長． 解：(1)證明：連接AB. ∵AC為⊙O1的切線， ∴∠BAC＝∠D. 又∵∠BAC＝∠E，∴∠D＝∠E. ∴AD∥EC. (2)設(shè)PB＝x，PE＝y(tǒng)， 由相交弦定理，得PB·PE＝PA·PC， 則x·y＝6×2，∴xy＝12.① ∵AD∥EC，∴＝， 即＝.∴9＋x＝3y.② 由①②解得或(舍去)． ∴DE＝9＋3＋4＝16. ∵AD為⊙O2的切線， ∴由切割線定理，得AD2＝DB·DE＝9×16. ∴AD＝12. 最新精品資料