《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收 Word版含答案（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P35] 近兩年高考中，主要考查圓的切線定理，切割線定理，相交弦定理，圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)等．題目難度不大，以容易題為主．對(duì)于與圓有關(guān)的比例線段問(wèn)題通常要考慮利用相交弦定理、割線定理、切割線定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等；弦切角是溝通圓內(nèi)已知和未知的橋梁，它在解決圓內(nèi)有關(guān)等角問(wèn)題中可以大顯身手；證明四點(diǎn)共圓也是常見(jiàn)的考查題型，常見(jiàn)的證明方法有：①到某定點(diǎn)的距離都相等；②如果某兩點(diǎn)在一條線段的同側(cè)時(shí)，可證明這兩點(diǎn)對(duì)該線段的張角相等；③證明凸四邊形的內(nèi)對(duì)角互補(bǔ)(或外

2、角等于它的內(nèi)對(duì)角)等． 1．(湖南高考)如圖，已知AB，BC是⊙O的兩條弦，AO⊥BC，AB＝，BC＝2，則⊙O的半徑等于________． 解析：設(shè)AO，BC的交點(diǎn)為D，由已知可得D為BC的中點(diǎn)，則在直角三角形ABD中，AD＝＝1，設(shè)圓的半徑為r，延長(zhǎng)AO交圓O于點(diǎn)E，由圓的相交弦定理可知BD·CD＝AD·DE，即()2＝2r－1，解得r＝. 答案： 2.(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA是切線，A為切點(diǎn)，割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B，C，PC＝2PA，D為PC的中點(diǎn)，AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.證明： (1)BE＝EC； (2)AD·DE＝2PB2. 證明：(1

3、)連接AB，AC.由題設(shè)知PA＝PD，故∠PAD＝∠PDA. 因?yàn)椤螾DA＝∠DAC＋∠DCA， ∠PAD＝∠BAD＋∠PAB，∠DCA＝∠PAB， 所以∠DAC＝∠BAD，從而＝. 因此BE＝EC. (2)由切割線定理得PA2＝PB·PC. 因?yàn)镻A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB. 由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC， 所以AD·DE＝2PB2. 3．(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長(zhǎng)線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓． (1)證明：CA是△ABC外接圓的直

4、徑； (2)若DB＝BE＝EA，求過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值. 解：(1)證明：因?yàn)镃D為△ABC外接圓的切線，所以∠DCB＝∠A，由題設(shè)知＝， 故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因?yàn)锽，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°. 所以∠CBA＝ 90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑． (2)連接CE，因?yàn)椤螩BE＝90°， 所以過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE. 由BD＝BE，有CE＝DC. 又BC2＝DB·BA＝2DB2， 所以CA2＝4

5、DB2＋BC2＝6DB2. 而DC2＝DB·DA＝3DB2， 故過(guò)B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P35] 圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形是中學(xué)教學(xué)的主要研究問(wèn)題之一，近幾年各地的高考選做題中常涉及圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)． [例1]　已知四邊形ABCD為平行四邊形，過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B的圓與AD、BC分別交于E、F. 求證：C、D、E、F四點(diǎn)共圓． [證明]　連接EF， 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形， 所以∠B＋∠C＝180°. 因?yàn)樗倪呅蜛BFE內(nèi)接于圓， 所以∠B＋∠AEF＝180°. 所以∠AEF＝∠C.

6、所以C、D、E、F四點(diǎn)共圓． [例2]　如圖，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng)BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　) A．120°　　　　　　 B．136° C．144° D．150° [解析]　由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)知∠A＝∠DCE， 而∠BCD∶∠ECD＝3∶2， 且∠BCD＋∠ECD＝180°，∠ECD＝72°. 又由圓周角定理知∠BOD＝2∠A＝144°. [答案]　C 直線與圓相切 直線與圓有三種位置關(guān)系，即相交、相切、相離；其中直線與圓相切的位置關(guān)系非常重要，結(jié)合此知識(shí)點(diǎn)所設(shè)計(jì)的有關(guān)切線的判定與性質(zhì)、弦切角的性質(zhì)等問(wèn)題是高考選做題

7、熱點(diǎn)之一，解題時(shí)要特別注意． [例3]　如圖，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，PA切⊙O于點(diǎn)A，且PA＝PB. (1)求證：PB是⊙O的切線； (2)已知PA＝，BC＝1，求⊙O的半徑． [解]　(1)證明：如圖，連接OB. ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA. ∵PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA. ∴∠OAB＋∠PAB＝ ∠OBA＋∠PBA， 即∠PAO＝∠PBO. 又∵PA是⊙O的切線，∴∠PAO＝90°. ∴∠PBO＝90°.∴OB⊥PB. 又OB是⊙O半徑，∴PB是⊙O的切線． (2)連接OP，交AB于點(diǎn)D.如圖． ∵PA＝PB

8、，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上． ∵OA＝OB，∴點(diǎn)O在線段AB的垂直平分線上． ∴OP垂直平分線段AB. ∴∠PAO＝∠PDA＝90°. 又∵∠APO＝∠OPA，∴△APO∽△DPA. ∴＝.∴AP2＝PO·DP. 又∵OD＝BC＝，∴PO(PO－OD)＝AP2. 即PO2－PO＝()2，解得PO＝2. 在Rt△APO中，OA＝＝1， 即⊙O的半徑為1. 與圓有關(guān)的比例線段 圓的切線、割線、相交弦可以構(gòu)成許多相似三角形，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)，又可以得到一些比例式、乘積式，在解題中，多聯(lián)系這些知識(shí)，能夠計(jì)算或證明角、線段的有關(guān)結(jié)論． [例4]　如圖，A，B是兩圓的

9、交點(diǎn)，AC是小圓的直徑，D和E分別是CA和CB的延長(zhǎng)線與大圓的交點(diǎn)，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的長(zhǎng)． [解]　設(shè)CB＝AD＝x，則由割線定理得：CA·CD＝CB·CE， 即4(4＋x)＝x(x＋10)， 化簡(jiǎn)得x2＋6x－16＝0， 解得x＝2或x＝－8(舍去)， 即CD＝6，CE＝12. 連接AB，因?yàn)镃A為小圓的直徑， 所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°， 則由圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得∠D＝90°， 則CD2＋DE2＝CE2， 所以62＋DE2＝122， 所以DE＝6. [例5]　△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑作圓，交BC于D，O是

10、圓心，DM是⊙O的切線交AC于M(如圖)． 求證：DC2＝AC·CM. [證明]　連接AD、OD. ∵AB是直徑，∴AD⊥BC. ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ODA. 又AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD. 則∠CAD＝∠ODA，OD∥AC. ∵DM是⊙O切線，∴OD⊥DM. 則DM⊥AC，DC2＝AC·CM. [對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)P43] (時(shí)間：90分鐘，滿分：120分) 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．圓內(nèi)接四邊形的4個(gè)角中，如果沒(méi)有直角，那么一定有(　　) A．2個(gè)

11、銳角和2個(gè)鈍角 B．1個(gè)銳角和3個(gè)鈍角 C．1個(gè)鈍角和3個(gè)銳角 D．都是銳角或都是鈍角 解析：由于圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，圓內(nèi)接四邊形的4個(gè)角中若沒(méi)有直角，則必有2個(gè)銳角和2個(gè)鈍角． 答案：A 2.如圖，在⊙O中，弦AB長(zhǎng)等于半徑，E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠DAE＝80°，則∠ACD的度數(shù)是(　　) A．60° B．50° C．45° D．30° 解析：∠BCD＝∠DAE＝80°， 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝AC， ∴∠ACB＝30°.∴∠ACD＝80°－30°＝50°. 答案：B 3．如圖所示，在半徑為2 cm的⊙O內(nèi)有長(zhǎng)為2 cm的弦AB.則

12、此弦所對(duì)的圓心角∠AOB為(　　) A．60° B．90° C．120° D．150° 解析：作OC⊥AB于C，則BC＝， 在Rt△BOC中cos ∠B＝＝. ∴∠B＝30°. ∴∠BOC＝60°.∴∠AOB＝120°. 答案：C 4.如圖，已知⊙O的半徑為5，兩弦AB、CD相交于AB的中點(diǎn)E，且AB＝8，CE∶ED＝4∶9，則圓心到弦CD的距離為(　　) A. B. C. D. 解析：過(guò)O作OH⊥CD，連接OD， 則DH＝CD， 由相交弦定理知， AE·BE＝CE·DE. 設(shè)CE＝4x，則DE＝9x， ∴4×4＝4x×9x，解得x＝， ∴OH

13、＝＝ ＝. 答案：A 5.如圖，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割線，且PB＝BC，PA＝3，那么BC的長(zhǎng)為(　　) A. B．2 C．3 D．3 解析：根據(jù)切割線定理PA2＝PB·PC， 所以(3)2＝2PB2.所以PB＝3＝BC. 答案：C 6．兩個(gè)同心圓的半徑分別為3 cm和6 cm，作大圓的弦MN＝6 cm，則MN與小圓的位置關(guān)系是(　　) A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定 解析：作OA⊥MN于A.連接OM. 則MA＝MN＝3. 在Rt△OMA中， OA＝＝3(cm)． ∴MN與小圓相切． 答案：A 7.如圖，PAB，PDC是⊙O

14、的割線，連接AD，BC，若PD∶PB＝1∶4，AD＝2，則BC的長(zhǎng)是(　　) A．4 B．5 C．6 D．8 解析：由四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形可得∠PAD＝∠C，∠PDA＝∠B. ∴△PAD∽△PCB.∴＝＝. 又AD＝2，∴BC＝8. 答案：D 8．已知⊙O的兩條弦AB，CD交于點(diǎn)P，若PA＝8 cm，PB＝18 cm，則CD的長(zhǎng)的最小值為(　　) A．25 cm B．24 cm C．20 cm D．12 cm 解析：設(shè)CD＝a cm，CD被P分成的兩段中一段長(zhǎng)x cm，另一段長(zhǎng)為(a－x) cm.則x(a－x)＝8×18， 即8×18≤()2＝

15、a2. 所以a2≥576＝242，即a≥24. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝a－x，即x＝a＝12時(shí)等號(hào)成立． 所以CD的長(zhǎng)的最小值為24 cm. 答案：B 9．如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的半圓上，連接AC、BC，AB＝10，tan ∠BAC＝，則陰影部分的面積為(　　) A.π B.π－24 C．24 D.π＋24 解析：∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°， ∵tan ∠BAC＝， ∴sin ∠BAC＝. 又∵sin ∠BAC＝，AB＝10， ∴BC＝×10＝6. AC＝×BC＝×6＝8， ∴S陰影＝S半圓－S△ABC＝×π×52－×8×6 ＝π－24. 答案：B 10

16、．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以A為圓心、AC為半徑的圓交AB于F，交BA的延長(zhǎng)線于E，CD⊥AB于D，給出四個(gè)等式： ①BC2＝BF·BA；②CD2＝AD·AB； ③CD2＝DF·DE；④BF·BE＝BD·BA. 其中能夠成立的有(　　) A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：①②不正確，由相交弦定理知③正確， 又由BC2＝BE·BF，BC2＝BD·BA， 得BE·BF＝BD·BA，故④正確． 答案：B 二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．把正確答案填寫(xiě)在題中的橫線上) 11．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠BOD＝120°，OB

17、＝1，則∠BAD＝________，∠BCD＝________，的長(zhǎng)＝________. 解析：∠BAD＝∠BOD＝60°， ∠BCD＝180°－∠BAD＝120°， 由圓的半徑OB＝1，∠BOD＝， ∴的長(zhǎng)為. 答案：60°　120°　 12．(陜西高考)如圖，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EF⊥DB，垂足為F，若AB＝6，AE＝1，則DF·DB＝________. 解析：由相交弦定理可知ED2＝AE·EB＝1×5＝5，又易知△EBD與△FED相似，得DF·DB＝ED2＝5. 答案：5 13.如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，AC，BC，AB分別與⊙O切于點(diǎn)D，E，

18、F，∠C＝90°，AD＝3，⊙O的半徑為2，則BC＝________. 解析：如圖所示，分別連接OD，OE，OF. ∵OE＝OD，CD＝CE，OE⊥BC，OD⊥AC， ∴四邊形OECD是正方形． 設(shè)BF＝x，則BE＝x. ∵AD＝AF＝3，CD＝CE＝2， ∴(2＋x)2＋25＝(x＋3)2，解得x＝10， ∴BC＝12. 答案：12 14．如圖，AB為⊙O的直徑，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延長(zhǎng)線于E，若EA＝1，ED＝2，則BC＝________. 解析：∵CE為⊙O的切線，D為切點(diǎn)， ∴ED2＝EA·EB. 又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4， 又∵

19、CB、CD均為⊙O的切線，∴CD＝CB. 在Rt△EBC中，設(shè)BC＝x，則EC＝x＋2. 由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2. ∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3. 答案：3 三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿分12分)如圖，設(shè)AB為⊙O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是⊙O與l的公共點(diǎn)，AC⊥l，BD⊥l，垂足分別為C，D，且PC＝PD，求證：(1)l是⊙O的切線； (2)PB平分∠ABD. 證明：(1)連接OP， 因?yàn)锳C⊥l，BD⊥l， 所以AC∥BD. 又OA＝OB，PC＝PD

20、， 所以O(shè)P∥BD，從而OP⊥l. 因?yàn)镻在⊙O上，所以l是⊙O的切線． (2)連接AP，因?yàn)閘是⊙O的切線， 所以∠BPD＝∠BAP. 又∠BPD＋∠PBD＝90°， ∠BAP＋∠PBA＝90°， 所以∠PBA＝∠PBD， 即PB平分∠ABD. 16．(本小題滿分12分)(2012·遼寧高考)如圖，⊙O和⊙O′相交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A作兩圓的切線分別交兩圓于C，D兩點(diǎn)，連結(jié)DB并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)E. 證明：(1)AC·BD＝AD·AB； (2)AC＝AE. 證明：(1)由AC與⊙O′相切于A，得∠CAB＝∠ADB， 同理∠ACB＝∠DAB， 所以△ACB∽△DAB

21、.從而＝， 即AC·BD＝AD·AB. (2)由AD與⊙O相切于A，得∠AED＝∠BAD， 又∠ADE＝∠BDA，得 △EAD∽△ABD.從而＝， 即AE·BD＝AD·AB. 結(jié)合(1)的結(jié)論，AC＝AE. 17.(本小題滿分12分)如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為E，弦BM與CD交于點(diǎn)F. (1)證明：A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓； (2)證明：AC2＋BF·BM＝AB2. 證明：(1)連接AM，則∠AMB＝90°. ∵AB⊥CD，∴∠AEF＝90°. ∴∠AMB＋∠AEF＝180°， 即A，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓． (2)連接CB，由A，E，F(xiàn)，M

22、四點(diǎn)共圓， 得BF·BM＝BE·BA. 在Rt△ACB中，BC2＝BE·BA，AC2＋CB2＝AB2， ∴AC2＋BF·BM＝AB2. 18．(遼寧高考)(本小題滿分14分)如圖，EP交圓于E，C兩點(diǎn)，PD切圓于D，G為CE上一點(diǎn)且PG＝PD，連接DG并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)A，作弦AB垂直EP，垂足為F. (1)求證：AB為圓的直徑； (2)若AC＝BD，求證：AB＝ED. 證明：(1)因?yàn)镻D＝PG，所以∠PDG＝∠PGD. 由于PD為切線，故∠PDA＝∠DBA， 又由于∠PGD＝∠EGA，故∠DBA＝∠EGA， 所以∠DBA＋∠BAD＝∠EGA＋∠BAD， 從而∠BDA＝∠PFA. 由于AF⊥EP，所以∠PFA＝90°，于是∠BDA＝90°.故AB是直徑． (2)連接BC，DC. 由于AB是直徑，故∠BDA＝∠ACB＝90°. 在Rt△BDA與Rt△ACB中，AB＝BA，AC＝BD， 從而Rt△BDA≌Rt△ACB， 于是∠DAB＝∠CBA. 又因?yàn)椤螪CB＝∠DAB，所以∠DCB＝∠CBA，故DC∥AB. 由于AB⊥EP，所以DC⊥EP，∠DCE為直角． 于是ED為直徑．由(1)得ED＝AB. 最新精品資料