《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 4 弦切角的性質(zhì) Word版含解析（18頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 四　弦切角的性質(zhì) 1．掌握弦切角定理，并能利用它解決有關(guān)問題．(重點(diǎn)) 2．體會(huì)分類思想，運(yùn)動(dòng)變化思想和化歸思想．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理　弦切角定理 閱讀教材P33～P34，完成下列問題． 1．弦切角 頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角． 2．弦切角定理 (1)文字語言敘述： 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角． (2)圖形語言敘述： 如圖2-4-1，AB與⊙O切于A點(diǎn)，則∠BAC＝∠D. 圖2-4-1 1．P在⊙O外，PM切

2、⊙O于C，PAB交⊙O于A，B，則(　　) A．∠MCB＝∠B　　 B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 【解析】　由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 【答案】　C 2．如圖2-4-2所示，MN與⊙O相切于點(diǎn)M，Q和P是⊙O上兩點(diǎn)，∠PQM＝70°，則∠NMP等于(　　) 圖2-4-2 A．20°　　　　　　 B．70° C．110° D．160° 【解析】　根據(jù)弦切角定理：∠NMP＝∠PQM＝70°. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　

3、疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 利用弦切角定理解決與角 有關(guān)的問題 　如圖2-4-3，AB是半圓O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)(異于A，B)，過C作圓O的切線l，過A作直線l的垂線AD，垂足為D，AD交半圓于點(diǎn)E，求證：CB＝CE. 圖2-4-3 【精彩點(diǎn)撥】　解答本題的關(guān)鍵是運(yùn)用弦切角定理與圓周角定理的有關(guān)知識(shí)，進(jìn)行角度的等量替換． 【自主解答】　連接AC，BE，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F，因?yàn)锳B是半圓O的直徑，C為圓周上一點(diǎn)， 所以∠ACB＝90°，即∠BCF＋∠ACD＝90°. 又因?yàn)锳D⊥l，所以∠DAC＋∠ACD＝90°， 所以∠BCF＝∠DAC

4、. 又因?yàn)橹本€l是圓O的切線，所以∠CEB＝∠BCF， 又∠DAC＝∠CBE，所以∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE. 則∠CEB＝∠DAC，由圓周角定理知∠DAC＝∠CBE，∴∠CBE＝∠CEB，∴CB＝CE. 1．把證明線段相等轉(zhuǎn)化為證明角的相等是弦切角定理應(yīng)用的常見題目． 2．利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對(duì)的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對(duì)的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角． [再練一題] 1．如圖2-4-4，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，過A作AD⊥CD，D為垂足． 圖2-4-4

5、 (1)求證：∠DAC＝∠BAC； (2)若AC＝8，cos∠BAC＝，求⊙O的直徑． 【解】　(1)證明：連接BC，OC， 因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以∠ACB＝90°， 所以∠B＋∠BAC＝90°. 因?yàn)橹本€CD與⊙O相切于點(diǎn)C， 所以∠ACD＝∠B，∠OCD＝90°. 因?yàn)锳D⊥CD， 所以∠DAC＋∠ACD＝90°. 所以∠DAC＝∠BAC. (2)因?yàn)閏os∠BAC＝，所以＝， 因?yàn)锳C＝8，所以AB＝10， 故⊙O的直徑為10. 　利用弦切角定理證明比例式 或乘積式 　如圖2-4-5，PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥P

6、B，垂足分別為D，E，F(xiàn)，求證：CD2＝CE·CF. 圖2-4-5 【精彩點(diǎn)撥】　 → →→ 【自主解答】　連接CA，CB. ∵PA，PB是⊙O的切線． ∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CA B. 又CD⊥AB，CE⊥PA， CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽R(shí)t△CBD， Rt△CBF∽R(shí)t△CAD， ∴＝，＝， ∴＝，即CD2＝CE·CF. 1．解答本題的難點(diǎn)在于乘積式中的線段不在兩個(gè)相似三角形中，需用中間量過渡． 2．弦切角定理經(jīng)常作為工具，進(jìn)行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進(jìn)一步確定相應(yīng)邊之間的關(guān)系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借

7、助于三角形相似處理． 3．弦切角定理有時(shí)還需與圓周角定理等知識(shí)綜合運(yùn)用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)． [再練一題] 2.如圖2-4-6，已知AB是⊙O的直徑，AB＝AC，BC交⊙O于點(diǎn)D，DE⊥AC，E為垂足． 圖2-4-6 (1)求證：∠ADE＝∠B； (2)過點(diǎn)O作OF∥AD，與ED的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，求證：FD·DA＝FO·DE. 【證明】　(1)連接OD， 因?yàn)镺A＝OD， 所以∠OAD＝∠ODA. 因?yàn)锳B是⊙O的直徑， 所以∠ADB＝90°，即AD⊥BC. 又因?yàn)锳B＝AC， 所以AD平分∠BAC，

8、 即∠OAD＝∠CAD， 所以∠ODA＝∠DAE＝∠OAD. 因?yàn)椤螦DE＋∠DAE＝90°， 所以∠ADE＋∠ODA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥EF. 因?yàn)镺D是⊙O的半徑，所以EF是⊙O的切線． 所以∠ADE＝∠B. (2)因?yàn)镺F∥AD，所以∠F＝∠ADE. 又因?yàn)椤螪EA＝∠FDO(已證)，所以△FDO∽△DEA. 所以FD∶DE＝FO∶DA，即FD·DA＝FO·DE. [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-4-7，AB是半圓O的直徑，C，D是半圓上的兩點(diǎn)，半圓O的切線PC交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠PCB＝25°，則∠ADC為(　　) 圖2-4-7 A．

9、105°　　　　 B．115° C．120° D．125° 【解析】　連接AC，構(gòu)造出夾圓周角∠ADC所對(duì)弧的弦切角，即∠PCA，而∠PCA顯然等于∠PCB加上一個(gè)直角，由此即得結(jié)果． 【答案】　B 2.如圖2-4-8，四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN是切圓于C點(diǎn)的切線，若∠BCM＝38°，則∠B＝(　　) 圖2-4-8 A．32°　　　　 B．42° C．52° D．48° 【解析】　如圖，連接AC. ∵∠BCM＝38°，MN是⊙O的切線， ∴∠BAC＝38°. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠B＝90°－38°＝52°. 【答案】　C 3．如圖

10、2-4-9，A，B是⊙O上的兩點(diǎn)，AC是⊙O的切線，∠B＝65°，則∠BAC＝________. 圖2-4-9 【解析】　∵OA＝OB， ∠B＝65°， ∴∠OAB＝65°， ∴∠O＝50°， ∴∠BAC＝∠O＝25°. 【答案】　25° 4．如圖2-4-10，已知AB為圓的直徑，弦AC與AB成30°角，DC切圓于點(diǎn)C，AB＝5 cm，則BD等于________cm. 圖2-4-10 【解析】　如圖，連接BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. ∵∠A＝30°，AB＝5 cm， ∴BC＝ cm，∠CBA＝60°. ∵CD切⊙O于C， ∴∠D

11、CB＝∠A＝30°， ∴∠D＝30°， ∴BD＝BC＝ cm. 【答案】　 5.如圖2-4-11，直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D. 圖2-4-11 (1)證明：DB＝DC； (2)設(shè)圓的半徑為1，BC＝，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑． 【解】　(1)證明：如圖，連接DE，交BC于點(diǎn)G. 由弦切角定理，得∠ABE＝∠BCE， 而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，所以BE＝CE. 又因?yàn)镈B⊥BE，所以DE為圓的直徑，∠DCE＝90°. 又因?yàn)镈E＝DE，所以△DBE≌△DC

12、E， 所以DB＝DC. (2)由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC， 故DG是BC邊的中垂線，所以BG＝. 設(shè)DE的中點(diǎn)為O，連接BO，則∠BOG＝60°，從而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圓的半徑等于. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(九) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2-4-12所示，AB是⊙O的直徑，MN與⊙O切于點(diǎn)C，AC＝BC，則sin∠MCA＝(　　) 圖2-4-12 A.　　　 B.　　　 C

13、.　　　 D. 【解析】　由弦切角定理，得∠MCA＝∠ABC. ∵sin∠ABC＝＝＝＝，故選D. 【答案】　D 2．如圖2-4-13，在圓的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，EF切⊙O于C點(diǎn)，那么圖中與∠DCF相等的角的個(gè)數(shù)是(　　) 圖2-4-13 A．4　　 B．5 C．6 D．7 【解析】　∠DCF＝∠DAC，∠DCF＝∠BAC，∠DCF＝∠BCE， ∠DCF＝∠BDC，∠DCF＝∠DBC. 【答案】　B 3.如圖2-4-14所示，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長(zhǎng)為(　　) 圖2-4-14 A．2

14、 B．3 C．2 D．4 【解析】　連接BC.∵AB是⊙O的直徑， ∴AC⊥BC，由弦切角定理可知， ∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD， ∴＝， ∴AC2＝AB·AD＝6×2＝12， ∴AC＝2，故選C. 【答案】　C 4．如圖2-4-15，PC與⊙O相切于C點(diǎn)，割線PAB過圓心O，∠P＝40°，則∠ACP等于(　　) 圖2-4-15 A．20° B．25° C．30° D．40° 【解析】　如圖，連接OC，BC， ∵PC切⊙O于C點(diǎn)， ∴OC⊥PC，∵∠P＝40°，∴∠POC＝50°. ∵OC＝OB， ∴∠B＝∠POC＝25°， ∴∠

15、ACP＝∠B＝25°. 【答案】　B 5．如圖2-4-16所示，已知AB，AC與⊙O相切于B，C，∠A＝50°，點(diǎn)P是⊙O上異于B，C的一動(dòng)點(diǎn)，則∠BPC的度數(shù)是(　　) 圖2-4-16 A．65° B．115° C．65°或115° D．130°或50° 【解析】　當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上時(shí)， 由∠A＝50°，得∠ABC＝∠ACB＝65°. ∵AB是⊙O的切線，∴∠ABC＝∠BPC＝65°. 當(dāng)P點(diǎn)在劣弧上時(shí)，∠BPC＝115°. 故選C. 【答案】　C 二、填空題 6.如圖2-4-17所示，直線PB與圓O相切于點(diǎn)B，D是弦AC上的點(diǎn)，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，

16、AC＝n，則AB＝________. 　圖2-4-17 【解析】　∵PB切⊙O于點(diǎn)B，∴∠PBA＝∠ACB. 又∠PBA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠ACB， ∴△ABD∽△ACB. ∴＝，∴AB2＝AD·AC＝mn， ∴AB＝. 【答案】　 7．如圖2-4-18，已知△ABC內(nèi)接于圓O，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上．AD是⊙O的切線，若∠B＝30°，AC＝2，則OD的長(zhǎng)為__________． 圖2-4-18 【解析】　連接OA， 則∠COA＝2∠CBA＝60°， 且由OC＝OA知△COA為正三角形，所以O(shè)A＝2. 又因?yàn)锳D是⊙O的切線，即OA⊥AD， 所以O(shè)D＝2

17、OA＝4. 【答案】　4 8.如圖2-4-19，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________. 圖2-4-19 【解析】　連接OC，∵PC切⊙O于點(diǎn)C， ∴OC⊥PC， ∵PB＝OB＝2，OC＝2， ∴PC＝2，∵OC·PC＝OP·CD， ∴CD＝＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2-4-20所示，△ABT內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)T的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∠APT的平分線交BT，AT于C，D. 圖2-4-20 求證：△CTD為等腰三角形． 【證明】　∵PD是∠APT的平分線，∴∠APD＝∠D

18、PT. 又∵PT是圓的切線，∴∠BTP＝∠A. 又∵∠TDC＝∠A＋∠APD， ∠TCD＝∠BTP＋∠DPT， ∴∠TDC＝∠TCD，∴△CTD為等腰三角形． 10．如圖2-4-21，AB是⊙O的弦，M是上任一點(diǎn)，過點(diǎn)M的切線與分別以A，B為垂足的直線AD，BC交于D，C兩點(diǎn)，過M點(diǎn)作NM⊥CD交AB于點(diǎn)N，求證：MN2＝AD·BC. 圖2-4-21 【證明】　連接AM，MB， 因?yàn)镈A⊥AB，MN⊥CD， 所以∠MDA＋∠MNA＝180°. 又因?yàn)椤螹NA＋∠MNB＝180°， 所以∠MDA＝∠MNB， 又因?yàn)镃D為⊙O的切線，所以∠1＝∠2， 所以△ADM

19、∽△MNB， 所以＝，同理＝， 所以＝，即有MN2＝AD·BC. [能力提升] 1．在圓O的直徑CB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)A，AP與圓O切于點(diǎn)P，且∠APB＝30°，AP＝，則CP＝(　　) A.　 B．2 C．2－1 D．2＋1 【解析】　如圖，連接OP，則OP⊥PA， 又∠APB＝30°， ∴∠POB＝60°， 在Rt△OPA中，由AP＝， 易知，PB＝OP＝1， 在Rt△PCB中， 由PB＝1，∠PBC＝60°，得PC＝. 【答案】　A 2．如圖2-4-22，AB是⊙O直徑，P在AB的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為(

20、　　) 圖2-4-22 A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】　連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P， ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP，得 PC2＝PB·PA， 即AC2＝PB·PA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1. 【答案】　A 3．如圖2-4-23，過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A，B，且PB＝7，C是圓上一點(diǎn)使得BC＝5，∠BAC＝∠APB，則AB＝__________. 圖2-4-23 【解析】　由PA為⊙O的切線，B

21、A為弦， 得∠PAB＝∠BCA. 又∠BAC＝∠APB， 于是△APB∽△CAB， 所以＝. 而PB＝7，BC＝5， 故AB2＝PB·BC＝7×5＝35，即AB＝. 【答案】　 4．如圖2-4-24，AB為⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，連接AE，BE. 圖2-4-24 證明： (1)∠FEB＝∠CEB； (2)EF2＝AD·BC. 【證明】　(1)由直線CD與⊙O相切，得∠CEB＝∠EAB. 由AB為⊙O的直徑，得AE⊥EB，從而∠EAB＋∠EBF＝. 又EF⊥AB，得∠FEB＋∠EBF＝. 從而∠FEB＝∠EAB，故∠FEB＝∠CEB. (2)由BC⊥CE，EF⊥AB，∠FEB＝∠CEB，BE是公共邊，得Rt△BCE≌Rt△BFE，所以BC＝BF. 類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE，得AD＝AF. 又在Rt△AEB中，EF⊥AB，故EF2＝AF·BF， 所以EF2＝AD·BC. 最新精品資料