《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 四 弦切角的性質(zhì) Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41教學(xué)案：第二講 四 弦切角的性質(zhì) Word版含答案（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 四弦切角的性質(zhì) [對應(yīng)學(xué)生用書P28] 弦切角定理 (1)文字語言敘述： 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角． (2)圖形語言敘述： 如圖，AB與⊙O切于A點(diǎn)，則∠BAC＝∠D. [說明]　弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半，圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)． [對應(yīng)學(xué)生用書P29] 弦切角定理 [例1]　(2010·新課標(biāo)全國卷)如圖，已知圓上的弧＝，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明： (1)∠ACE＝∠BCD；

2、 (2)BC2＝BE·CD. [思路點(diǎn)撥]　利用弦切角定理． [證明]　(1)因?yàn)椋剑? 所以∠BCD＝∠ABC. 又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C， 故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因?yàn)椤螮CB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB. 故＝， 即BC2＝BE·CD. 利用弦切角定理進(jìn)行計(jì)算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時(shí)與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運(yùn)用，同時(shí)要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角． 1．如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝________.

3、 解析：連接BC， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. ∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°. 又∵EF與⊙O相切于點(diǎn)C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°. 答案：34° 2.如圖，AB是⊙O的弦，CD是經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)M的切線，求證： (1)如果AB∥CD，那么AM＝MB； (2)如果AM＝BM，那么AB∥CD. 證明：(1)∵CD切⊙O于M點(diǎn)， ∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B. ∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A. ∴∠A＝∠B，故AM＝MB. (2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B. ∵CD切⊙O于M點(diǎn)，∠CMA＝∠B， ∴∠CMA＝∠A.∴

4、AB∥CD. 3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，AC平分∠DAB. (1)求證：AD⊥CD； (2)若AD＝2，AC＝，求AB的長． 解：(1)證明：如圖，連接BC. ∵直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C， ∴∠DCA＝∠B. ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∴∠ADC＝∠ACB. ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°. ∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD. (2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝， ∴AC2＝AD·AB. ∵AD＝2，AC＝，∴AB＝. 運(yùn)用弦切角定理證明比例式或乘積式

5、 [例2]　如圖，PA，PB是⊙O的切線，點(diǎn)C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分別為D，E，F(xiàn). 求證：CD2＝CE·CF. [思路點(diǎn)撥]　→ →→ [證明]　連接CA、CB. ∵PA、PB是⊙O的切線， ∴∠CAP＝∠CBA， ∠CBP＝∠CAB. 又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB， ∴Rt△CAE∽Rt△CBD， Rt△CBF∽Rt△CAD， ∴＝，＝， ∴＝，即CD2＝CE·CF. 證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時(shí)需要添加輔助線創(chuàng)造條件． 4．如圖，已知MN是⊙O的切線，

6、A為切點(diǎn)，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求證：AC2＝AE·AB. 證明：連接BC. ?△ACE∽△ABC ?＝?AC2＝AB·AE. 5．如圖，AD是△ABC的角平分線，經(jīng)過點(diǎn)A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC與⊙O相交于點(diǎn)E、F，連接DF，EF. (1)求證：EF∥BC； (2)求證：DF2＝AF·BE. 證明：(1)∵⊙O切BC于D， ∴∠CAD＝∠CDF. ∵AD是△ABC的角平分線， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵∠BAD＝∠EFD， ∴∠EFD＝∠CDF. ∴EF∥BC. (2)連接DE， ∵⊙O切BC于D， ∴∠BAD＝∠BDE.

7、 由(1)可得∠BDE＝∠FAD， 又∵⊙O內(nèi)接四邊形AEDF， ∴∠BED＝∠DFA. ∴△BED∽△DFA. ∴＝. 又∵∠BAD＝∠CAD， ∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE. [對應(yīng)學(xué)生用書P30] 一、選擇題 1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，則(　　) A．∠MCB＝∠B　　　　　 B．∠PAC＝∠P C．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA 解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B. 答案：C 2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，EC切⊙O于點(diǎn)C.若∠BOC＝76°，則∠BCE等于(　　) A．14°　　　　　　　 B．38°

8、 C．52° D．76° 解析：∵EC為⊙O的切線， ∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°. 答案：B 3．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為(　　) A．2 B．3 C．2 D．4 解析：連接BC，則∠ACB＝90°， 又AD⊥EF， ∴∠ADC＝90°， 即∠ADC＝∠ACB， 又∵∠ACD＝∠ABC， ∴△ABC∽△ACD， ∴AC2＝AD·AB＝12， 即AC＝2. 答案：C 4．如圖，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點(diǎn)，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的

9、半徑為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：連接BC. ∵AC＝PC，∴∠A＝∠P. ∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P. ∴BC＝BP＝1. 由△BCP∽△CAP得 PC2＝PB·PA， 即AC2＝PB·PA. 而AC2＝AB2－BC2， 設(shè)⊙O半徑為r， 則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1. 答案：A 二、填空題 5.如圖，已知AB與⊙O相切于點(diǎn)M，且＝，且，為圓周長，則∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________. 解析：弦切角等于所夾弧所對的圓周角，等于所夾弦所

10、對圓心角度數(shù)的一半． 答案：45°　135°　45°　90° 6．如圖，AB是⊙O的直徑，PB，PE分別切⊙O于B，C，若∠ACE＝40°，則∠P＝________. 解析：連接BC， ∵AB是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝90°. 又∠ACE＝40°， ∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°. 答案：80° 7.如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長線上，且PB＝OB＝2，PC切圓O于C點(diǎn)，CD⊥AB于D點(diǎn)，則CD＝________. 解析：連接OC， ∵PC切⊙O于C點(diǎn)， ∴OC⊥PC. ∵PB＝OB＝2，OC＝2. ∴PC＝2. ∵OC·PC＝OP·CD， ∴C

11、D＝＝. 答案： 三、解答題 8.如圖所示，⊙O1與⊙O2交于 A、B兩點(diǎn)，過⊙O1上一點(diǎn)P作直線PA、PB分別交⊙O2于點(diǎn)C和點(diǎn)D，EF切⊙O1于點(diǎn)P. 求證：EF∥CD. 證明：如圖，連接AB， ∵EF是⊙O切線， ∴∠FPA＝∠PBA. 又在⊙O2中，ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形， ∴∠C＝∠ABP.∴∠FPA＝∠C. ∴EF∥CD. 9.如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，直線XY切⊙O于點(diǎn)C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E. (1)求證：△ABE≌△ACD； (2)若AB＝6 cm，BC＝4 cm， 求AE的長． 解：(1)證明：因?yàn)閄Y是⊙O的切線

12、， 所以∠1＝∠2. 因?yàn)锽D∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3. 因?yàn)椤?＝∠4，所以∠2＝∠4. 因?yàn)椤螦BD＝∠ACD，又因?yàn)锳B＝AC， 所以△ABE≌△ACD. (2)因?yàn)椤?＝∠2，∠ABC＝∠ACB， 所以△BCE∽△ACB，＝， AC·CE＝BC2. 因?yàn)锳B＝AC＝6 cm，BC＝4 cm， 所以6·(6－AE)＝16. 所以AE＝ cm. 10.如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD平分∠BAC交圓O于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作圓O的切線交直線AD于點(diǎn)E. (1)求證：∠EBD＝∠CBD； (2)求證：AB·BE＝AE·DC. 證明：(1)∵BE為圓O的切線， ∴∠EBD＝∠BAD， 又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， ∴∠EBD＝∠CAD， 又∵∠CBD＝∠CAD， ∴∠EBD＝∠CBD. (2)在△EBD和△EAB中， ∠E＝∠E，∠EBD＝∠EAB， ∴△EBD∽△EAB， ∴＝， ∴AB·BE＝AE·BD， 又∵AD平分∠BAC, ∴BD＝DC， 故AB·BE＝AE·DC. 最新精品資料