《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第1講 1 平行線等分線段定理 Word版含解析（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 一　平行線等分線段定理 1．掌握平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論．(重點(diǎn)) 2．能運(yùn)用平行線等分線段定理及其兩個(gè)推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算．(難點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　平行線等分線段定理 閱讀教材P2～P3定理以上部分，完成下列問題． 1．文字語(yǔ)言 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等． 2．圖形語(yǔ)言 如圖1-1-1，l1∥l2∥l3，l分別交l1，l2，l3于A，B，C，l′分別交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝

2、BC，則A1B1＝B1C1. 圖1-1-1 教材整理2　平行線等分線段 定理的推論 閱讀教材P4～P5“習(xí)題”以上部分，完成下列問題． 1．推論1 經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊． 2．推論2 經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰． 在梯形ABCD中，M，N分別是腰AB與腰CD的中點(diǎn)，且AD＝2，BC＝4，則MN等于(　　) A．2.5　　　　　　　 B．3 C．3.5 D．不確定 【解析】　由梯形中位線定理知選 B. 【答案】　B [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　

3、 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 平行線等分線段定理推論1的應(yīng)用 　如圖1-1-2，在△ABC中，AD，BF為中線，AD，BF交于G，CE∥FB交AD的延長(zhǎng)線于E.求證：AG＝2DE. 圖1-1-2 【精彩點(diǎn)撥】　→→ → 【自主解答】　在△AEC中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故DG＝DE，即GE＝2DE， 因此AG＝2DE. 1．如果已知條件中出現(xiàn)中點(diǎn)，往往運(yùn)用三角形的中位線定理來(lái)

4、解決問題． 2．本例在證明DG＝DE時(shí)也可以過D作EC的平行線DH. 因?yàn)锽G∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行線等分線段定理來(lái)證明． [再練一題] 1．如圖1-1-3，已知AD是三角形ABC的中線，E為AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于F.求證：AF＝AC. 圖1-1-3 【證明】　過D作DH∥BF，交AC于H. ∵BD＝CD，DH∥BF， ∴FH＝CH. 同理AF＝FH. ∴AF＝FH＝CH， ∴AF＝AC. 　平行線等分線段定理推論2的應(yīng)用 　如圖1-1-4所示，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，BC＝AB，E為AB

5、的中點(diǎn)．求證：△ECD為等邊三角形． 圖1-1-4 【精彩點(diǎn)撥】　過E作EF∥BC，先證明EC＝ED，再連接AC，證明∠BCE＝30°，從而∠ECD＝60°. 【自主解答】　過E作EF∥BC交DC于F，連接AC，如圖所示． ∵AD∥BC，E為AB中點(diǎn)， ∴F是DC中點(diǎn)．?、? 又∵DC⊥BC，EF∥BC， ∴EF⊥DC.?、? ∴由①②知，EF是DC的垂直平分線， ∴△ECD為等腰三角形．?、? ∵BC＝AB，∠B＝60°， ∴△ABC是等邊三角形． 又∵E是AB中點(diǎn)， ∴CE是∠ACB的平分線， ∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°.?、? 由③④知，△ECD

6、為等邊三角形． 1．解答本題的關(guān)鍵是通過證明△ABC是等邊三角形來(lái)證明∠BCE＝30°. 2．有梯形且存在線段中點(diǎn)時(shí)，常過該點(diǎn)作平行線，構(gòu)造平行線等分線段定理的推論2的基本圖形，進(jìn)而進(jìn)行幾何證明或計(jì)算． [再練一題] 2．如圖1-1-5，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，EF交BD于G，交AC于H.求證：EG＝GH＝HF. 圖1-1-5 【證明】　∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AD∥BC. ∴EF∥AD，EF∥BC. ∴G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)． ∴EG綊AD，F(xiàn)H綊AD，∴EG＝FH. ∵BC＝2AD，EH＝B

7、C，∴EH＝AD， 又EG＝AD，∴GH＝EH－EG＝AD－AD＝AD， ∴EG＝GH，即EG＝GH＝HF. [探究共研型] 平行線等分線段定理 探究1　你還有其它證明定理的方法嗎？ 【提示】　 證明：過B2作CD∥A1A3，分別交l1，l3于C，D，則可得到?A1A2B2C和?A2A3DB2. ∴A1A2＝CB2，A2A3＝B2D. ∵A1A2＝A2A3， ∴CB2＝B2D. 又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴△B1B2C≌△B3B2D， ∴B1B2＝B2B3. 探究2　平行線等分線段定理的逆命題成立嗎？ 【提示】　平行線等分線段定理的逆命題是：如果一組直線截

8、另一組直線成相等的線段，那么這組直線平行，這個(gè)命題是錯(cuò)誤的．(如圖所示) 　如圖1-1-6，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中點(diǎn)，求證：OA＝O B. 圖1-1-6 【精彩點(diǎn)撥】　由于線段OA和OB有共同端點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為證明△OAB是等腰三角形即可． 【自主解答】　過O作AB的垂線，垂足為E，如圖所示． 又∵AC⊥AB，DB⊥AB， ∴OE∥AC∥D B. 又∵O為CD的中點(diǎn)， ∴E為AB的中點(diǎn)，又OE⊥AB， ∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝O B. 1．本題中由AC⊥AB，DB⊥AB知AC∥DB，聯(lián)想到作OE⊥AB，再根據(jù)平行線等分線段定理證明點(diǎn)

9、E是AB的中點(diǎn)． 2．平行線等分線段定理應(yīng)在有線段的中點(diǎn)時(shí)應(yīng)用，在沒有線段的中點(diǎn)時(shí)構(gòu)造線段的中點(diǎn)來(lái)應(yīng)用． [再練一題] 3．如圖1-1-7，已知?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)A，B，C，D，O分別作直線a的垂線，垂足分別為A′，B′，C′，D′，O′.求證：A′D′＝B′C′. 圖1-1-7 【證明】　∵?ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′， ∴O′A′＝O′C′， 同理O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′. [構(gòu)建·體系] 1．如圖1-1

10、-8所示，DE是△ABC的中位線，F(xiàn)是BC上任一點(diǎn)，AF交DE于G，則有(　　) 圖1-1-8 A．AG>GF B．AG＝GF C．AG

11、3．如圖1-1-10，AB∥CD∥EF，AF，BE交于點(diǎn)O，若AO＝OD＝DF，BE＝10 cm，則BO的長(zhǎng)是(　　) 圖1-1-10 A．3 cm　　　　 B. cm C．5 cm D．10 cm 【解析】　由平行線等分線段定理知，BO＝ cm. 【答案】　B 4．如圖1-1-11所示，AF＝FD＝BD，F(xiàn)G∥DE∥BC，若EP＝1，則BC＝________. 圖1-1-11 【解析】　由平行線等分線段定理知AG＝GE＝EC，則EP是△CFG的中位線，故FG＝2，又FG是△ADE的中位線，∴DE＝4，DP＝3，又DP是△FBC的中位線， ∴BC＝6. 【答

12、案】　6 5．如圖1-1-12，已知以梯形ABCD的對(duì)角線AC及腰AD為鄰邊作?ACED，DC的延長(zhǎng)線交BE于F.求證：EF＝BF. 圖1-1-12 【證明】　連接AE交DC于O， ∵四邊形ACED是平行四邊形， ∴O是AE的中點(diǎn)(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)． ∵四邊形ABCD是梯形， ∴DC∥A B.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中點(diǎn)， ∴F是EB的中點(diǎn)，∴EF＝BF. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(一) (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖1

13、-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一點(diǎn)O，且AO＝OB，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) 圖1-1-13 A．AC＝BD B．AE＝ED C．OC＝OD D．OD＝OB 【解析】　由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD， 由△AOC≌△BOD知AC＝BD， 但OD與OB不能確定其大小關(guān)系． 故選D. 【答案】　D 2．如圖1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB ，DE∥BC，則DE等于(　　) 圖1-1-14 A．BC－AC B．AC－BF C.(AB－AC) D.(BC－AC) 【解析】　由已知得CE是線段AF的垂直平分

14、線． ∴AC＝FC，AE＝EF. ∵DE∥BC， ∴DE是△ABF的中位線， ∴DE＝BF＝(BC－AC)． 【答案】　D 3．如圖1-1-15所示，過梯形ABCD的腰AD的中點(diǎn)E的直線EF平行于底邊，交BC于F，若AE的長(zhǎng)是BF的長(zhǎng)的，則FC是ED的(　　) 圖1-1-15 A.倍 B.倍 C．1倍 D.倍 【解析】　∵AB∥EF∥DC，且AE＝DE， ∴BF＝FC.又∵AE＝BF， ∴FC＝ED. 【答案】　B 4．如圖1-1-16，在梯形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF∥AB，EF＝30 cm，AC交EF于G，若FG－EG＝10 cm，則AB＝(　　)

15、 圖1-1-16 A．30 cm B．40 cm C．50 cm D．60 cm 【解析】　由平行線等分線段定理及推論知，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段AC，BC的中點(diǎn)，則 EG＝DC，F(xiàn)G＝AB， ∴ 解得 【答案】　B 5.如圖1-1-17，在梯形ABCD中，AD∥BC，E為BC中點(diǎn)，且AE∥DC，AE交BD于點(diǎn)F，過點(diǎn)F的直線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則FM與FN的關(guān)系為(　　) 圖1-1-17 A．FM>FN　　 B．FM

16、EC＝BC， 即BE＝EC＝AD. ∴△ADF≌△EBF， ∴AF＝FE， ∴△AFM≌△EFN， ∴FM＝FN. 【答案】　C 二、填空題 6．如圖1-1-18所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝6，E，F(xiàn)分別為對(duì)角線BD，AC的中點(diǎn)，則EF＝____. 圖1-1-18 【解析】　如圖所示，過E作GE∥BC交BA于G. ∵E是DB的中點(diǎn)， ∴G是AB的中點(diǎn)，又F是AC的中點(diǎn)， ∴GF∥BC，∴G，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴GE＝AD＝1，GF＝BC＝3， ∴EF＝GF－GE＝3－1＝2. 【答案】　2 7．如圖1-1-19，已知在△ABC中，A

17、D∶DC＝1∶1，E為BD的中點(diǎn)，AE延長(zhǎng)線交BC于F，則BF與FC的比值為__________． 圖1-1-19 【解析】　過D作DG平行于BC，交AF于點(diǎn)G，再根據(jù)平行線等分線段定理即可解決． 【答案】　 8．如圖1-1-20，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，EF∥BD，EG∥AC，CD＝AD，若EG＝5 cm，則AC＝________；若BD＝20 cm，則EF＝________. 圖1-1-20 【解析】　∵E為AB的中點(diǎn)，EF∥BD， ∴F為AD的中點(diǎn)． ∵E為AB的中點(diǎn)，EG∥AC，∴G為BD的中點(diǎn)，若EG＝5 cm，則AD＝10 cm，又CD＝AD＝5 cm

18、，∴AC＝15 cm.若BD＝20 cm ，則EF＝BD＝10 cm. 【答案】　15 cm　10 cm 三、解答題 9．(2016·南京模擬)如圖1-1-21，在梯形ABCD中，CD⊥BC，AD∥BC，E為腰CD的中點(diǎn)，且AD＝2 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，求BE的長(zhǎng)度． 圖1-1-21 【解】　過E點(diǎn)作直線EF平行于BC，交AB于F，作BG⊥EF于G(如圖)， 因?yàn)镋為腰CD的中點(diǎn)，所以F為AB的中點(diǎn)，所以BF＝AB＝5 cm， 又EF＝＝＝5(cm)， GF＝BC－FE＝8 cm－5 cm＝3 cm， 所以GB＝＝＝4 cm， EC＝GB＝4 cm，

19、 所以BE＝＝＝4(cm)． 10．用一張矩形紙，你能折出一個(gè)等邊三角形嗎？如圖1-1-22(1)，先把矩形紙ABCD對(duì)折，設(shè)折痕為MN；再把B點(diǎn)疊在折痕線上，得到Rt△ABE，沿著EB線折疊，就能得到等邊△EAF，如圖(2)．想一想，為什么？ 圖1-1-22 【解】　利用平行線等分線段定理的推論2， ∵N是梯形ADCE的腰CD的中點(diǎn)，NP∥AD， ∴P為EA的中點(diǎn)． ∵在Rt△ABE中，PA＝PB(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)， ∴∠1＝∠3. 又∵PB∥AD， ∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2. 又∵∠1與和它重合的角相等， ∴∠1＝∠2＝30°. 在Rt

20、△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°， ∴△AEF是等邊三角形． [能力提升] 1．如圖1-1-23，AD是△ABC的高，E為AB的中點(diǎn)，EF⊥BC于F，如果DC＝BD，那么FC是BF的(　　) 圖1-1-23 A.倍　　　　 B.倍 C.倍 D.倍 【解析】　∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD. 又E為AB的中點(diǎn)，由推論1知F為BD的中點(diǎn)， 即BF＝FD. 又∵DC＝BD，∴DC＝BF. ∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝BF. 【答案】　A 2．梯形的一腰長(zhǎng)10 cm，該腰和底邊所形成的角為30°，中位線長(zhǎng)為12 cm，則此梯形的面積為(　　)

21、 A．30 cm2 B．40 cm2 C．50 cm2 D．60 cm2 【解析】　如圖，過A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，AE＝ABsin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位線長(zhǎng)為12 cm， ∴AD＋BC＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面積S＝(AD＋BC)·AE ＝×5×24＝60(cm2)． 【答案】　D 3．如圖1-1-24，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中點(diǎn)，CM交AB于P，DN∥CP，若AB＝9 cm，則AP＝__________；若PM＝1 cm，則PC＝__________. 圖1-1-24 【解析】　由AB＝AC和AD⊥BC，結(jié)合等

22、腰三角形的性質(zhì)，得D是BC的中點(diǎn)．再由DN∥CP，可得N是BP的中點(diǎn)．同理可得P是AN的中點(diǎn)，由此可得答案． 【答案】　3 cm　4 cm 4．如圖1-1-25所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于點(diǎn)M，求BM與CG的長(zhǎng)． 圖1-1-25 【解】　如圖，取BC的中點(diǎn)P，作PQ∥DH交EH于點(diǎn)Q，則PQ是梯形ADHE的中位線． ∵AE∥BF∥CG∥DH， AB＝BC＝CD， AE＝12，DH＝16， ∴＝，＝， ∴＝， ∴BM＝4. ∵PQ為梯形的中位線， ∴PQ＝(AE＋DH)＝(12＋16)＝14. 同理，CG＝(PQ＋DH)＝(14＋16)＝15. 最新精品資料