《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 Word版含解析》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《精修版高中數(shù)學(xué)人教A版選修41學(xué)案：第2講 2 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 Word版含解析（19頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 二　圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理 1．了解圓內(nèi)接四邊形的概念． 2．掌握圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、判定定理及其推論，并能解決有關(guān)問題．(重點(diǎn)、易混點(diǎn)) [基礎(chǔ)·初探] 教材整理1　圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理 閱讀教材P27～P28定理2，完成下列問題． 1．定理1：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)． 如圖2-2-1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，則有：∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°. 圖2-2-1 2．定理2：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角． 圖2-2-2 如圖2-

2、2-2，∠CBE是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一外角，則有：∠CBE＝∠D. 四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，延長AB到E，∠ADC＝32°，則∠CBE等于(　　) A．32°　　　　　　 B．58° C．122° D．148° 【解析】　根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對角知，∠CBE＝32°. 【答案】　A 教材整理2　圓內(nèi)接四邊形的判定定理及推論 閱讀教材P28～P29，完成下列問題． 1．判定定理：如果一個四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓． 2．推論：如果四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓． 若AD，BE，CF為△ABC的

3、三條高線，交于H，則圖2-2-3中四點(diǎn)共圓的組數(shù)是(　　) 圖2-2-3 A．3 B．4 C．5 D．6 【解析】　其中B，D，H，F(xiàn)共圓；C，D，H，E共圓；A，E，H，F(xiàn)共圓；A，F(xiàn)，D，C共圓；B，C，E，F(xiàn)共圓；A，B，E，D共圓． 【答案】　D [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：　 解惑：　 疑問2：　 解惑：　 疑問3：　 解惑：　 [小組合作型] 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 　如圖2-2-4，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AB，DC的延長線相交于點(diǎn)E，且∠DBA＝∠EBC.求證：AD·BE＝C

4、E·BD. 圖2-2-4 【精彩點(diǎn)撥】　先利用定理2得到∠BCE＝∠A，再利用△ABD∽△CBE，結(jié)論得證． 【自主解答】　因為四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形， 所以∠BCE＝∠A.因為∠DBA＝∠EBC， 所以△ABD∽△CBE，所以＝， 所以AD·BE＝CE·BD. 1．在本題的證明過程中，利用定理2得到∠BCE＝∠A是關(guān)鍵． 2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即對角互補(bǔ)，一個外角等于其內(nèi)對角，可用來作為三角形相似或兩直線平行的條件，從而證明一些比例式成立或證明某些等量關(guān)系． [再練一題] 1．如圖2-2-5所示，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，延長AB和DC相交于點(diǎn)E

5、，EG平分∠AED，且與BC，AD分別交于F，G. 圖2-2-5 求證：∠CFG＝∠DGF. 【證明】　∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠EBF＝∠ADE. 又EF是∠AED的平分線， 則∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG， ∴∠EFB＝∠DGF. 又∵∠EFB＝∠CFG， ∴∠CFG＝∠DGF. 　圓內(nèi)接四邊形的綜合應(yīng)用 　如圖2-2-6，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圓劣弧上的點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，延長BD至E. 圖2-2-6 (1)求證：AD的延長線DF平分∠CDE； (2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC邊上的高為2＋，

6、求△ABC外接圓的面積． 【自主解答】　(1)證明：如圖， ∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓， ∴∠CDF＝∠ABC. 又AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 且∠ADB＝∠ACB， ∴∠ADB＝∠CDF， 又由對頂角相等得∠EDF＝∠ADB， 故∠EDF＝∠CDF， 即AD的延長線DF平分∠CDE. (2)設(shè)O為外接圓圓心，連接AO并延長交BC于H，則AH⊥BC.連接OC，由題意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°， ∴∠OCH＝60°. 設(shè)圓半徑為r， 則r＋r＝2＋，得r＝2，外接圓的面積為4π. 1．解答本題(2)時關(guān)鍵是找出外接圓的圓心位置，

7、然后用外接圓的半徑表示出BC邊上的高． 2．此類問題綜合性較強(qiáng)，考查知識點(diǎn)較為豐富，往往涉及圓內(nèi)接四邊形的判定與性質(zhì)的證明和應(yīng)用，最終得到某些結(jié)論的成立． [再練一題] 2．如圖2-2-7所示，AB，CD都是圓的弦，且AB∥CD，F(xiàn)為圓上一點(diǎn)，延長FD，AB使它們交于點(diǎn)E.求證：AE·AC＝AF·DE. 圖2-2-7 【證明】　如圖，連接BD， ∵AB∥CD，∴BD＝AC. ∵A，B，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓， ∴∠EBD＝∠F. 又∵∠DEB＝∠FEA， ∴△EBD∽△EFA， ∴＝，∴＝， 即AE·AC＝AF·DE. [探究共研型] 圓內(nèi)接四邊形的判定定理

8、及 其推論 探究　圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理和它的判定定理及推論有何關(guān)系？ 【提示】　性質(zhì)定理1和判定定理互為逆定理，性質(zhì)定理2和判定定理的推論互為逆定理． 　如圖2-2-8所示，在△ABC中，AD＝DB，DF⊥AB交AC于F，AE＝EC，EG⊥AC交AB于G，求證： 圖2-2-8 (1)D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓； (2)G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 【精彩點(diǎn)撥】　(1)要證D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓，只需找到過這四點(diǎn)的外接圓的圓心，證明圓心到四點(diǎn)的距離相等，可取GF的中點(diǎn)H，證點(diǎn)H即為圓心． (2)要證G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，只需證∠B＝∠AFG(或∠C＝∠AGF)，由D，E為中點(diǎn)，

9、可知DE∥BC，∠B＝∠ADE，故只需證∠ADE＝∠AFG，由D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓可得． 【自主解答】　(1)如圖，連接GF，取GF的中點(diǎn)H.∵DF⊥AB，EG⊥AC，∴△DGF，△EGF都是直角三角形．又∵點(diǎn)H是GF的中點(diǎn)，∴點(diǎn)H到D，E，F(xiàn)，G的距離相等，∴點(diǎn)H是過D，E，F(xiàn)，G的外接圓的圓心， ∴D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共圓． (2)連接DE.由(1)知D，G，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓． 由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)定理的推論， 得∠ADE＝∠AFG. ∵AD＝DB，AE＝EC， ∴D是AB的中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)， ∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∴∠AFG＝∠B，∴G，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓

10、． 1．解答本題(1)是利用到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)在同一圓上來證明的，本題(2)利用了圓內(nèi)接四邊形判定定理的推論來證明的． 2．判定四點(diǎn)共圓的方法：(1)如果四個點(diǎn)與一定點(diǎn)距離相等，那么這四個點(diǎn)共圓；(2)如果一個四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓；(3)如果一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個四邊形的四個頂點(diǎn)共圓；(4)與線段兩端點(diǎn)連線夾角相等(或互補(bǔ))的點(diǎn)連同該線段兩端點(diǎn)在內(nèi)共圓． [再練一題] 3．如圖2-2-9，在銳角三角形ABC中，AD是BC邊上的高，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F(xiàn)為垂足． 圖2-2-9 求證：E，B，C，F(xiàn)四

11、點(diǎn)共圓． 【證明】　連接EF， 因為DE⊥AB，DF⊥AC?∠AED＋∠AFD＝90°＋90°＝180°， 所以A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 由A，E，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓 ?∠DEF＝∠DAF?∠BEF＋∠C ＝∠BED＋∠DEF＋∠C ＝90°＋∠DAF＋∠C＝180°. 所以E，B，C，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． [構(gòu)建·體系] 1．如圖2-2-10，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠DCE＝50°，則∠BOD等于(　　) 圖2-2-10 A．75°　 B．90° C．100° D．120° 【解析】　∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O， ∴∠DCE＝∠A， ∴∠A＝50°，∴∠B

12、OD＝2∠A＝100°. 【答案】　C 2．下列說法正確的有(　　) ①圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外角等于它的內(nèi)角的對角； ②圓內(nèi)接四邊形的對角相等； ③圓內(nèi)接四邊形不能是梯形； ④在圓的內(nèi)部的四邊形叫圓內(nèi)接四邊形． A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【解析】?、偈菆A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理2，正確．由于圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，不一定相等，②不正確．圓內(nèi)接四邊形可以是梯形，③不正確．頂點(diǎn)在同一個圓上的四邊形叫圓內(nèi)接四邊形，④不正確． 【答案】　B 3．如圖2-2-11，兩圓相交于A，B，過A的直線交兩圓于點(diǎn)C，D，過B的直線交兩圓于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接CE，DF，若∠C＝1

13、15°，則∠D＝________. 圖2-2-11 【解析】　如圖，連接AB， ∵∠C＝115°，∴∠ABE＝65°， ∴∠D＝∠ABE＝65°. 【答案】　65° 4．四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，則∠D＝________. 【解析】　∵圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)， ∴∠A＋∠C＝180°. 又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7， ∴∠A＝40°，∠B＝60°，∠C＝140°. 又∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝180°－60°＝120°. 【答案】　120° 5．如圖2-2-12，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作AE∥BD交CB的延長

14、線于點(diǎn)E. 圖2-2-12 求證：AB·AD＝BE·CD. 【證明】　如圖，連接AC. ∵AE∥BD，∴∠1＝∠2. ∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠3. ∵∠4是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一個外角， ∴∠4＝∠ADC， ∴△ABE∽△CDA， ∴＝， ∴AB·AD＝BE·CD. 我還有這些不足： (1)　 (2)　 我的課下提升方案： (1)　 (2)　 學(xué)業(yè)分層測評(七) (建議用時：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．如圖2-2-13，ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，延長BC到E，已知∠BCD∶∠ECD＝3∶2，那么∠BOD等于(　　)

15、 圖2-2-13 A．120°　　 B．136° C．144° D．150° 【解析】　設(shè)∠BCD＝3x，∠ECD＝2x， ∴5x＝180°，∴x＝36°， 即∠BCD＝108°，∠ECD＝72°， ∴∠BAD＝72°，∴∠BOD＝2∠BAD＝144°. 【答案】　C 2．如圖2-2-14，在⊙O中，弦AB的長等于半徑，∠DAE＝80°，則∠ACD的度數(shù)為(　　) 圖2-2-14 A．30° B．45°　　　 C．50°　　　 D．60° 【解析】　連接OA，OB， ∵∠BCD＝∠DAE＝80°，∠AOB＝60°， ∴∠BCA＝∠AOB＝30°， ∴∠A

16、CD＝∠BCD－∠BCA＝80°－30°＝50°. 【答案】　C 3．圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是(　　) A．4∶2∶3∶1 B．4∶3∶1∶2 C．4∶1∶3∶2 D．以上都不對 【解析】　由四邊形ABCD內(nèi)接于圓，得∠A＋∠C＝∠B＋∠D，從而只有B符合題意． 【答案】　B 4．如圖2-2-15，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AC為BD的垂直平分線，∠ACB＝60°，AB＝a，則CD等于(　　) 圖2-2-15 A.a B.a C.a D.a 【解析】　∵AC為BD的垂直平分線， ∴AB＝AD＝a，AC⊥BD. ∵∠ACB＝6

17、0°，∴∠ADB＝60°， ∴AB＝AD＝BD，∴∠ACD＝∠ABD＝60°， ∴∠CDB＝30°， ∴∠ADC＝90°，∴CD＝tan 30°·AD＝a. 【答案】　A 5．如圖2-2-16所示，圓內(nèi)接四邊形ABCD的一組對邊AD，BC的延長線相交于點(diǎn)P，對角線AC和BD相交于點(diǎn)Q，則圖中共有相似三角形的對數(shù)為(　　) 圖2-2-16 A．4 B．3 C．2 D．1 【解析】　利用圓周角和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)定理，可得△PCD∽△PAB，△QCD∽△QBA，△AQD∽△BQC，△PAC∽△PBD.因此共4對． 【答案】　A 二、填空題 6．如圖2-2-17，以A

18、B＝4為直徑的圓與△ABC的兩邊分別交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，∠ACB＝60°，則EF＝________. 圖2-2-17 【解析】　如圖，連接AE. ∵AB為圓的直徑， ∴∠AEB＝∠AEC＝90°. ∵∠ACB＝60°， ∴∠CAE＝30°， ∴CE＝AC. ∵∠C＝∠C，∠CFE＝∠B， ∴△CFE∽△CBA， ∴＝， ∵AB＝4，CE＝AC，∴EF＝2. 【答案】　2 7．四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BC是直徑，＝40°，則∠D＝__________. 【解析】　如圖，連接AC.∵＝40°.BC是⊙O的直徑， ∴∠ACB＝20°，∠BAC＝90°， ∴∠B＝18

19、0°－∠BAC－∠ACB＝70°， ∴∠D＝180°－∠B＝110°. 【答案】　110° 8．如圖2-2-18，四邊形ABCD是圓O的內(nèi)接四邊形，延長AB和DC相交于點(diǎn)P，若＝，＝，則的值為________． 圖2-2-18 【解析】　由于∠PBC＝∠PDA，∠P＝∠P， 則△PAD∽△PCB ，∴＝＝. 又＝，＝，∴×＝×， ∴×＝，∴×＝， ∴＝. 【答案】　 三、解答題 9．如圖2-2-19，A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上，AD的延長線與BC的延長線交于E點(diǎn)，且EC＝ED. 圖2-2-19 (1)證明：CD∥AB； (2)延長CD到F，延長DC到G，

20、使得EF＝EG，證明：A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 【證明】　(1)因為EC＝ED，所以∠EDC＝∠ECD. 因為A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上， 所以∠EDC＝∠EBA， 故∠ECD＝∠EBA，所以CD∥A B. (2)由(1)知，AE＝BE，∠EDF＝∠ECG，因為EF＝EG，故∠EFD＝∠EGC，從而∠FED＝∠GEC. 連接AF，BG，則△EFA≌△EGB，故∠FAE＝∠GBE. 又CD∥AB，∠EDC＝∠ECD， 所以∠FAB＝∠GBA，所以∠AFG＋∠GBA＝180°. 故A，B，G，F(xiàn)四點(diǎn)共圓． 10．如圖2-2-20，已知P為正方形ABCD的對角線BD上一點(diǎn)，通過

21、P作正方形的邊的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，G，H.你能判斷出E，F(xiàn)，G，H是否在同一個圓上嗎？試說明你的猜想． 圖2-2-20 【解】　猜想：E，F(xiàn)，G，H四個點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上．證明如下： 如圖，連接OE，OF，OG，OH. 在△OBE，△OBF，△OCG，△OAH中， OB＝OC＝OA. ∵PEBF為正方形， ∴BE＝BF＝CG＝AH， ∠OBE＝∠OBF＝∠OCG＝∠OAH＝45°. ∴△OBE≌△OBF≌△OCG≌△OAH. ∴OE＝OF＝OG＝OH. 由圓的定義可知：E，F(xiàn)，G，H在以O(shè)為圓心的圓上． [能力提升] 1．已知四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊

22、形，下列結(jié)論中正確的有(　　) ①如果∠A＝∠C，則∠A＝90°； ②如果∠A＝∠B，則四邊形ABCD是等腰梯形； ③∠A的外角與∠C的外角互補(bǔ)； ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4. A．1個　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 【解析】　由“圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)”可知：①相等且互補(bǔ)的兩角必為直角；②兩相等鄰角的對角也相等(亦可能有∠A＝∠B＝∠C＝∠D的特例)；③互補(bǔ)兩內(nèi)角的外角也互補(bǔ)；④兩組對角之和的份額必須相等(這里1＋3≠2＋4)．因此得出①③正確，②④錯誤． 【答案】　B 2．如圖2-2-21，以△ABC的一邊AB為直徑的圓交AC邊于D，交BC邊于E

23、，連接DE，BD與AE交于點(diǎn)F.則sin∠CAE的值為(　　) 圖2-2-21 A.　　　　 B. C. D. 【解析】　根據(jù)圓周角定理，易得∠AEB＝90°，進(jìn)而可得∠AEC＝90°. 在Rt△AEC中，由銳角三角函數(shù)的定義，可得sin∠CAE＝，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得∠CED＝∠CAB，∠CDE＝∠CBA，可得△CDE∽△CBA，則有＝，故有sin∠CAE＝. 【答案】　D 3．如圖2-2-22，AB＝10 cm，BC＝8 cm，CD平分∠ACB，則AC＝__________，BD＝__________. 圖2-2-22 【解析】　∠ACB＝90°，∠ADB＝

24、90°. 在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝8， ∴AC＝＝6. 又∵CD平分∠ACB， 即∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD， ∴BD＝＝5. 【答案】　6　5 4.如圖2-2-23，銳角△ABC的內(nèi)心為I，過點(diǎn)A作直線BI的垂線，垂足為H，點(diǎn)E為內(nèi)切圓I與邊CA的切點(diǎn)． 圖2-2-23 (1)求證：四點(diǎn)A，I，H，E共圓； (2)若∠C＝50°，求∠IEH的度數(shù)． 【解】　(1)證明：由圓I與邊AC相切于點(diǎn)E， 得IE⊥AE， 結(jié)合IH⊥AH，得∠AEI＝∠AHI＝90°. 所以四點(diǎn)A，I，H，E共圓． (2)由(1)知四點(diǎn)A，I，H，E共圓，得∠IEH＝∠HAI. 在△HIA中，∠HIA＝∠ABI＋∠BAI＝∠B＋∠A＝(∠B＋∠A) ＝(180°－∠C)＝90°－∠C. 結(jié)合IH⊥AH，得∠HAI＝90°－∠HIA＝∠C， 所以∠IEH＝∠C. 由∠C＝50°，得∠IEH＝25°. 最新精品資料