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1、第五節(jié)第五節(jié) 平面及其方程平面及其方程 一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程二、平面的一般方程二、平面的一般方程三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角 第七七章 1 平面和直線是最簡單和最基本的空間圖形。本平面和直線是最簡單和最基本的空間圖形。本節(jié)和下節(jié)我們將節(jié)和下節(jié)我們將以向量作為工具以向量作為工具討論平面和直線討論平面和直線的問題。介紹平面和直線的各種方程及線面關(guān)系、的問題。介紹平面和直線的各種方程及線面關(guān)系、線線關(guān)系。線線關(guān)系。 確定一個平面可以有多種不同的方式，但在解析確定一個平面可以有多種不同的方式，但在解析幾何中最基本的條件是：平面過一定點且與定向量幾何中最基本的條件是：平面過一定點

2、且與定向量垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時我們垂直。這主要是為了便于建立平面方程，同時我們將會看到許多其它條件都可轉(zhuǎn)化為此。將會看到許多其它條件都可轉(zhuǎn)化為此。這里先介紹平面的點法式方程：這里先介紹平面的點法式方程：2xyzo0MM 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平一平面，這向量就叫做該平面的面的法線向量法線向量法線向量的法線向量的特征特征： 垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量已知已知,CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n3,00

3、00zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的點法式方程平面的點法式方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知點已知點).,(000zyx若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量m此時由于此時由于nm/ CBAnm , 平面方程為平面方程為0)()()(000 zzCyyBxxA 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面上的點都滿足上方程，不在平面上平面上的點都滿足上方程，不在平面上的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方的點都不滿足上方程，上方程稱為平面的方程，平面稱為方程的圖形程，平面稱為方程的圖形4例例 1 1 求過三點求過三點)4 , 1, 2( A、)2, 3

4、 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程. 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx5一般地一般地過不共線的三點過不共線的三點),(1111zyxM),(2222zyxM),(3333zyxM的平面的法向量的平面的法向量3121MMMMn 131313121212zzyyxxzzyyxxkji 平面方程為平面方程為0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三點式方程三點式方程6特別特別, ,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸

5、的交點分別為此式稱為平面的此式稱為平面的截距式方程截距式方程. . ), 0 , 0(, )0 , 0(, )0 , 0 ,(cRbQaP1czbyax時,)0,(cbabcax)( cay)(0bazabcbzaacybcx平面方程為 PozyxRQ分析:利用三點式 按第一行展開得 即0ax yzab0a0c7由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程8平面一般方程的幾種特殊情況：平面一般方程的幾種特殊情況：,

6、 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.9例例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程.例例3. .用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.解解: 因平面通過 x 軸 ,0 DA故設(shè)所求平面方程為0zCyB代入已知點) 1,3,4(得BC3化簡,得所求平面方程03 zy設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx由平面

7、過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解11設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解zyx,)0 , 0 ,(aP)0 , 0(bQ), 0 , 0(cR0 a0 b0 c則平面與則平面與三軸分別交于三軸分別交于、（其中（其中，） 12,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方

8、程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距13設(shè)平面為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解14,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入體積式代入體積式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為15例例6求過點求過點)3 , 0 , 1(),2 , 1, 1(21 MM且平行于且平行于z 軸的平面方程軸的平面方程.

9、解一解一用點法式用點法式設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為n則則knMMn ,21kjiMM 221100112 kjinji2 由點法式得，所求平面的方程為由點法式得，所求平面的方程為0)1(2)1( yx即即012 yx16解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 軸，故可設(shè)平面方程為軸，故可設(shè)平面方程為0 DByAx21,MM在平面上在平面上0 DBA0 DA解得解得DBDA2, 所求平面方程為所求平面方程為02 DDyDx即即012 yx由以上幾例可見，求平面方程的基本思路由以上幾例可見，求平面方程的基本思路和基本步驟和基本步驟：兩定兩定定點，定向定點，定向17定義

10、定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角18按照兩向量夾角余弦公式按照兩向量夾角余弦公式, 可以得出：可以得出：222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 191111122222(3)A

11、BCDABCD與重合例例7 7 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos 20)2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 兩平面平行兩平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM兩平

12、面平行兩平面平行兩平面重合兩平面重合.21例例8一平面過點一平面過點)1, 3 , 0(),1 , 1, 1(21 MM且垂直于且垂直于平面平面01 zyx求其方程。求其方程。解解設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為 CBAn, 24 , 121 MM在所求平面上在所求平面上21MMn 024 CBA又所求平面與已知平面垂直又所求平面與已知平面垂直0 CBA解得解得BABC2,3 代入點法式方程并整理得代入點法式方程并整理得0332 zyx22例例 9 9 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz 外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. ),(1111zyxP|

13、Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解四、點到平面距離公式四、點到平面距離公式23 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 240111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx 000222|.AxByCzDdABC 點到直線的距離公式25xyzo0M例例10.解解: 設(shè)球心為設(shè)球心為求內(nèi)切于平面求內(nèi)切于平面 x +

14、y + z = 1 與三個坐標(biāo)面與三個坐標(biāo)面所所構(gòu)成四面體的球面方程構(gòu)成四面體的球面方程. .則它位于第一卦限則它位于第一卦限, ,且且2220001111zyx00331xx , 1000zyxRzyx000因此所求球面方程為因此所求球面方程為000zyx633331, ),(0000zyxM從而從而)(半徑R2222)633()633(633)633(zyx26平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的（注意兩平面的位置位置特征）特征）四、小結(jié)四、小結(jié)27 作作 業(yè)業(yè)P330 2 , 3, 5, 6, 7, 8 (1)、（3）， 928,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解29