《高等數(shù)學(xué)：第七章 第2節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第七章 第2節(jié) 數(shù)量積 向量積 混合積（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1積數(shù)量積、向量積和混合第二節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積三、向量的混合積四、小結(jié)2 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角)啟示啟示向量向量a與與b的的數(shù)量積數(shù)量積為為ba cos|baba (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)實(shí)例實(shí)例兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量.1、定義、定義一、兩向量的數(shù)量積3ab cos|baba ,Prcos|bjba ,Prcos|ajab ajbbabPr| .Pr|bjaa 數(shù)量積也稱為數(shù)量積也稱為“點(diǎn)積點(diǎn)積”、“內(nèi)積內(nèi)積”.:注意注意數(shù)值；、兩向量的數(shù)量積是一) 1 (、由向量的投影定理知、由向

2、量的投影定理知)(2量積為零。量積為零。中有一個(gè)零向量，其數(shù)中有一個(gè)零向量，其數(shù)、若、若ba,)(340)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 、幾個(gè)結(jié)論、幾個(gè)結(jié)論21kkjjii由此得由此得0ikkjji由此得由此得53、數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律：、數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù)： ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()

3、()(baba 6,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx zzyyxxbabababa、數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式、數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式4kibajibaiibazxyxxxkjbajjbaijbazyyyxykkbajkbaikbazzyzxzzzyyxxbababa1117 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 5、兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式、兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 ba)(20zzyyxxbababa由此知由此知2221zyxaaaaaa）（8解解ba )1(2)

4、4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 9例例 2 2 證證明明向向量量c與與向向量量acbbca)()( 垂垂直直.證證cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(103例例且且夾角夾角已知向量已知向量,43 ba.,baba求求32:解解)()(bababa2bbbaaa2222bbaa cos223433222 cos)(1717ba11|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決

5、定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.實(shí)例實(shí)例二、兩向量的向量積LFPQO 12向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac 1、定義、定義(1)向量積也稱為向量積也稱為“叉積叉積”、“外積外積”.abbac:說明說明;,)(為零為零規(guī)定規(guī)定中有一個(gè)零向量中有一個(gè)零向量若若cba2;)( 向量積是一向量向量積是一向量313. 0)1( aa)0sin0( . 0 ba)0, 0( ba向量積的幾何意義向量積的幾何意義)(4abbac sinbabaS、幾個(gè)結(jié)論、幾個(gè)結(jié)論20kkjjii于是于是 ji)(2jikkkjiikjba/)(3143、向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律

6、：、向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa abbaba15,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式、向向量量積積的的坐坐標(biāo)標(biāo)表表達(dá)達(dá)式式4kibajibaiibazxyxxxkjbajjbaijbazyyyxykkbajkbaikbazzyzxz000kjkiji16向量積還可用三階行列式表示向量積還可用三階行列式表示二階行列式

7、二階行列式dcbabcad 三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaa3332232211aaaaa3331232112aaaaa3231222113aaaaa如如412312321)(341)(682)(2233517zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，例如，例如，zzyyxxbababa ba/由上式可推出由上式可推出zyxzyxbbbaaakjiba 18例例 4 4 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂垂直直的的單單位位向向量量. 解解zyxzyxbbbaaakjibac

8、 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj19例例 5 5 在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的三角形中，求的三角形中，求AC邊上的高邊上的高BD. ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面積為的面積為|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD20例例 6 6 設(shè)設(shè)向向量量pnm,兩兩兩兩垂垂直直，符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則，且且4| m，2| n，3| p，計(jì)

9、計(jì)算算pnm )(. 解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依題題意意知知nm 與與p同同向向，21定義定義 設(shè)設(shè)已已知知三三個(gè)個(gè)向向量量a、b、c，數(shù)數(shù)量量cba )(稱稱為為這這三三個(gè)個(gè)向向量量的的混混合合積積，記記為為cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積22（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這

10、樣的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說明：關(guān)于混合積的說明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba23 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例624例例 7 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上的

11、四點(diǎn)),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積.解解由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 25,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致.26向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向

12、量的向量積向量的混合積向量的混合積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（注意共線、共面的條件）（注意共線、共面的條件）四、小結(jié)27練習(xí)與思考題練習(xí)與思考題解答：解答：)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 282、設(shè)計(jì)算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:3、用向量方法證明正弦定理:CcBbAasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及BabcAC29證證: 由三角形面積公式AcbsinBacsinBbAasinsin所以CcsinCbasin因BabcACABACSABC21BCBA21CACB21ABACBCBACACB304、已知ba）（ 1解解kjia23kjmib5求 m .。上的投影為在）（42abba，以）（3為鄰邊的平行四邊形面積為.300ba）（10ba0523m4mababParj）（241428m1424mS）（ 3kmjimba231410300231410222mm516,0m