《數(shù)學(xué)第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第五篇 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 理 新人教版（37頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第4 4節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用節(jié)數(shù)列求和及綜合應(yīng)用知識(shí)梳理自測(cè)知識(shí)梳理自測(cè)考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 知識(shí)梳理自測(cè)知識(shí)梳理自測(cè) 把散落的知識(shí)連起來(lái)把散落的知識(shí)連起來(lái)【教材導(dǎo)讀教材導(dǎo)讀】 數(shù)列求和有哪些方法數(shù)列求和有哪些方法? ?提示提示: :公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位公式法、倒序相加法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法、并項(xiàng)求和法、錯(cuò)位相減法相減法. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理 1.1.數(shù)列求和的基本方法數(shù)列求和的基本方法(1)(1)公式法公式法直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求解. .(2)(2)倒序相加法倒序相加法如果一

2、個(gè)數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列aan n 滿(mǎn)足與首末兩項(xiàng)等滿(mǎn)足與首末兩項(xiàng)等“距離距離”的兩項(xiàng)的和相等的兩項(xiàng)的和相等( (或等于同一常數(shù)或等于同一常數(shù)),),那么那么求這個(gè)數(shù)列的前求這個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,可用倒序相加法可用倒序相加法. .(3)(3)裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差, ,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消, ,從而求得其和從而求得其和. .(4)(4)分組求和法分組求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由幾個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列的通項(xiàng)公式組成, ,求和時(shí)可用求和

3、時(shí)可用分組求和法分組求和法, ,分別求和而后相加分別求和而后相加. .(5)(5)并項(xiàng)求和法并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前一個(gè)數(shù)列的前n n項(xiàng)和中項(xiàng)和中, ,若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解若項(xiàng)與項(xiàng)之間能兩兩結(jié)合求解, ,則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和. .形如形如a an n= = (-1)(-1)n nf(n)f(n)類(lèi)型類(lèi)型, ,可采用并項(xiàng)法求解可采用并項(xiàng)法求解. .(6)(6)錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的, ,那么這個(gè)那么這個(gè)數(shù)列的前數(shù)列的前n n項(xiàng)和可用此法來(lái)求項(xiàng)和可用此法

4、來(lái)求, ,如等比數(shù)列的前如等比數(shù)列的前n n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的. .2.2.數(shù)列應(yīng)用題的常見(jiàn)模型數(shù)列應(yīng)用題的常見(jiàn)模型(1)(1)等差模型等差模型: :當(dāng)增加當(dāng)增加( (或減少或減少) )的量是一個(gè)固定量時(shí)的量是一個(gè)固定量時(shí), ,該模型是等差模型該模型是等差模型, ,增加增加( (或減少或減少) )的的量就是公差量就是公差. .(2)(2)等比模型等比模型: :當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)當(dāng)后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí), ,該模型是等比模型該模型是等比模型, ,這個(gè)固這個(gè)固定的數(shù)就是公比定的數(shù)就是公比. .(3)(3)遞推模型遞推模型: :找到

5、數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式找到數(shù)列中任一項(xiàng)與它前面項(xiàng)之間的遞推關(guān)系式, ,可由遞推關(guān)系入手解決可由遞推關(guān)系入手解決實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題, ,該模型是遞推模型該模型是遞推模型. .等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例等差模型、等比模型是該模型的兩個(gè)特例. .雙基自測(cè)雙基自測(cè) 1.1.數(shù)列數(shù)列1+21+2n-1n-1 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為( ( ) )(A)1+2(A)1+2n n (B)2+2 (B)2+2n n(C)n+2(C)n+2n n-1-1 (D)n+2+2 (D)n+2+2n nC CA A4.34.32 2-1-1+4+42 2-2-2+5+52 2-3-3+(n+2

6、)2+(n+2)2-n-n= =. 考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)考點(diǎn)一考點(diǎn)一 數(shù)列求和數(shù)列求和反思?xì)w納反思?xì)w納 分組法求和的常見(jiàn)類(lèi)型分組法求和的常見(jiàn)類(lèi)型(1)(1)若若a an n= =b bn nc cn n, ,且且 b bn n,c,cn n 為等差或等比數(shù)列為等差或等比數(shù)列, ,可采用分組法求可采用分組法求aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和. .反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法常見(jiàn)的裂項(xiàng)方法( (其中其中n n為正整數(shù)為正整數(shù)) )(2)(2)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí), ,應(yīng)注意抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)應(yīng)注意抵消后不一

7、定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng), ,也有可能前面剩兩項(xiàng)也有可能前面剩兩項(xiàng), ,后面也剩兩項(xiàng)后面也剩兩項(xiàng), ,再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后再就是將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后, ,有時(shí)候需要有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)調(diào)整前面的系數(shù), ,使前后相等使前后相等. .解解: :(1)(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列aan n 的公差為的公差為d,d,等比數(shù)列等比數(shù)列bbn n 的公比為的公比為q.q.由已知由已知b b2 2+b+b3 3= =12,12,得得b b1 1(q+q(q+q2 2)=12,)=12,而而b b1 1=2,=2,所以所以q q2 2+q-6=0.+q-6=0.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閝0,q0,解得解得q=2.q=2.

8、所以所以b bn n=2=2n n. .由由b b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1, ,可得可得3d-a3d-a1 1=8,=8,由由S S1111=11b=11b4 4, ,可得可得a a1 1+5d=16,+5d=16,聯(lián)立聯(lián)立, ,解得解得a a1 1=1,d=3,=1,d=3,由此可得由此可得a an n=3n-2.=3n-2.所以數(shù)列所以數(shù)列aan n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為a an n=3n-2,=3n-2,數(shù)列數(shù)列bbn n 的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為b bn n=2=2n n. .考查角度考查角度3:3:錯(cuò)位相減法求和錯(cuò)位相減法求和【例例3 3】 ( (20172017天

9、津卷天津卷) )已知已知aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,前前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n(n(nN N* *),),b bn n 是首項(xiàng)是首項(xiàng)為為2 2的等比數(shù)列的等比數(shù)列, ,且公比大于且公比大于0,b0,b2 2+b+b3 3=12,b=12,b3 3=a=a4 4-2a-2a1 1,S,S1111=11b=11b4 4. .(1)(1)求求aan n 和和 b bn n 的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式; ;(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列aa2n2nb b2n-12n-1 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和( (nnN N* *).).反思?xì)w納反思?xì)w納 錯(cuò)位相減法求和策略錯(cuò)位相減法求和策略(1)(1)如果數(shù)列

10、如果數(shù)列aan n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列,b bn n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列, ,求數(shù)列求數(shù)列 a an nb bn n 的前的前n n項(xiàng)和時(shí)項(xiàng)和時(shí), ,可采用錯(cuò)位相減法可采用錯(cuò)位相減法, ,一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列 b bn n 的公比的公比, ,然后作差然后作差求解求解. .(2)(2)在寫(xiě)在寫(xiě)“S Sn n”與與“qSqSn n”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出步準(zhǔn)確寫(xiě)出“S Sn n-qS-qSn n”的表達(dá)式的表達(dá)式. .(3)(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí), ,若等

11、比數(shù)列的公比為參數(shù)若等比數(shù)列的公比為參數(shù), ,應(yīng)分公比等于應(yīng)分公比等于1 1和和不等于不等于1 1兩種情況求解兩種情況求解. .考點(diǎn)二考點(diǎn)二 與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問(wèn)題與數(shù)列求和有關(guān)的綜合問(wèn)題反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類(lèi)數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題主要有以下兩類(lèi): :已知函數(shù)條件已知函數(shù)條件, ,解解決數(shù)列問(wèn)題決數(shù)列問(wèn)題, ,一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象; ;已知數(shù)列條件已知數(shù)列條件, ,解決函數(shù)問(wèn)題解決函數(shù)問(wèn)題, ,一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對(duì)式子化簡(jiǎn)變形. .(2)(2)數(shù)列與

12、不等式的恒成立問(wèn)題數(shù)列與不等式的恒成立問(wèn)題. .此類(lèi)問(wèn)題常構(gòu)造函數(shù)此類(lèi)問(wèn)題常構(gòu)造函數(shù), ,通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、最值等解決問(wèn)題最值等解決問(wèn)題. .(3)(3)與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題與數(shù)列有關(guān)的不等式證明問(wèn)題. .解決此類(lèi)問(wèn)題要靈活選擇不等式的證明解決此類(lèi)問(wèn)題要靈活選擇不等式的證明方法方法, ,如比較法、綜合法、分析法、放縮法等如比較法、綜合法、分析法、放縮法等. .備選例題備選例題 【例例1 1】 已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和為項(xiàng)和為S Sn n, ,且且a a2 2a an n=S=S2 2+S+Sn n對(duì)一切正整數(shù)對(duì)一切正整數(shù)n n都成立都成立. .(1

13、)(1)求求a a1 1,a,a2 2的值的值; ;(2)(2)若若b bn n=(-1)=(-1)n na an n, ,求數(shù)列求數(shù)列 b bn n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和T Tn n. . 解題規(guī)范夯實(shí)解題規(guī)范夯實(shí) 把典型問(wèn)題的解決程序化把典型問(wèn)題的解決程序化數(shù)列求和中的創(chuàng)新問(wèn)題解題策略數(shù)列求和中的創(chuàng)新問(wèn)題解題策略【典例典例】 (12 (12分分)()(20162016全國(guó)全國(guó)卷卷)S)Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28.=28.記記b bn n=lg a=lg an n,其中其中xx表示不超過(guò)表示不超過(guò)x x的

14、最大整數(shù)的最大整數(shù), ,如如0.9=0,lg 0.9=0,lg 99=1.99=1.(1)(1)求求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;(2)(2)求數(shù)列求數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項(xiàng)和項(xiàng)和. .審題指導(dǎo)審題指導(dǎo)關(guān)鍵信息關(guān)鍵信息信息轉(zhuǎn)化信息轉(zhuǎn)化S Sn n為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan n 的前的前n n項(xiàng)和項(xiàng)和, ,且且a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28可以求得數(shù)列可以求得數(shù)列aan n 的通項(xiàng)的通項(xiàng)b bn n=lg a=lg an n,x,x的定義的定義, ,0.9=0,lg 99=10.9=0,lg 99=1分別求解分別求解b b1 1,b,b2 2,b,b3 3, ,b,b1 0001 000數(shù)列數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項(xiàng)和項(xiàng)和分組求和分組求和答題模板答題模板: :第一步第一步: :根據(jù)等差數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列aan n 中的中的a a1 1=1,S=1,S7 7=28=28求求a an n, ,再根據(jù)函數(shù)再根據(jù)函數(shù)xx的定義求的定義求b b1 1,b,b1111,b,b101101; ;第二步第二步: :分析分析b bn n=lg a=lg an n 的規(guī)律并分類(lèi)求出的規(guī)律并分類(lèi)求出b bn n; ;第三步第三步: :分組求和得數(shù)列分組求和得數(shù)列bbn n 的前的前1 0001 000項(xiàng)和項(xiàng)和. .