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1、工程力學(xué)課件 第六章 空間力系 重心作用在物體上的力系，其作用線分布在空間，而且也不能簡化到某一平面時(shí)，這種力系就稱為空間力系空間力系?？臻g力系是最一般的力系，平面匯交力系、平面一般力系等都是它的特殊情況。本章在研究平面力系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究物體在空間力系作用下的平衡問題。最后再介紹一下重心的概念及求重心位置的方法。本章重點(diǎn)：1、力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影2、力對(duì)軸之矩3、空間力系的平衡條件及平衡方程4、重心的概念及重心位置的求法工程力學(xué)課件 6-1 工程中的空間力系問題在工程實(shí)際中，常遇到物體在空間力系作用下的情況，如機(jī)器上的轉(zhuǎn)軸以及空間桁架結(jié)構(gòu)等均屬空間力系問題。徑向止推軸承徑向軸承膠帶

2、輪斜齒輪轉(zhuǎn)軸的受力情況轉(zhuǎn)軸空間力系空間匯交力系空間平行力系空間一般力系工程力學(xué)課件 6-2 力在空間坐標(biāo)軸上的投影在研究平面力系時(shí)，需要計(jì)算力在坐標(biāo)軸上的投影。在研究空間力系時(shí)，同樣需要計(jì)算力在空間直角坐標(biāo)軸上的投影。如圖所示，已知力F與三軸x、y、z正向間的夾角分別為、，根據(jù)力的投影定義，可直接將力F向三個(gè)坐標(biāo)軸上投影，分別用符號(hào)Fx、Fy和Fz來表示。得到： coscoscosFFzFFFFyx工程力學(xué)課件 求力在坐標(biāo)軸上的投影時(shí)，也可以采用二次投影的方法，如圖所示，先將力F投影到Oxy坐標(biāo)平面上，以F表示sinFF cosFFz然后再將力F投影到x軸和y軸上。故力在坐標(biāo)軸上的投影公式又可

3、寫成：cossinFFxsinsinFFycossinFFxsinsinFFy在具體計(jì)算時(shí)，究竟取哪種方法求投影，要看問題給出的條件來定工程力學(xué)課件 反過來如果已知力F在三軸x、y、z上的投影Fx、Fy和Fz，也可求出力F的大小和方向，即：222zyxFFFF222coszyxxFFFF222coszyxyFFFF222coszyxzFFFF工程力學(xué)課件 6-3 力對(duì)軸之矩一、力對(duì)軸之矩的概念一、力對(duì)軸之矩的概念如圖所示，力F在圓輪平面內(nèi)，力產(chǎn)生使物體繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的作用，從而建立了在平面內(nèi)力對(duì)點(diǎn)之矩的概念，即Fd(F)Mo從圖中可以看到，平面里物體繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)際上就是空間里物體繞通過O點(diǎn)且與

4、該平面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即物體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)(圖b)。所以，平面里力對(duì)點(diǎn)之矩，實(shí)際上就是空間里力對(duì)軸之矩。力F對(duì)z軸之矩用符號(hào)Mz (F)表示。力F不在垂直于軸的平面內(nèi)，如圖c所示，則僅僅知道上述有關(guān)力矩的概念還不夠，尚需建立空間力對(duì)軸之矩的概念。下面以開門動(dòng)作為例來加以說明。(a)(b)工程力學(xué)課件 設(shè)門上作用的力F不在垂直于轉(zhuǎn)軸z的平面內(nèi)，求F對(duì)z軸之矩。dFFMFMoz22)()( 由分析知：由分析知：力力對(duì)軸之矩等于力在對(duì)軸之矩等于力在垂直于該軸平面上垂直于該軸平面上的投影對(duì)軸與平面的投影對(duì)軸與平面交點(diǎn)之矩。交點(diǎn)之矩。式中正負(fù)號(hào)表示力對(duì)軸之矩的轉(zhuǎn)向。力對(duì)軸之矩是一個(gè)代數(shù)量，其單位與力對(duì)點(diǎn)之矩相

5、同。通常規(guī)定：從z軸的正向看去，逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為正，順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩為負(fù)。也可用右手法則來判定。 由力對(duì)軸之矩的定義知：力的作用線通過某軸或與它平行時(shí)，此力的作用線通過某軸或與它平行時(shí)，此力對(duì)該軸之矩為零。力對(duì)該軸之矩為零。工程力學(xué)課件 例例6-1 半徑為r的斜齒輪，其上作用有力F，如圖a所示。求力F沿坐標(biāo)軸的投影及力F對(duì)y軸之矩。 解：先求力F在三軸上的投影，采用二次投影法：sincosFFFxtcoscosFFFyasinFFFzr因?yàn)榉至r通過y軸,分力Fa平行y軸，所以它們對(duì)y軸之矩均等于零。只有分力Ft對(duì)y軸有矩，故力Ft對(duì)y軸之矩為sincos)()(rFFMFMtyy

6、工程力學(xué)課件 二、合力矩定理二、合力矩定理 在44中講過平面力系的合力矩定理，在空間力系中力對(duì)軸之矩也有類似關(guān)系。下面只敘述結(jié)論不作證明，即：空間力系的合力空間力系的合力對(duì)某一軸之矩等于力系中各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，此即稱為對(duì)某一軸之矩等于力系中各分力對(duì)同一軸之矩的代數(shù)和，此即稱為空間力系的合力矩定理空間力系的合力矩定理。用公式表示為。用公式表示為)()()()(21nxxxRxFMFMFMFM)()(FMFMxRx所以空間合力矩定理常常被用來確定物體的重心位置，并且也提供了用分力矩來計(jì)算合力矩的方法。工程力學(xué)課件 6-4 空間力系的平衡方程建立空間力系平衡方程的方法與建立平面力系平衡方程

7、的方法相同，都是通過力系的簡化得到的。設(shè)剛體上作用有空間任意力系（F1，F(xiàn)2，,Fn），在剛體上任選一點(diǎn)O為簡化中心，將力系中每個(gè)力平移至O點(diǎn)，則得到一空間共點(diǎn)力系（ F1，F(xiàn)2，,Fn ）和由所有附加力偶組成的空間力偶系（ M1，M2，,Mn ）。共點(diǎn)力系可以合成一通過簡化中心O的合力FR ，空間力偶系可合成一合力偶Mo。工程力學(xué)課件 空間匯交力系合力FR稱為力系的主矢力系的主矢；即FFFRzRzyRyxRxFFFFFFFR在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影為：222)()()(zyxRFFFFRzRyRxFFFFFF/cos/cos/cos主矢的大小主矢的方向工程力學(xué)課件 合力偶MO稱為力系力系的主矩的

8、主矩。設(shè)MOx、MOy、MOz分別表示主矩MO在x、y、z軸上的投影，可得(F)MM(F)MM(F)MMzOzyOyxOx222(F)M(F)M(F)MMzyxO主矩的大小ooxMMcos主矩的方向ooyMMcosoozMMcos其中、分別表示Mo與x、y、z軸正向間的夾角。工程力學(xué)課件 剛體在空間一般力系作用下平衡的必要和充分條件是主矢和主矩主矢和主矩皆為零皆為零。即：0)(0)(0)(000FM，F(xiàn)M，F(xiàn)MF，F(xiàn)，F(xiàn)zyxzyx上式表明，物體若平衡，則必須滿足上述方程。反之，空間力系如滿足上述六個(gè)方程，則物體必然保持平衡狀態(tài)(即相對(duì)靜止或作勻速運(yùn)動(dòng))。所以上式表示了空間力系平衡的必要和充分

9、條件，即各力空間力系平衡的必要和充分條件，即各力在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對(duì)此三軸之矩的代數(shù)和都必在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和以及各力對(duì)此三軸之矩的代數(shù)和都必須分別等于零。須分別等于零。上式有六個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可以求解六個(gè)未知量，它是解決空間力系平衡問題的基本方程。00MoFR工程力學(xué)課件 從空間一般力系的平衡方程，我們很容易導(dǎo)出空間匯交力系和空間平行力系的平衡方程。 如圖所示，設(shè)物體受一空間匯交力系作用，如選擇空間匯交力系的匯交點(diǎn)為坐標(biāo)系Oxyz的原點(diǎn)，則不論此力系是否平衡，各力對(duì)三軸之矩恒為零，即0)(0)(0)(FMFMFMzyx000zyxFFF因此，空間匯交力系的平衡方程為：

10、工程力學(xué)課件 如圖所示，設(shè)物體受一空間平行力系作用。令z軸與這些力平行，則各力對(duì)于z軸的矩等于零；又由于x軸和y軸都與這些力垂直，所以各力在這兩軸上的投影也等于零。即0)(00FMFFzyx三式成為恒等式。因此，空間平行力系的平衡方程為0)(0)(0FMFMFyxz工程力學(xué)課件 求解空間力系的平衡問題時(shí)，可以直接運(yùn)用空間平衡方程也可以將空間力系轉(zhuǎn)化為在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的平面力系來處理。后一種方法比較容易掌握，也便于運(yùn)用平面力系平衡問題的解題技巧。因此，這種方法在工程實(shí)際中運(yùn)用較多。0)(0)(0)(000FMFMFMFFFzyxzyx工程力學(xué)課件 例6-2 一車床的主軸如圖所示，齒輪C半徑為10

11、0 mm，卡盤D夾住一半徑為50mm的工件，A為向心推力軸承，B為向心軸承。切削時(shí)工件等速轉(zhuǎn)動(dòng)，車刀給工件的切削力Fx=466 N、Fy=352 N、Fz=1400 N，齒輪C在嚙合處受力為F1，作用在齒輪C的最低點(diǎn)。不考慮主軸及其附件的質(zhì)量，試求力F1的大小及A、B處的約束反力。 解： (1)取主軸及工件為研究對(duì)象。受力圖如圖b所示。 (2)列出空間力系平衡方程，求出未知量。方法一：直接應(yīng)用空間力系平衡方程求解。取坐標(biāo)系A(chǔ)xyz(圖b)。為避免遺漏或發(fā)生錯(cuò)誤，在開始時(shí)可先列表。工程力學(xué)課件 CDNFAx729NFAy352NFAz385NFBx437NFBz2040NF7461工程力學(xué)課件

12、方法二：將空間力系平衡問題轉(zhuǎn)化為平面力系平衡問題來解。首先設(shè)坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，將空間力系化為三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的平面力系，如圖a、b、c所示。工程力學(xué)課件 6-5 重心的概念不論在日常生活中，還是在工程實(shí)際中都會(huì)經(jīng)常遇到重心問題。例：工程力學(xué)課件 地球表面或表面附近的物體會(huì)受到地心引力作用。若把物體想象分割成無數(shù)微小單元，物體諸微元所受到地心引力，由于距離地心很遠(yuǎn)，可看成一組平行力系。這組平行力系有一個(gè)合力W，合力的大小稱為物體的重力重力。合力的方向指向地心。通過實(shí)驗(yàn)我們知道，無論物體怎樣放置，這些平行力的合力總是通過物體內(nèi)的一個(gè)確定點(diǎn)平行力系的中心，這個(gè)點(diǎn)叫做物體的重心。重心。重心的位置怎樣確定？

13、重心的位置怎樣確定？工程力學(xué)課件 一、重心坐標(biāo)的一般公式一、重心坐標(biāo)的一般公式：niixxWMWM1)()(設(shè)固連在物體上的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)物體的重心坐標(biāo)為xC、yC、zC，將物體分成若干微小部分，每個(gè)微小部分所受的重力分別為W1，W2，Wn，各力的作用點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3）。W是各重W1，W2，Wn的合力根據(jù)合力矩定理，合力W對(duì)軸之矩等于各分力對(duì)同軸之矩的代數(shù)和。如對(duì)x軸之矩有nncyWyWyWyW2211即可得：WyWyiic工程力學(xué)課件 niiyyWMWM1)()(nncxWxWxWxW2211即可得：WxWxiic同理可

14、得對(duì)y軸之矩將坐標(biāo)系連同物體繞y軸轉(zhuǎn)90，使z軸鉛直向上，重心位置不變，再應(yīng)用合力矩定理，對(duì)新的y軸求力矩，用與上述相同的方法，可得nnczWzWzWzW2211WzWziic工程力學(xué)課件 WxWxiicWzWziicWyWyiic由以上得到重心坐標(biāo)的一般公式為：mgWgmWii,因?yàn)樗詍xmxiicmzmziicmymyiic上式稱為質(zhì)心質(zhì)心(質(zhì)量中心質(zhì)量中心)坐標(biāo)公式坐標(biāo)公式，在均勻重力場內(nèi)，質(zhì)量中心與其重心的位置相重合。質(zhì)心坐標(biāo)公式將在動(dòng)力學(xué)中用到。工程力學(xué)課件 二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式二、均質(zhì)物體的重心坐標(biāo)公式均質(zhì)物體的重量是均勻分布的，如物體單位體積的重量為，物體體積為V，則VW

15、nnVWVWVW,2211物體每個(gè)微小部分的重量分別為：代入重心坐標(biāo)公式中，則得到：VxVxiicVzVziicVyVyiic 公式表明，對(duì)均質(zhì)物體來說，物體的重心只與物體的形狀有關(guān)，而與物體的重量無關(guān)，因此均質(zhì)物體的重心也稱為物體的形心形心。工程力學(xué)課件 三、均質(zhì)薄板的重心三、均質(zhì)薄板的重心設(shè)均質(zhì)薄板的厚度為h，面積為A，將薄板分成若干微小部分，每個(gè)微小部分的面積為A1，A2，An，則：AhW hAVhAVhAVnn,2211AxAxiicAyAyiic對(duì)于平面薄板，其重心只求兩個(gè)坐標(biāo)就可以了，如圖所示的xC和yC代入均質(zhì)物體重心坐標(biāo)公式中，得到：AzAziic工程力學(xué)課件 6-7 物體重心

16、的求法在工程實(shí)際中，物體通常是由一個(gè)或幾個(gè)簡單幾何圖形的物體組合而成(即組合形體)。對(duì)于簡單幾何圖形物體的重心，可以從有關(guān)的工程手冊(cè)中查到。下面將常見的幾種簡單幾何圖形物體的重心位置列成表61，以供求組合物體重心時(shí)使用。工程力學(xué)課件 工程力學(xué)課件 工程力學(xué)課件 在工程實(shí)際中，經(jīng)常遇到具有對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心的均質(zhì)物體。這種物體的重心一定在對(duì)稱軸、對(duì)稱面或?qū)ΨQ中心上。如圖a的工字鋼截面，具有對(duì)稱軸OO，則它的重心一定在OO軸上；又如圖b，立方體具有對(duì)稱中心C，則C點(diǎn)就是它的重心。一、對(duì)稱性法工程力學(xué)課件 組合形體形狀復(fù)雜，但它們大多都是由簡單幾何形體組合而成的。二、分割法 分割法是將形狀比較

17、復(fù)雜的物體分成幾個(gè)部分，這些部分形狀簡單，其重心位置容易確定，然后，根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出組合形體的重心。例6-4 如圖所示為Z形鋼的截面，圖中尺寸單位為mm。求Z形截面的重心位置工程力學(xué)課件 cmcmAxAxiic1 . 2305440)6(3075. 0541040cmcmAyAyiic47.1830544039302054140將上述數(shù)據(jù)代入到坐標(biāo)公式中，得到Z形截面重心位置為：22140220cmcmAcmycmx1,1011222545 . 136cmcmAcmycmx20,75. 02222330152cmcmAcmycmx39,622解：將Z形截面分割為三部分，每部分都是矩形。設(shè)坐

18、標(biāo)Oxy，它們的面積和坐標(biāo)分別為：工程力學(xué)課件 若在物體內(nèi)切去一部分，要求剩余部分物體的重心時(shí)，仍可應(yīng)用分割法，只是切去部分的面積(或體積)應(yīng)取負(fù)值。 例6-5 已知振動(dòng)器中的偏心塊的幾何尺寸，R=10 cm，r=1.3 cm，b=1.7 cm，求偏心塊重心的位置。 設(shè)坐標(biāo)Oxy，y軸為對(duì)稱軸。根據(jù)對(duì)稱法，偏心塊重心C在對(duì)稱軸上，所以解：本題屬于求平面圖形的重心問題，由于有挖去的部分，所以用負(fù)面積法三、負(fù)面積法C0cx將偏心塊分割成三部分：半徑為R的半圓，半徑為(r+b)的半圓半徑為r的小圓，這是挖掉的部分，其面積應(yīng)為負(fù)值工程力學(xué)課件 這三部分的面積及其坐標(biāo)為：2121RA341Ry 22)(21brA3)(41bry23rA01ycmrbrRbrRrbrRrbrbrRRAAAyAyAyAAyAyiic98. 92)(3)( 42)(203)(42)(34222233222222321332211將上述數(shù)據(jù)代入到坐標(biāo)公式中，可得偏心塊重心(即形心)C的坐標(biāo)分別為：在這一例題中，綜合運(yùn)用了對(duì)稱性、分割法和負(fù)面積法確定其重心位置。cmyc98. 90cx工程力學(xué)課件