《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第八節(jié)歐拉方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)備課教案：第七章 微分方程 第八節(jié)歐拉方程（4頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八節(jié) 歐拉方程 變系數(shù)的線性微分方程，一般說(shuō)來(lái)都是不容易求解的. 但是有些特殊的變系數(shù)線性微分方程，則可以通過(guò)變量替換化為常系數(shù)的線性微分方程，因而容易求出其解，歐拉方程就是其中的一種. 分布圖示 ★ 歐拉方程及其解法 ★ 例1 ★例2 ★ 例3 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題7—8 ★ 返回 內(nèi)容要點(diǎn) 形如 (8.1) 的方程稱(chēng)為歐拉方程, 其中為常數(shù). 歐拉方程的特點(diǎn)是： 方程中各項(xiàng)未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)與其乘積因子自變量的冪次相同. 作變量替換 或 將上述變換代入歐拉方程, 則將方程

2、(8.1)化為以t為自變量的常系數(shù)線性微分方程, 求出該方程的解后, 把t換為lnx, 即得到原方程的解. 如果采用記號(hào)D表示對(duì)自變量t求導(dǎo)的運(yùn)算 則上述結(jié)果可以寫(xiě)為 ， ， 一般地，有 . (8.2) 例題選講 例1（E01）求歐拉方程的通解. 解 作變量替換或則題設(shè)方程化為 即 兩次積分，可求得其通解為 代回原來(lái)變量，得原方程的通解 例2（E02）求歐拉方程的通解. 解 作變量變換或原方程化為 即 或 (1) 方程(1)所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程 求得特征根故所以齊次方程的通解 設(shè)特解代入原

3、方程得即故所求歐拉方程的通解為 例3 設(shè)有方程 求由此方程所確定的函數(shù) 解 將方程兩邊對(duì)求導(dǎo)，整理后得 且有 這是歐拉方程,令或?qū)⑺癁槌Ｏ禂?shù)非齊次線性微分方程 其通解為故原方程的通解為 由初始條件可求得 故由題設(shè)方程確定的函數(shù)為 課堂練習(xí) 求下列歐拉方程的通解: 1.; 2.; 3.; 4.. 歐拉（Euler，1707~1783） 歐拉，瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家。在1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國(guó)的彼得堡去逝。 歐拉出生於牧師家庭，自幼已受到父親的教育。13歲時(shí)入讀巴塞爾大

4、學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。歐拉的父親希望他學(xué)習(xí)神學(xué)，但他最感興趣是是數(shù)學(xué)。在上大學(xué)時(shí)，他已受到約翰第一。伯努利的特別指導(dǎo)，專(zhuān)心研究數(shù)學(xué)，直到18歲，他徹底的放棄當(dāng)牧師的想法而專(zhuān)攻數(shù)學(xué)，於19歲時(shí)(1726年)開(kāi)始創(chuàng)作文章,并獲得巴黎科學(xué)院獎(jiǎng)金.1727年,在丹尼爾.伯努利的推薦下,到俄國(guó)的彼得堡科學(xué)院從事研究工作.并在1731年接替丹尼爾第一.伯努利,成為物理學(xué)教授.在俄國(guó)的14年中,他努力不懈地投入研究,在分析學(xué)、數(shù)論及力學(xué)方面均有出色的表現(xiàn)。此外，歐拉還應(yīng)俄國(guó)政府的要求，解決了不少如地圖學(xué)、造船業(yè)等的實(shí)際問(wèn)題。1735年，他因工作過(guò)度以致右眼失明。在1741年，他受到普獸士腓

5、特烈大帝的邀請(qǐng)到德國(guó)科學(xué)院擔(dān)任物理數(shù)學(xué)所所長(zhǎng)一職。他在柏林斯間，大大的擴(kuò)展了研究的內(nèi)容，如行星運(yùn)動(dòng)、剛體運(yùn)動(dòng)、熱力學(xué)、彈道學(xué)、人口學(xué)等，這些工作與他的數(shù)學(xué)研究互相推動(dòng)著。與此同時(shí)，他在微分方程、曲面微分幾何及其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域均有開(kāi)創(chuàng)性的發(fā)現(xiàn)。 1766年，他應(yīng)俄國(guó)沙皇喀德林二世敦聘重回彼得堡。在1771年，一場(chǎng)重病使他的左眼亦完全失明。但以其驚人的記憶力和心算技巧繼續(xù)從事科學(xué)創(chuàng)作。他通過(guò)與助手們的討論以及直接口授等方式完成了大量的科學(xué)著作，直至生命的最后一刻。 歐拉是18世記數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。此外，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，寫(xiě)了大

6、量的力學(xué)、分析學(xué)、幾何學(xué)、變分法的課本，《無(wú)窮小分析引論》（1748），《微分學(xué)原理》（1755），以及《積分學(xué)原理》（1768-1770）都成為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典著作。 歐拉最大的功績(jī)是擴(kuò)展了微積分的領(lǐng)域，為微分幾何及分析學(xué)的一些重要分支（如無(wú)窮級(jí)數(shù)、微分方程等）的產(chǎn)生與發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。歐拉把無(wú)窮級(jí)數(shù)由一般的運(yùn)算工具轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)重要的研究科目。他計(jì)算出函數(shù)在偶數(shù)點(diǎn)的值：他證明了a2k是有理數(shù)，而且可以伯努利數(shù)來(lái)表示。此外，他對(duì)調(diào)和級(jí)數(shù)亦有所研究，并相當(dāng)精確的計(jì)算出歐拉常數(shù)的值，其值近似為0.57721566490153286060651209… 在18世紀(jì)中葉，歐拉和其他數(shù)學(xué)家在解決物理方面的問(wèn)

7、題過(guò)程中，創(chuàng)立了微分方程學(xué)。當(dāng)中，在常微分方程方面，他完整地解決了n階常系數(shù)為線性齊次方程的問(wèn)題，對(duì)於非齊次方程，他提出了一種降低方程階的解法；而在偏微分方程方面，歐拉將二維物體振動(dòng)的問(wèn)題，歸結(jié)出一、二、三維波動(dòng)方程的解法。歐拉所寫(xiě)的《方程的積分法研究》更是偏微分方程在純數(shù)學(xué)研究中的第一篇論文。 在微分幾何方面（微分幾何是研究曲線、曲面逐點(diǎn)變化性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支），歐拉引入了空間曲線的參數(shù)方程，給出了空間曲線曲率半徑的解析表達(dá)方式。在1766年，他出版了《關(guān)于曲面上曲線的研究》，這是歐拉對(duì)微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，更是微分幾何發(fā)展史上一個(gè)里程碑。他將曲面表為并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z對(duì)x,y和偏導(dǎo)

8、數(shù)，這些符號(hào)至今仍通用。此外，在該著作中，他亦得到了曲面在任意截面上截線的曲率公式。歐拉在分析學(xué)上的貢獻(xiàn)不勝牧舉，如他引入了G函數(shù)和B函數(shù)，這證明了橢圓積分的加法定理，以及最早引入二重積分等等。 在代數(shù)學(xué)方面，他發(fā)現(xiàn)了每個(gè)實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式必分解為一次或二次因子之積，即a+bi的形式。歐拉還給出了費(fèi)馬小定理的三個(gè)證明，并引入了數(shù)論中重要的歐拉函數(shù)，他研究數(shù)論的一系列成果奠定了數(shù)論成為數(shù)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支。歐拉又用解析方法討論數(shù)論問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了函數(shù)所滿(mǎn)足的函數(shù)方程，并引入歐拉乘積。而且還解決了著名的柯尼斯堡七橋問(wèn)題。 歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見(jiàn)到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理。