《（江蘇專用）2018年高考數學總復習 選做02 矩陣試題（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（江蘇專用）2018年高考數學總復習 選做02 矩陣試題（含解析）（20頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 專題2 矩　陣 【三年高考全收錄】 1．【2017年高考江蘇】已知矩陣 （1）求； （2）若曲線在矩陣對應的變換作用下得到另一曲線，求的方程． 【答案】（1）；（2）． （2）設為曲線上的任意一點， 它在矩陣AB對應的變換作用下變?yōu)椋? 則，即，所以． 因為點在曲線上，所以， 從而，即． 因此曲線在矩陣AB對應的變換作用下得到曲線． 【考點】矩陣乘法、線性變換 【名師點睛】（1）矩陣乘法注意對應相乘：； （2）矩陣變換：表示點在矩陣變換下變成點． 2.【2016年高考江蘇】已知矩陣 矩陣B的逆矩陣，求矩陣AB. 【答案】 【解析】 試題分析

2、：先求逆矩陣的逆： ，再根據矩陣運算求矩陣AB. 試題解析：解：設，則， 即， 故，解得，所以. 因此，. 【考點】逆矩陣，矩陣乘法 【名師點睛】矩陣乘法及逆矩陣需明確運算法則，實質是考查一種運算法則：，類似求矩陣特征值及特征向量也是如此. 3．【2015江蘇高考，21】已知，向量是矩陣的屬性特征值的一個特征向量，矩陣以及它的另一個特征值. 【答案】,另一個特征值為． 【考點定位】矩陣運算，特征值與特征向量 4．【2014江蘇，理21B】[選修4-2：矩陣與變換] 已知矩陣，向量，是實數，若，求的值. 【答案】． 【解析】由題意得，解得.∴. 5．【2013江

3、蘇，理21B】[選修4－2：矩陣與變換](本小題滿分10分)已知矩陣A＝，B＝，求矩陣A－1B. 【答案】． 【解析】解：設矩陣A的逆矩陣為，則＝，即＝， 故a＝－1，b＝0，c＝0，，從而A的逆矩陣為A－1＝， 所以A－1B＝＝. 6．【2012江蘇，理21B】[選修4－2：矩陣與變換]已知矩陣A的逆矩陣，求矩陣A的特征值． 【答案】λ1＝－1，λ2＝4.． 【解析】解：因為A－1A＝E，所以A＝(A－1)－1. 因為， 所以， 于是矩陣A的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－3λ－4. 令f(λ)＝0，解得A的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 【2018年高考命題預測】

4、 縱觀近幾年江蘇高考試題，對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，矩陣變換，矩陣的特征值與特征向量及二階逆矩陣．題目難度一般為中、低檔，著重考查利用基本概念、基礎知識求解矩陣，高考對這部分要求不是太高，會進行矩陣的乘法運算，會利用矩陣運算進行平面變換，會判斷一個二階矩陣有否逆矩陣及求得逆矩陣，會求矩陣的特征值與特征向量，并用特征值與特征向量進行矩陣的乘方運算．備考中應嚴格控制訓練題的難度．高考對這部分要求不是太高，高考中在附加題部分.預測2017年矩陣仍是考試的重點．復習建議：在復習矩陣知識過程中，注意培養(yǎng)、強化與提高計算能力，逐步提升數學素養(yǎng)，提高分析解決綜合問題的能力. 【2018年

5、高考考點定位】 高考對矩陣的考查，主要考查矩陣的運算，考查矩陣變換，考查矩陣的特征值與特征向量及二階逆矩陣的運算． 【考點1】矩陣的運算與矩陣變換 【備考知識梳理】 1．乘法規(guī)則 (1)行矩陣[a11　a12]與列矩陣的乘法法則： [a11　a12]＝[a11b11＋a12b21]． (2)二階矩陣與列向量的乘法規(guī)則： ＝. (3)兩個二階矩陣相乘的結果仍然是一個二階矩陣，其乘法法則如下： ＝. (4)兩個二階矩陣的乘法滿足結合律，但不滿足交換律和消去律，即(AB)C＝A(BC)． (5)AkAl＝Ak＋l，(Ak)l＝Akl(其中k，l∈N*)． 2．常見的平面變換

6、 (1)恒等變換：因為＝，該變換把點(x，y)變成(x，y)，故矩陣表示恒等變換． (2)反射變換：因為＝，該變換把點(x，y)變成(－x，y)，故矩陣表示關于y軸的反射變換；類似地，，，分別表示關于x軸、直線y＝x和直線y＝－x的反射變換． (3)伸縮變換：因為＝，該變換把點(x，y)變成點(x，ky)，在此變換中，點的橫坐標不變，縱坐標變成原來的k倍，故矩陣表示y軸方向上的伸縮變換；類似地，矩陣可以用來表示水平伸縮變換． (4)旋轉變換：把點A(x，y)繞著坐標原點逆時針旋轉α角的變換，對應的矩陣是. (5)切變變換：＝表示的是沿x軸的切變變換．沿y軸的切變變換對應的矩陣是.

7、(6)投影變換：＝，該變換把所有橫坐標為x的點都映射到了點(x,0)上，因此矩陣表示的是x軸上的投影變換．類似地，表示的是y軸上的投影變換． 【規(guī)律方法技巧】 1．待定系數法在平面變換中的應用 通過二階矩陣與平面向量的乘法求出變換前與變換后坐標之間的變換公式，進而得到所求曲線(或點)，求解時應注意待定系數法的應用． 2．矩陣相等實質上是矩陣對應元素相等，體現了方程思想，要注意矩陣對應元素相等． 3．矩陣的乘法只滿足結合律，不滿足交換律和消去律． 4．對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換． 5．伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應的變換矩陣為初等變換矩

8、陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應于變換的復合，一一對應的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復合． 6．在解決通過矩陣進行平面曲線的變換時，變換矩陣可以通過待定系數法解決，在變換時一定要把變換前后的變量區(qū)別清楚，防止混淆． 7．曲線(或點)經過二階矩陣變換后的曲線(或點)的求法，類似于平面解析幾何中的代入法求軌跡，此類問題的關鍵是求對坐標之間的變換公式． 8．注意兩個易錯點： （1）二階矩陣的乘法運算律中，易忽視AB≠BA，AB＝AC?/ B＝C，但滿足(AB)C＝A(BC)． （2）易混淆繞原點逆時針旋轉90°的變換與繞原點順時針旋轉90°的變換． 【考點針對訓

9、練】 1．求使等式＝M成立的矩陣M. 【答案】. 【解析】設M＝， 則＝M＝， 則? 即M＝. 2，已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝對應的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1. (1)求實數a，b的值； (2)若點P(x0，y0)在直線l上，且A＝，求點P的坐標． 【答案】（1）；（2）(1,0)． 【解析】(1)設直線l：ax＋y＝1上任意點M(x，y)在矩陣A對應的變換作用下的像是M′(x′，y′)． 由＝＝，得 又點M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1， 即x＋(b＋2)y＝1， 依題意得解得 (2)由A＝，得解得y0＝0. 又點P(x0，

10、y0)在直線l上，所以x0＝1. 故點P的坐標為(1,0)． 【考點2】矩陣的特征值與特征向量 【備考知識梳理】 1．逆變換與逆矩陣 (1)逆變換：設ρ是一個線性變換，如果存在線性變換σ，使得σρ＝ρσ＝1，則稱變換ρ可逆，并且稱σ是ρ的逆變換． (2)逆矩陣：設A是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BA＝AB＝E2，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣． (3)逆矩陣的性質 性質①：設A是一個二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的． 性質②：設A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1. (4)定理：二

11、階矩陣A＝可逆，當且僅當det A＝ad－bc≠0. 2．逆矩陣與二元一次方程組 (1)定理：如果關于變量x，y的二元一次方程組(線性方程組)的系數矩陣A＝可逆，那么該方程組有唯一解＝－1. (2)推論：關于變量x，y的二元一次方程組其中a，b，c，d是不全為零的常數，有非零解的充分必要條件是系數矩陣的行列式＝0. 3．特征值和特征向量 設矩陣A＝，如果存在數λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，則稱λ是矩陣A的一個特征值，ξ是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量． 4．特征向量的性質 設λ1，λ2是二階矩陣A的兩個不同特征值，ξ1，ξ2是矩陣A的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對

12、于任意的非零平面向量α，設α＝t1ξ1＋t2ξ2(t1，t2為實數)，則對任意的正整數n，有Anα＝t1λξ1＋t2λξ2. 【規(guī)律方法技巧】 1．求逆矩陣的常見方法 (1)待定系數法： 設A是一個二階可逆矩陣，AB＝BA＝E2； (2)公式法： |A|＝＝ad－bc，有A－1＝， 當且僅當|A|≠0； (3)從幾何變換的角度求解二階矩陣的逆矩陣； (4)利用逆矩陣的性質(AB)－1＝B－1A－1. 2．求特征值和特征向量的方法 (1)矩陣M＝的特征值λ滿足(λ－a)(λ－d)－bc＝0，屬于λ的特征向量a＝滿足M＝λ. (2)求特征向量和特征值的步驟： ①解f(λ

13、)＝＝0得特征值； ②解?(λ－a)x－by＝0，取x＝1或y＝1，寫出相應的向量． 3．注意3個易錯點： （1）并不是每一個二階矩陣都是可逆的： 矩陣A＝可逆的充分必要條件是它對應的行列式|A|滿足|A|＝ad－bc≠0，且A－1＝. （2）不是每個矩陣都有特征值與特征向量，矩陣M＝有特征值λ的充分必要條件是方程＝0有解． （3）屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線． 【考點針對訓練】 1．已知矩陣A＝將直線l：x＋y－1＝0變換成直線l′. (1)求直線l′的方程； (2)判斷矩陣A是否可逆？若可逆，求出矩陣A的逆矩陣A－1；若不可逆，請說明理由． 【答案】（1）l′

14、的方程為4x＋y－7＝0；（2）A－1＝. (2)∵≠0，∴矩陣A可逆． 設A－1＝，∴AA－1＝， ∴解之得 ∴A－1＝. 2．已知矩陣M＝，向量α＝. (1)求矩陣M的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量； (2)求M3α. 【答案】（1）特征值λ1＝1的一個特征向量為α1＝，特征值λ2＝2的一個特征向量為α2＝.； （2）. 【解析】(1)矩陣M的特征多項式為f(λ)＝＝λ2－3λ＋2， 令f(λ)＝0，得λ1＝1，λ2＝2. 當λ1＝1時，解方程組得一個非零解 因此，矩陣M屬于特征值λ1＝1的一個特征向量為α1＝； 當λ2＝2時，同理可得矩陣M屬于特征

15、值λ2＝2的一個特征向量為α2＝. (2)設α＝mα1＋nα2，得解得m＝1，n＝2. 所以M3α＝M3(α1＋2α2)＝M3α1＋2M3α2＝λα1＋2λα2＝＋2×23＝. 【兩年模擬詳解析】 1．【揚州市2016—2017學年度第一學期期末檢測】（本小題滿分10分） 已知，若點在矩陣對應的變換作用下得到點，求矩陣的特征值. 【解析】解：由題意得,即,解得, 所以, --------------------5分 所以矩陣的特征多項式為， 令，解得或，即矩陣的特征值為5和3. -

16、--------------------10分 2. 【2017南通揚州泰州蘇北四市高三二?！縖選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 設矩陣滿足：，求矩陣的逆矩陣． 解：法一：設矩陣，則， 所以，，，． …… 4分 解得，，所以． …… 6分 根據逆矩陣公式得，矩陣． …… 10分 法二：在兩邊同時左乘逆矩陣得， ． …… 4分 設，則， 所以，，，．

17、 …… 6分 解得，，，，從而． …… 10分 3. 【蘇北三市（連云港、徐州、宿遷）2017屆高三年級第三次調研考試】選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣，若，求矩陣的特征值. 【答案】，． 4. 【2016-2017學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調研（二）】選修4-2：矩陣與變換 已知矩陣的一個特征值及對應的特征向量. 求矩陣的逆矩陣. 【答案】 【解析】 解：由題知， ，，. ， . 5. 【南京市、鹽城市2017屆高三年級第一次模擬】（選修4-2：矩陣與變換） 設矩陣的一個特征值對應的特征向量為 ，求與的值. 【答案】，. 6

18、. 【2017年第二次全國大聯(lián)考江蘇卷】【選修4—2：矩陣與變換】（本小題滿分10分）已知矩陣的一個特征值為，求 【解析】由得的一個解為，代入得 ， 因為 ，所以…………10分 7. 【2017年第一次全國大聯(lián)考江蘇卷】【選修4-2：矩陣與變換】（本小題滿分10分） 已知矩陣，求滿足方程 的二階矩陣 【解析】設由得，即，解得，所以……………10分 8. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷03（江蘇卷）】【選修4—2：矩陣與變換】（本小題滿分10分）已知點，先對它作矩陣M對應的變換，再作對應的變換，得到的點的坐標為，求實數的值． 9. 【2017年高考原創(chuàng)押題預測卷01（江蘇卷）】

19、[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 已知二階矩陣有特征值及對應的一個特征向量，并且矩陣將點變換為，求矩陣． 【答案】B． 【解析】 設，由及中， 得，解得，∴． ·······10分 10．【江蘇省揚州中學2015—2016學年第二學期質量檢測】已知矩陣 ，求矩陣 【答案】 【解析】由逆矩陣公式得，再利用矩陣運算得 11．【江蘇省蘇中三市（南通、揚州、泰州）2016屆高三第二次調研測試數學試題】在平面直角坐標系中，設點在矩陣對應的變換作用下得到點，將點繞點逆時針旋轉得到點，求點的坐標． 【答案】 【解析】設， 依題意，由，得．　 則． 記旋轉矩陣，

20、 則，即，解得， 所以點的坐標為． 12．【南京市、鹽城市2016屆高三年級第二次模擬考試】已知a，b是實數，如果矩陣A＝ 所對應的變換T把點(2，3)變成點(3，4)． （1）求a，b的值． （2）若矩陣A的逆矩陣為B，求B2． 【答案】（1）a＝－1，b＝5．（2） 【解析】（1）由題意，得，得6＋3a＝3，2b－6＝4， 所以a＝－1，b＝5． （2）由（1），得．由矩陣的逆矩陣公式得， 所以 13．【江蘇省南京市2016屆高三年級第三次學情調研適應性測試數學】變換T1是逆時針旋轉角的旋轉變換，對應的變換矩陣是M1；變換T2對應的變換矩陣是M2＝． （1）點P

21、(2，1)經過變換T1得到點P'，求P'的坐標； （2）求曲線y＝x2先經過變換T1，再經過變換T2所得曲線的方程. 【答案】（1）P'(-1,2).（2）y－x＝y(tǒng)2. 【解析】(1)M1＝， M1＝．所以點P(2,1)在T1作用下的點P'的坐標是P'(-1,2). (2)M＝M2·M1＝， 設是變換后圖象上任一點,與之對應的變換前的點是, 則M＝,也就是 即 所以,所求曲線的方程是y－x＝y(tǒng)2. 14．【南京市2016屆高三年級第三次模擬考試】已知曲線C：x2＋2xy＋2y2＝1，矩陣A＝所對應的變換T把曲線C變成曲線C1，求曲線C1的方程． 【答案】x2＋

22、y2＝2 【解析】設曲線C上的任意一點P(x，y)，P在矩陣A＝對應的變換下得到點Q(x′，y′)． 則， 即x＋2y＝x′，x＝y(tǒng)′， 所以x＝y(tǒng)′，y＝． 代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′·＋2()2＝1，即x′2＋y′2＝2， 所以曲線C1的方程為x2＋y2＝2． 15．【蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學情況調研（二）】已知變換把平面上的點，分別變換成，，試求變換對應的矩陣． 【答案】 【解析】設，由題意，得， ∴ 解得. 即． 16．【江蘇省蘇北三市2016屆高三最后一次模擬】已知矩陣，向量，計算. 【答案】 17．【南通市2016屆高

23、三下學期第三次調研考試】在平面直角坐標系中，直線在矩陣對應的變換作用下得到直線，求的值. 【答案】 【解析】設是直線上一點，由，得 即，由條件得，，解得，所以 18．【鹽城市2016屆高三年級第三次模擬考試】已知矩陣的兩個特征向量，，若，求. 【答案】 【解析】設矩陣的特征向量對應的特征值為，特征向量對應的特征值為， 則由可解得：， 又， 所以. 【一年原創(chuàng)真預測】 1． 已知矩陣，求矩陣 【答案】 【解析】設矩陣的逆矩陣為，則， 即，于是，從而， 所以 【入選理由】本題考查矩陣的乘法運算，考查二階逆矩陣的求法，意在考查學生邏輯思維能力和運算求解能力

24、.本題首先求出二階逆矩陣，再計算，像這種題型考查知識基礎，目的明確，是高考出題方向，故選此題. 2．已知矩陣，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為，屬于特征值1的一個特征向量為．求A的逆矩陣． 【答案】 【解析】由題意得， 則 ， 解得，即，所以. 【入選理由】本題考查矩陣的特征值與特征向量，本題通過特征值與特征向量概念求得矩陣，然后再求得逆矩陣，意在考查最基本的運算求解能力，意在考查學生邏輯思維能力.符合江蘇高考對選做題的要求，故選此題. 3．變換是逆時針旋轉的旋轉變換，對應的變換矩陣是；變換對應用的變換矩陣是．求函數的圖象依次在，變換的作用下所得曲線的方程． 【答案】 【入選理由】本題考查矩陣的運算與平面變換之間的關系，考查用矩陣運算表示平面變換，意在考查學生分析問題與解決問題的能力，考查推理想象能力，考查運算求解能力，本題型考查知識基礎，方法簡單，是高考出題方向，故選此題. - 20 -