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1、專題九 數學思想方法 1高考考點 本節(jié)內容的主要內容和考點是數學思想方法對數學思想方法的考查是高考的重點目標之一，也是數學教育的核心價值高考對數學思想方法的考查有以下幾個方面： (1)函數與方程思想； (2)數形結合思想； (3)分類與整合； (4)化歸與轉化思想以及特殊與一般、有限與無限思想、必然與或然等 高考試題重在考查對知識理解的準確性、深刻性，重在考查知識的綜合靈活運用，在知識網絡的交匯處，從思想方法與相關能力綜合的角度進行較為深入的考查它著眼于知識點新穎巧妙的組合，試題新而不偏，活而不過難；著眼于對數學思想方法、數學能力的考查 2易錯易漏： (1)在解題中沒有仔細分析題意，明確的目標

2、意識生搬硬套數學知識，盲目解題； (2)沒有用數學思想方法指導解題，解題過程繁雜、降低解題效率； (3)沒有用數學思想方法對解題過程、結果進行反思、優(yōu)化，因此過程不完整、解答不嚴謹 3歸納總結： 在復習中要以數學思想指導知識、方法的運用，整體把握各部分知識的內在聯(lián)系，多進行一題多解、一題多變、多題一解、錯題糾錯等練習，優(yōu)化解題過程和方法，提高數學能力.1.設函數f(x)=|x+1|+|x-a|的圖象關于直線x=1對稱，則a的值為()A. 3 B. 2C. 1 D. -1 23.111f xaax 由的圖象特征及該函數圖象關于對稱，易知，【解析】所以222ABCsinsinsinsinsin()

3、. (0 .)66. (0 2.(2.)31)30 1ABCBCAABCD在中，則 的取值范圍是 ，慶，重，222222222sinsinsinsinsin1221.cos0023ABCBCbcaabcbcbcAACA由得，即，所以，因為【解析】，故，選1( )12()3.(2011)xyyx函數的圖象關于直線對稱的圖象像大致是川四1( ).10,222,0 xAyyx圖象過點，且單調遞減，故它【解析】關于直線對稱的圖象過點且遞減，故選單調tan (0)2lg() (0)(2)98_4.4xxf xxxff若函數，則等于(2)442(2)tan14498100298lg100(2)9.4281

4、 22fxf xffxf xfff 由函數表達式知，即為時，的值，所以；即為時，的值，所【以解析】所以，5.圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進出口，如圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m，設利用的舊墻的長度為x(單位：元)，則修建此矩形場地圍墻的最小總費用等于_222m451802180 2225360360360360360225360036002252 225 36010800ayyxxaxaxaaxyxxxxxx如圖，設矩形的另一邊長為，修建此矩形

5、場地費用為 ，則，由已知，得，所以【因為，所以解析】，223602253601044036022524m10440yxxxxx所以，當且僅當時，等號成立即當時，修建圍墻的總費用最小最小總費用是，元 1數形結合在解題過程中常用到的圖形有：數軸、常見函數(一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數)的圖象、單位圓、三角函數線、圓、圓錐曲線及空間幾何體 2分類討論的問題，主要有以下五個方面原因引起： (1)涉及數學概念是分類定義而引起的分類討論； (2)由應用的數學定理、性質、公式本身的限制條件而引發(fā)的分類討論； (3)由于求解的數學問題的結論有多種的可能性而引起的分類討論； (4)對于含有參

6、數的問題，由于參變量的不同取值導致不同的結果，需要進行的分類討論； (5)對于較復雜的或非常規(guī)的數學問題含有不確定因素，需要進行的分類討論 3函數思想就是要運用運動變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，通過函數的形式把這種數量關系表達出來，并加以研究，從而使問題獲得解決方程思想就是如果變量間的關系是通過解析式表示出來的，則可以把解析式看作一個方程，通過對方程的研究使問題得以解決 4當遇到一些問題直接求解較為困難時，可通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇恰當的數學方法進行轉化，將原問題轉化為一個自己較為熟悉的新問題，通過對新問題的求解達到解決原問題的目的題型一 函數與方程思想 223

7、746130220()A. 33 B. 33 3C. 3 33 D. 3 33 32160.321.3nnnxymxyxmaa aaaanSABCABCabccC 【例】直線與圓相切，則實數 等于 或或或或已知等差數列中，求的前 項和在中，已知內角 ， ， 對邊的邊長分別是 ， ， ，且，3sinsin-2sin2ABCa bCB AAABC若的面積等于 ，求 ， ；若，求的面積 222222302204(2 32)20(2 32)162033.31xymxyxxmmmCxmmm 聯(lián)立方程，得，若直線與圓相切，則須，解得或，【解析】故選 1111221*1111(2 )(6 )18196381

8、9 ()5081216824822nnnadad adadadaSnn nn nSdadadann nn nnNadd 設的公差為 ，則，即，解得或或因此， 2222431sin34224.24sinsin4sincossincos2sincos4 32 3cos026333ababABCabCabaababbabBABAAABAAAAABab由余弦定理及已知條件得，又因為的面積等于，所以，得， 聯(lián)立得，解得由題意得，即，當時，2212 3sin.23cos0sin2sin22 343.24 3312 3sin.23.2 33ABCSabCABAbaaababbabABCSabABCC的面積當

9、時，得，由正弦定理得，聯(lián)立方程組，解得所以的的面積可知，為面積綜上【點評】上述問題知識依托各不相同，但都是考查方程思想在解決問題中的應用關鍵是確定問題的基本量，在高考試題中這類問題比比皆是題型二 利用數形結合解題 【例2】不論k為何實數，直線y=kx+1與曲線x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交點，求實數a的取值范圍【分析】抓住直線y=kx+1是過定點的直線系方程，因此考慮定點與圓心的位置關系是關鍵【解析】由于直線必過定點(0,1)，所以要使直線與圓恒有交點，等價于點(0,1)在圓內或圓上，即02+12-2a0+a2-2a-40，且2a+40.因此-1a3.【點評】注意直線方程的特點，

10、必過定點(0,1)，曲線的特點是封閉曲線，因此通過點與曲線的位置關系求解比利用的討論求解要高效得多本題也可以轉化為點(0,1)到圓(x-a)2+y2=2a+4的圓心的距離小于半徑解題中容易忽視的是2a+40的要求題型三 利用分類討論解題 121421,2.1120.3nnnnnnannnnaanSSnnSnaba ppbnT在等差數列中，前 項和滿足條件，求數列的通項公式；記，求數列的前 項和【例 】2421nnnnnnnSnSSnaaa pa將 的公式直接代入，便可求得 ，【分析】再將 的表達式代入，問題得解 212122112312341231.423121.1.23111.2112312

11、1nnnnnannnnnnnnnnnnnnadSaanSnaadaaaandnba pbnpTpppnpnpnnpTppTpppnpnpp Tppppp 設等差數列的公差為由，得，所以，即所以由，得所以，當時，當，【時】，解析1nnp112121 121 1111111.1nnnnnnnnnnpTppnppnppppppppn pTpp ，即即1qq等比數列的求和公式只適合于，特別公比 中含參數時，需要分【點評】類討論題型四 數形結合 2222222201,01.11112.42ababababab 已知 例求】證【：1.ABCDABADAEaAGbEGADABCDBCFHEFGHOAOBOC

12、ODOAOGBOECOFDOG如圖，作邊長為 的正方形，分別在、上取，過 、 分別作、的平行線，交、于 、 ，、交于 點，連接、 【解 由題設條件及作圖可知，、皆為直角析】三角形22222222222222221111.211112 2OAabOBabOCabODabACBDACBDOAOCACOBODBDabababab 所以，連接對角形、，易知，所以【點評】觀察待證式左端，它的每個根式都使我們類比聯(lián)想到RtABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的想法，這里采用的是數形結合的思想方法 題型五 轉化與化歸 190(052)123ABCDABEFABCDA

13、BEFMACNBFCMBNaaMNMNMNMNAMNB如圖所示，正方形、邊長都是 ，而且平面與平面所成的二面角為，點在上移動，點在上移動若，求的長；當為何值時，的長最?。划數拈L最小時，求平面與平面所成的二面角的余弦值的大小【例】 22222/.4/.1222122211(02).22221MP ABBCPNQ ABBEQPQMP NQMPNQMNQPMNPQCMBNMNaCBABBEACBFCPBPQCPBQaQaaaa 作交于點 ，交于點 ，連接由公理 得，且，則四邊形為平行【四邊形，所以由條件，得，解析】 min2.2222122aMNMNACBFMN由可知，當時，即當、 分別移動到、的中

14、點時，的長度最最小值為小， .641cos.1.333MNGAGBGMNMNACBFAMANBMBNAGMNBGMNAGBAGBGAGB取中點 ，連接、當最小時，、 分別是、中點，則，故、，所以為所求二面角故所求的平面角又，在中，由余弦定二面角 的余弦得值為理【點評】(1)由MN平移到PQ，是等價轉化的思想，進而把空間中MN化歸到平面CBE中，再通過三角形中的相似比問題就不難解決了 (2)立體幾何中的求線段長度，兩直線所成的角，圍成的面積等問題一般化歸到函數求最值范圍里，也就是根據條件設出變量，寫出函數關系式，再通過函數關系求出最值這一過程中應特別注意變量的取值范圍，因為它是求函數在某一區(qū)間的值域問題 (3)二面角的平面角定義本身正是立體幾何問題平面化思想的體現