《高中數(shù)學競賽教材講義 第二章 二次函數(shù)與命題講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數(shù)學競賽教材講義 第二章 二次函數(shù)與命題講義（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二章 二次函數(shù)與命題一、基礎知識1二次函數(shù)：當0時，y=ax2+bx+c或f(x)=ax2+bx+c稱為關于x的二次函數(shù)，其對稱軸為直線x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同。2二次函數(shù)的性質(zhì)：當a0時，f(x)的圖象開口向上，在區(qū)間（-，x0上隨自變量x增大函數(shù)值減?。ê喎Q遞減），在x0, -）上隨自變量增大函數(shù)值增大（簡稱遞增）。當a0時，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0和不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0時，方程有兩個不等實根，設x1,x2(x1x2)，不等式和不等式的解集分別是x|xx2和x|x1xx2，二次函數(shù)f(x)圖象與x

2、軸有兩個不同的交點，f(x)還可寫成f(x)=a(x-x1)(x-x2).2）當=0時，方程有兩個相等的實根x1=x2=x0=,不等式和不等式的解集分別是x|x和空集，f(x)的圖象與x軸有唯一公共點。3）當0時，方程無解，不等式和不等式的解集分別是R和.f(x)圖象與x軸無公共點。當a0，當x=x0時，f(x)取最小值f(x0)=,若a0)，當x0m, n時，f(x)在m, n上的最小值為f(x0); 當x0n時，f(x)在m, n上的最小值為f(n)（以上結(jié)論由二次函數(shù)圖象即可得出）。定義1 能判斷真假的語句叫命題，如“35”是命題，“蘿卜好大”不是命題。不含邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非

3、”的命題叫做簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構成的命題由復合命題。注1 “p或q”復合命題只有當p，q同為假命題時為假，否則為真命題；“p且q”復合命題只有當p，q同時為真命題時為真，否則為假命題；p與“非p”即“p”恰好一真一假。定義2 原命題：若p則q（p為條件，q為結(jié)論）；逆命題：若q則p；否命題：若非p則q；逆否命題：若非q則非p。注2 原命題與其逆否命題同真假。一個命題的逆命題和否命題同真假。注3 反證法的理論依據(jù)是矛盾的排中律，而未必是證明原命題的逆否命題。定義3 如果命題“若p則q”為真，則記為pq否則記作pq.在命題“若p則q”中，如果已知pq,則p是q的充分條件；如果qp，則

4、稱p是q的必要條件；如果pq但q不p，則稱p是q的充分非必要條件；如果p不q但pq，則p稱為q的必要非充分條件；若pq且qp，則p是q的充要條件。二、方法與例題1待定系數(shù)法。例1 設方程x2-x+1=0的兩根是，求滿足f()=,f()=,f(1)=1的二次函數(shù)f(x).【解】 設f(x)=ax2+bx+c(a0),則由已知f()=,f()=相減并整理得（-）（+）a+b+1=0，因為方程x2-x+1=0中0，所以，所以(+)a+b+1=0.又+=1,所以a+b+1=0.又因為f(1)=a+b+c=1，所以c-1=1，所以c=2.又b=-(a+1)，所以f(x)=ax2-(a+1)x+2.再由f

5、()=得a2-(a+1)+2=,所以a2-a+2=+=1，所以a2-a+1=0.即a(2-+1)+1-a=0,即1-a=0，所以a=1,所以f(x)=x2-2x+2.2方程的思想。例2 已知f(x)=ax2-c滿足-4f(1)-1, -1f(2)5，求f(3)的取值范圍?！窘狻?因為-4f(1)=a-c-1,所以1-f(1)=c-a4.又-1f(2)=4a-c5, f(3)=f(2)-f(1),所以(-1)+f(3)5+4,所以-1f(3)20.3利用二次函數(shù)的性質(zhì)。例3 已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,cR, a0)，若方程f(x)=x無實根，求證：方程f(f(x)=x也無實

6、根?！咀C明】若a0，因為f(x)=x無實根，所以二次函數(shù)g(x)=f(x)-x圖象與x軸無公共點且開口向上，所以對任意的xR,f(x)-x0即f(x)x，從而f(f(x)f(x)。所以f(f(x)x，所以方程f(f(x)=x無實根。注：請讀者思考例3的逆命題是否正確。4利用二次函數(shù)表達式解題。例4 設二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程f(x)=x的兩根x1, x2滿足0x1x2,（）當x(0, x1)時，求證：xf(x)x1；（）設函數(shù)f(x)的圖象關于x=x0對稱，求證：x0【證明】 因為x1, x2是方程f(x)-x=0的兩根，所以f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)，即

7、f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x.（）當x(0, x1)時，x-x10, x-x20，所以f(x)x.其次f(x)-x1=(x-x1)a(x-x2)+1=a(x-x1)x-x2+0，所以f(x)x1.綜上，xf(x)1，求證：方程的正根比1小，負根比-1大?！咀C明】 方程化為2a2x2+2ax+1-a2=0.構造f(x)=2a2x2+2ax+1-a2,f(1)=(a+1)20, f(-1)=(a-1)20, f(0)=1-a20，所以f(x)在區(qū)間（-1,0）和（0，1）上各有一根。即方程的正根比1小，負根比-1大。6定義在區(qū)間上的二次函數(shù)的最值。例6 當x取何值時，函數(shù)y=取最小值？

8、求出這個最小值?！窘狻?y=1-,令u,則0u1。y=5u2-u+1=5,且當即x=3時，ymin=.例7 設變量x滿足x2+bx-x(b-1)，并且x2+bx的最小值是，求b的值。【解】 由x2+bx-x(b-(b+1)，即b-2時，x2+bx在0，-(b+1)上是減函數(shù)，所以x2+bx的最小值為b+1,b+1=-,b=-.綜上，b=-.7.一元二次不等式問題的解法。例8 已知不等式組 的整數(shù)解恰好有兩個，求a的取值范圍?！窘狻?因為方程x2-x+a-a2=0的兩根為x1=a, x2=1-a,若a0，則x1x2.的解集為ax1-2a.因為1-2a1-a，所以a0,所以不等式組無解。若a0，）

9、當0a時，x1x2,的解集為ax1-a.因為0ax1-a時，a1-a，由得x1-2a，所以不等式組的解集為1-ax1且a-(1-a)3，所以1a2，并且當1a2時，不等式組恰有兩個整數(shù)解0，1。綜上，a的取值范圍是10，=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)20恒成立，所以(B-A-C)2-4AC0，即A2+B2+C22(AB+BC+CA)同理有B0，C0，所以必要性成立。再證充分性，若A0，B0，C0且A2+B2+C22(AB+BC+CA)，1）若A=0，則由B2+C22BC得(B-C)20，所以B=C，所以=0，所以成立，成立。2）若A0，則由知0，所以成立，所以成立。綜上，充分

10、性得證。9常用結(jié)論。定理1 若a, bR, |a|-|b|a+b|a|+|b|.【證明】 因為-|a|a|a|,-|b|b|b|，所以-(|a|+|b|)a+b|a|+|b|,所以|a+b|a|+|b|（注：若m0，則-mxm等價于|x|m）.又|a|=|a+b-b|a+b|+|-b|,即|a|-|b|a+b|.綜上定理1得證。定理2 若a,bR, 則a2+b22ab；若x,yR+,則x+y(證略)注 定理2可以推廣到n個正數(shù)的情況，在不等式證明一章中詳細論證。三、基礎訓練題1下列四個命題中屬于真命題的是_，“若x+y=0，則x、y互為相反數(shù)”的逆命題；“兩個全等三角形的面積相等”的否命題；“

11、若q1，則x2+x+q=0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆否命題。2由上列各組命題構成“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復合命題中，p或q為真，p且q為假，非p為真的是_.p；3是偶數(shù)，q：4是奇數(shù)；p:3+2=6,q:p:a(a,b),q:aa,b; p: QR, q: N=Z.3. 當|x-2|a時，不等式|x2-4|0的解是1x2，則a, b的值是_.5. x1且x2是x-1的_條件，而-2m0且0n1是關于x的方程x2+mx+n=0有兩個小于1的正根的_條件.6.命題“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”的逆命題是_.7.若S=x|mx2+5x+2=0的子集至

12、多有2個，則m的取值范圍是_.8. R為全集，A=x|3-x4, B=, 則(CRA)B=_.9. 設a, b是整數(shù)，集合A=(x,y)|(x-a)2+3b6y，點（2，1）A，但點（1，0）A，（3，2）A則a,b的值是_.10設集合A=x|x|0，則集合x|xA且xAB=_.11. 求使不等式ax2+4x-1-2x2-a對任意實數(shù)x恒成立的a的取值范圍。12對任意x0,1,有 成立，求k的取值范圍。四、高考水平訓練題1若不等式|x-a|0當|a|1時恒成立的x的取值范圍是_.3若不等式-x2+kx-410, B=x|x-5|0和a2x2+b2x+c20解集分別為M和N，那么“”是“M=N”

13、的_條件。6若下列三個方程x2+4ax-4a+3=0, x2+(a-1)x+a2=0, x2+2ax-2a=0中至少有一個方程有實根，則實數(shù)a的取值范圍是_.7已知p, q都是r的必要條件，s是r的充分條件，q是s的充分條件，則r是q的_條件。8已知p: |1-|2, q: x2-2x+1-m20(m0)，若非p是非q的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍是_.9已知a0，f(x)=ax2+bx+c，對任意xR有f(x+2)=f(2-x)，若f(1-2x2)0且|x|1時，g(x)最大值為2，求f(x).11.設實數(shù)a,b,c,m滿足條件：=0，且a0,m0，求證：方程ax2+bx+c=0有一根

14、x0滿足0x01.五、聯(lián)賽一試水平訓練題1不等式|x|3-2x2-4|x|+30，當函數(shù)的最小值取最大值時，a+b2+c3=_.4. 已知f(x)=|1-2x|, x0,1，方程f(f(f)(x)=x有_個實根。5若關于x的方程4x2-4x+m=0在-1，1上至少有一個實根，則m取值范圍是_.6若f(x)=x4+px3+qx2+x對一切xR都有f(x)x且f(1)=1，則p+q2=_.7. 對一切xR，f(x)=ax2+bx+c(a、=、）9若abc100，試問滿足|f(x)|50的整數(shù)x最多有幾個？2設函數(shù)f(x)=ax2+8x+3(a1)，使得存在tR，只要x1, m就有f(x+t)x.7.求證：方程3ax2+2bx-(a+b)=0(b0)在(0,1)內(nèi)至少有一個實根。8設a,b,A,BR+, aA, bB，若n個正數(shù)a1, a2,an位于a與A之間，n個正數(shù)b1, b2,bn位于b與B之間，求證：9設a,b,c為實數(shù)，g(x)=ax2+bx+c, |x|1，求使下列條件同時滿足的a, b, c的值：（）=381;（）g(x)max=444;（）g(x)min=364.高考資源網(wǎng)()來源：高考資源網(wǎng)版權所有：高考資源網(wǎng)(www.k s 5 )