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1、中難提分突破特訓(一)1在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足.(1)求角A的大?。?2)若D為BC邊上一點,且CD2DB,b3,AD,求a.解(1)由已知,得(2cb)cosAacosB,由正弦定理,得(2sinCsinB)cosAsinAcosB,整理,得2sinCcosAsinBcosAsinAcosB,即2sinCcosAsin(AB)sinC.又sinC0,所以cosA,因為A(0,),所以A.(2)如圖,過點D作DEAC交AB于點E,又CD2DB,BAC,所以EDAC1,DEA.由余弦定理可知,AD2AE2ED22AEEDcos,解得AE4,則AB6.又AC3,BA
2、C,所以在ABC中,由余弦定理,得aBC3.2已知長方形ABCD中,AB1,AD.現將長方形沿對角線BD折起,使ACa,得到一個四面體ABCD,如圖所示(1)試問:在折疊的過程中,異面直線AB與CD,AD與BC能否垂直?若能垂直,求出相應的a值;若不垂直,請說明理由;(2)當四面體ABCD的體積最大時,求二面角ACDB的余弦值解(1)若ABCD,由ABAD,ADCDD,得AB平面ACD,所以ABAC.所以AB2a2BC2,即12a2()2,所以a1.若ADBC,由ADAB,ABBCB,得AD平面ABC,所以ADAC,所以AD2a2CD2,即()2a212,所以a21,無解,故ADBC不成立(2
3、)要使四面體ABCD的體積最大,因為BCD的面積為定值,所以只需三棱錐ABCD的高最大即可,此時平面ABD平面BCD,過點A作AOBD于點O,則AO平面BCD, 以O為坐標原點建立空間直角坐標系Oxyz(如圖),則易知A,C,D,顯然,平面BCD的一個法向量為.設平面ACD的法向量為n(x,y,z)因為,所以令y,得n(1,2)觀察可知二面角ACDB為銳二面角,故二面角ACDB的余弦值為|cos,n|.3已知動點P與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離的比為.(1)求動點P的軌跡C的方程;(2)過點B(2,1)的直線l與曲線C交于M,N兩點,求線段MN長度的最小值;(3)已知圓Q的圓心為Q
4、(t,t)(t0),且圓Q與x軸相切,若圓Q與曲線C有公共點,求實數t的取值范圍解(1)由題意,設P(x,y),則|AP|2|OP|,即|AP|24|OP|2,所以(x3)2y24(x2y2),整理得(x1)2y24.所以動點P的軌跡C的方程為(x1)2y24.(2)由(1)知軌跡C是以C(1,0)為圓心,以2為半徑的圓又因為(21)2120),且圓Q與x軸相切,所以圓Q的半徑為t,所以圓Q的方程為(xt)2(yt)2t2.因為圓Q與圓C有公共點,又圓Q與圓C的兩圓心距離為|CQ|,所以|2t|CQ|2t,即(2t)22t22t1(2t)2,解得32t3.所以實數t的取值范圍是32,34.在平
5、面直角坐標系xOy中,曲線C1的參數方程為(為參數),直線C2的普通方程為yx.以坐標原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系(1)求曲線C1和直線C2的極坐標方程;(2)若直線C2與曲線C1交于A,B兩點,求.解(1)由曲線C1的參數方程為(為參數),得曲線C1的普通方程為(x3)2(y3)24,所以曲線C1的極坐標方程為(cos3)2(sin3)24,即26cos6sin140.因為直線C2過原點,且傾斜角為,所以直線C2的極坐標方程為(R)(2)設點A,B對應的極徑分別為1,2,由得2(33)140,所以1233,1214,又10,20,所以.5設f(x)|x|2|xa|(a0)(1)當a1時,解不等式f(x)4;(2)若f(x)4,求實數a的取值范圍解(1)當a1時,f(x)|x|2|x1|,當x0時,由23x4,得x1時,由3x24,得1x2.綜上,不等式f(x)4的解集為.(2)f(x)|x|2|xa|可見,f(x)在(,a上單調遞減,在(a,)上單調遞增當xa時,f(x)取得最小值a.所以,a的取值范圍為4,)