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1、第十六章 平面幾何一、常用定理（僅給出定理，證明請讀者完成）梅涅勞斯定理 設分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三點共線，則梅涅勞斯定理的逆定理 條件同上，若則三點共線。塞瓦定理 設分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若三線平行或共點，則塞瓦定理的逆定理 設分別是ABC的三邊BC，CA，AB或其延長線上的點，若則三線共點或互相平行。角元形式的塞瓦定理 分別是ABC的三邊BC，CA，AB所在直線上的點，則平行或共點的充要條件是廣義托勒密定理 設ABCD為任意凸四邊形，則ABCD+BCADACBD，當且僅當A，B，C，D四點共圓時取等號。斯特瓦特定理 設P為ABC

2、的邊BC上任意一點，P不同于B，C，則有AP2=AB2+AC2-BPPC.西姆松定理 過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。西姆松定理的逆定理 若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在三角形的外接圓上。九點圓定理 三角形三條高的垂足、三邊的中點以及垂心與頂點的三條連線段的中點，這九點共圓。蒙日定理 三條根軸交于一點或互相平行。（到兩圓的冪（即切線長）相等的點構成集合為一條直線，這條直線稱根軸）歐拉定理 ABC的外心O，垂心H，重心G三點共線，且二、方法與例題1同一法。即不直接去證明，而是作出滿足條件的圖形或點，然后證明它與已知圖形或點重合。例1 在ABC中

3、，ABC=700，ACB=300，P，Q為ABC內部兩點，QBC=QCB=100，PBQ=PCB=200，求證：A，P，Q三點共線。證明 設直線CP交AQ于P1，直線BP交AQ于P2，因為ACP=PCQ=100，所以，在ABP，BPQ，ABC中由正弦定理有，由，得。又因為P1，P2同在線段AQ上，所以P1，P2重合，又BP與CP僅有一個交點，所以P1，P2即為P，所以A，P，Q共線。2面積法。例2 見圖16-1，ABCD中，E，F分別是CD，BC上的點，且BE=DF，BE交DF于P，求證：AP為BPD的平分線。證明 設A點到BE，DF距離分別為h1,h2，則又因為SABCD=SADF，又BE=

4、DF。所以h1=h2，所以PA為BPD的平分線。3幾何變換。例3 （蝴蝶定理）見圖16-2，AB是O的一條弦，M為AB中點，CD，EF為過M的任意弦，CF，DE分別交AB于P，Q。求證：PM=MQ。證明 由題設OMAB。不妨設。作D關于直線OM的對稱點。連結，則要證PM=MQ，只需證，又MDQ=PFM，所以只需證F，P，M，共圓。因為=1800-=1800-=1800-。（因為OM。AB/）所以F，P，M，四點共圓。所以MDQ。所以MP=MQ。例4 平面上每一點都以紅、藍兩色之一染色，證明：存在這樣的兩個相似三角形，它們的相似比為1995，而且每個三角形三個頂點同色。證明 在平面上作兩個同心圓

5、，半徑分別為1和1995，因為小圓上每一點都染以紅、藍兩色之一，所以小圓上必有五個點同色，設此五點為A，B，C，D，E，過這兩點作半徑并將半徑延長分別交大圓于A1，B1，C1，D1，E1，由抽屜原理知這五點中必有三點同色，不妨設為A1，B1，C1，則ABC與A1B1C1都是頂點同色的三角形，且相似比為1995。4三角法。例5 設AD，BE與CF為ABC的內角平分線，D，E，F在ABC的邊上，如果EDF=900，求BAC的所有可能的值。解 見圖16-3，記ADE=，EDC=，由題設FDA=-，BDF=-，由正弦定理：，得，又由角平分線定理有，又，所以，化簡得，同理，即所以，所以sincos-co

6、ssin=sin(-)=0.又-3PG.證明 因為，又G為ABC重心，所以（事實上設AG交BC于E，則，所以）所以，所以又因為不全共線，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC3PG。6解析法。例7 H是ABC的垂心，P是任意一點，HLPA，交PA于L，交BC于X，HMPB，交PB于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求證：X，Y，Z三點共線。解 以H為原點，取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x軸和y軸，建立直角坐標系，用(xk,yk)表示點k對應的坐標，則直線PA的斜率為，直線HL斜率為，直線HL的方程為x(xP-xA)+y(yP-yA)=0.又直線HA的斜率為，所以直線BC的

7、斜率為，直線BC的方程為xxA+yyA=xAxB+yAyB,又點C在直線BC上，所以xCxA+yCyA=xAxB+yAyB.同理可得xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC.又因為X是BC與HL的交點，所以點X坐標滿足式和式，所以點X坐標滿足xxP+yyP=xAxB+yAyB.同理點Y坐標滿足xxP+yyP=xBxC+yByC.點Z坐標滿足xxP+yyP=xCxA+yCyA.由知，表示同一直線方程，故X，Y，Z三點共線。7四點共圓。例8 見圖16-5，直線l與O相離，P為l上任意一點，PA，PB為圓的兩條切線，A，B為切點，求證：直線AB過定點。證明 過O作OCl于C，連結O

8、A，OB，BC，OP，設OP交AB于M，則OPAB，又因為OAPA，OBPB，OCPC。所以A，B，C都在以OP為直徑的圓上，即O，A，P，C，B五點共圓。AB與OC是此圓兩條相交弦，設交點為Q，又因為OPAB，OCCP，所以P，M，Q，C四點共圓，所以OMOP=OQOC。由射影定理OA2=OMOP，所以OA2=OQOC，所以OQ=（定值）。所以Q為定點，即直線AB過定點。三、習題精選1O1和O2分別是ABC的邊AB，AC上的旁切圓，O1與CB，CA的延長線切于E，G，O2與BC，BA的延長線切于F，H，直線EG與FH交于點P，求證：PABC。2設O的外切四邊形ABCD的對角線AC，BD的中點

9、分別為E，F，求證：E，O，F三點共線。3已知兩小圓O1與O2相外切且都與大圓O相內切，AB是O1與O2的一條外公切線，A，B在O上，CD是O1與O2的內公切線，O1與O2相切于點P，且P，C在直線AB的同一側，求證：P是ABC的內心。4ABC內有兩點M，N，使得MAB=NAC且MBA=NBC，求證：5ABC中，O為外心，三條高AD，BE，CF相交于點H，直線ED和AB相交于點M，直線FD和AC相交于點N，求證：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。6設點I，H分別是銳角ABC的內心和垂心，點B1，C1分別是邊AC，AB的中點，已知射線B1I交邊AB于點B2(B2B)，射線C1I交AC的延

10、長線于點C2，B2C2與BC相交于點K，A1為BHC的外心。試證：A，I，A1三點共線的充要條件是BKB2和CKC2的面積相等。7已知點A1，B1，C1，點A2，B2，C2，分別在直線l1,l2上 ，B2C1交B1C2于點M，C1A2交A1C2于點N，B1A2交B2A1于L。求證：M，N，L三點共線。8ABC中，C=900，A=300，BC=1，求ABC的內接三角形（三個頂點分別在三條邊上的三角形）的最長邊的最小值。9ABC的垂心為H，外心為O，外接圓半徑為R，頂點A，B，C關于對邊BC，CA，AB的對稱點分別為，求證：三點共線的充要條件是OH=2R。高考資源網()來源：高考資源網版權所有：高考資源網(www.k s 5 )