《高中數學競賽教材講義 第六章 三角函數講義》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學競賽教材講義 第六章 三角函數講義（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第六章 三角函數一、基礎知識定義1 角，一條射線繞著它的端點旋轉得到的圖形叫做角。若旋轉方向為逆時針方向，則角為正角，若旋轉方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉則為零角。角的大小是任意的。定義2 角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數的絕對值|=,其中r是圓的半徑。定義3 三角函數，在直角坐標平面內，把角的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P，設它的坐標為（x,y），到原點的距離為r,則正弦函數sin=,余弦函數cos=,正切函數tan=，余切函數c

2、ot=，正割函數sec=,余割函數csc=定理1 同角三角函數的基本關系式，倒數關系：tan=,sin=，cos=；商數關系：tan=；乘積關系：tancos=sin,cotsin=cos；平方關系：sin2+cos2=1, tan2+1=sec2, cot2+1=csc2.定理2 誘導公式（）sin(+)=-sin, cos(+)=-cos, tan(+)=tan, cot(+)=cot;（）sin(-)=-sin, cos(-)=cos, tan(-)=-tan, cot(-)=cot; （）sin(-)=sin, cos(-)=-cos, tan=(-)=-tan, cot(-)=-co

3、t; （）sin=cos, cos=sin, tan=cot（奇變偶不變，符號看象限）。定理3 正弦函數的性質，根據圖象可得y=sinx（xR）的性質如下。單調區(qū)間：在區(qū)間上為增函數，在區(qū)間上為減函數，最小正周期為2. 奇偶數. 有界性：當且僅當x=2kx+時，y取最大值1，當且僅當x=3k-時, y取最小值-1。對稱性：直線x=k+均為其對稱軸，點（k, 0）均為其對稱中心，值域為-1，1。這里kZ.定理4 余弦函數的性質，根據圖象可得y=cosx(xR)的性質。單調區(qū)間：在區(qū)間2k, 2k+上單調遞減，在區(qū)間2k-, 2k上單調遞增。最小正周期為2。奇偶性：偶函數。對稱性：直線x=k均為其

4、對稱軸，點均為其對稱中心。有界性：當且僅當x=2k時，y取最大值1；當且僅當x=2k-時，y取最小值-1。值域為-1，1。這里kZ.定理5 正切函數的性質：由圖象知奇函數y=tanx(xk+)在開區(qū)間(k-, k+)上為增函數, 最小正周期為，值域為（-，+），點（k，0），（k+，0）均為其對稱中心。定理6 兩角和與差的基本關系式：cos()=coscossinsin,sin()=sincoscossin; tan()=定理7 和差化積與積化和差公式:sin+sin=2sincos,sin-sin=2sincos,cos+cos=2coscos, cos-cos=-2sinsin,sinco

5、s=sin(+)+sin(-),cossin=sin(+)-sin(-),coscos=cos(+)+cos(-),sinsin=-cos(+)-cos(-).定理8 倍角公式:sin2=2sincos, cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2, tan2=定理9 半角公式:sin=,cos=,tan=定理10 萬能公式: , ,定理11 輔助角公式：如果a, b是實數且a2+b20，則取始邊在x軸正半軸，終邊經過點(a, b)的一個角為，則sin=,cos=，對任意的角.asin+bcos=sin(+).定理12 正弦定理：在任意ABC中有，其中a, b, c分別是角A

6、，B，C的對邊，R為ABC外接圓半徑。定理13 余弦定理：在任意ABC中有a2=b2+c2-2bcosA，其中a,b,c分別是角A，B，C的對邊。定理14 圖象之間的關系：y=sinx的圖象經上下平移得y=sinx+k的圖象；經左右平移得y=sin(x+)的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼模玫統(tǒng)=sin()的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(0)的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin(x+)(, 0)(|A|叫作振幅)的圖象向右平移個單

7、位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義4 函數y=sinx的反函數叫反正弦函數，記作y=arcsinx(x-1, 1)，函數y=cosx(x0, ) 的反函數叫反余弦函數，記作y=arccosx(x-1, 1). 函數y=tanx的反函數叫反正切函數。記作y=arctanx(x-, +). y=cosx(x0, )的反函數稱為反余切函數，記作y=arccotx(x-, +).定理15 三角方程的解集，如果a(-1,1)，方程sinx=a的解集是x|x=n+(-1)narcsina, nZ。方程cosx=a的解集是x|x=2kxarccosa, kZ. 如果aR，方程tanx=a的解集是x|x=k+a

8、rctana, kZ。恒等式：arcsina+arccosa=；arctana+arccota=.定理16 若，則sinxx-1，所以cos，所以sin(cosx) 0,又00，所以cos(sinx)sin(cosx).若，則因為sinx+cosx=(sinxcos+sincosx)=sin(x+)，所以0sinx-cosxcos(-cosx)=sin(cosx).綜上，當x(0,)時，總有cos(sinx)0，求證：【證明】 若+，則x0，由-0得coscos(-)=sin,所以0sin(-)=cos, 所以01，所以若+，則x0，由0-cos(-)=sin0,所以1。又0sin1，所以，得

9、證。注：以上兩例用到了三角函數的單調性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。3最小正周期的確定。例4 求函數y=sin(2cos|x|)的最小正周期?！窘狻?首先，T=2是函數的周期（事實上，因為cos(-x)=cosx，所以co|x|=cosx）；其次，當且僅當x=k+時，y=0（因為|2cosx|2）,所以若最小正周期為T0，則T0=m, mN+，又sin(2cos0)=sin2sin(2cos)，所以T0=2。4三角最值問題。例5 已知函數y=sinx+，求函數的最大值與最小值。【解法一】 令sinx=,則有y=因為，所以，所以1，所以當，即x=2k-(kZ)時，ymin=0，當，

10、即x=2k+(kZ)時，ymax=2.【解法二】 因為y=sinx+,=2（因為(a+b)22(a2+b2)），且|sinx|1，所以0sinx+2，所以當=sinx，即x=2k+(kZ)時, ymax=2，當=-sinx，即x=2k-(kZ)時, ymin=0。例6 設0，求sin的最大值?！窘狻恳驗?0, cos0.所以sin（1+cos）=2sincos2= =當且僅當2sin2=cos2, 即tan=, =2arctan時，sin(1+cos)取得最大值。例7 若A，B，C為ABC三個內角，試求sinA+sinB+sinC的最大值?！窘狻?因為sinA+sinB=2sincos, si

11、nC+sin, 又因為，由，得sinA+sinB+sinC+sin4sin,所以sinA+sinB+sinC3sin=,當A=B=C=時，（sinA+sinB+sinC）max=.注：三角函數的有界性、|sinx|1、|cosx|1、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函數的單調性等是解三角最值的常用手段。5換元法的使用。例8 求的值域。【解】 設t=sinx+cosx=因為所以又因為t2=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以，所以因為t-1，所以，所以y-1.所以函數值域為例9 已知a0=1, an=(nN+)，求證：an.【證明】 由題設an0，令an=tana

12、n, an，則an=因為，an，所以an=，所以an=又因為a0=tana1=1，所以a0=，所以。又因為當0xx，所以注：換元法的關鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。另外當x時，有tanxxsinx，這是個熟知的結論，暫時不證明，學完導數后，證明是很容易的。6圖象變換：y=sinx(xR)與y=Asin(x+)(A, , 0).由y=sinx的圖象向左平移個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象；也可以由y=sinx的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼?，最后向左平?/p>

13、個單位，得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象。例10 例10 已知f(x)=sin(x+)(0, 0)是R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區(qū)間上是單調函數，求和的值?！窘狻?由f(x)是偶函數，所以f(-x)=f(x)，所以sin(+)=sin(-x+)，所以cossinx=0，對任意xR成立。又0，解得=，因為f(x)圖象關于對稱，所以=0。取x=0，得=0，所以sin所以(kZ)，即=(2k+1) (kZ).又0，取k=0時，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數；取k=1時，=2，此時f(x)=sin(2x+)在0，上是減函數；取k=2時，此時f(x)=sin(x+)在0，上不是單調

14、函數，綜上，=或2。7三角公式的應用。例11 已知sin(-)=，sin(+)=- ，且-，+，求sin2,cos2的值?！窘狻?因為-，所以cos(-)=-又因為+，所以cos(+)=所以sin2=sin(+)+(-)=sin(+)cos(-)+cos(+)sin(-)=,cos2=cos(+)-(-)=cos(+)cos(-)+sin(+)sin(-)=-1.例12 已知ABC的三個內角A，B，C成等差數列，且，試求的值?！窘狻?因為A=1200-C，所以cos=cos(600-C)，又由于=，所以=0。解得或。又0，所以。例13 求證：tan20+4cos70.【解】 tan20+4co

15、s70=+4sin20三、基礎訓練題1已知銳角x的終邊上一點A的坐標為(2sin3, -2cos3)，則x的弧度數為_。2適合-2cscx的角的集合為_。3給出下列命題：（1）若，則sinsin；（2）若sinsin,則；（3）若sin0，則為第一或第二象限角；（4）若為第一或第二象限角，則sin0. 上述四個命題中，正確的命題有_個。4已知sinx+cosx=(x(0, )，則cotx=_。5簡諧振動x1=Asin和x2=Bsin疊加后得到的合振動是x=_。6已知3sinx-4cosx=5sin(x+1)=5sin(x-2)=5cos(x+3)=5cos(x-4)，則1，2，3，4分別是第_

16、象限角。7滿足sin(sinx+x)=cos(cosx-x)的銳角x共有_個。8已知，則=_。9=_。10cot15cos25cot35cot85=_。11已知,(0, ), tan, sin(+)=，求cos的值。12已知函數f(x)=在區(qū)間上單調遞減，試求實數m的取值范圍。四、高考水平訓練題1已知一扇形中心角是a,所在圓半徑為R，若其周長為定值c(c0)，當扇形面積最大時，a=_.2. 函數f(x)=2sinx(sinx+cosx)的單調遞減區(qū)間是_.3. 函數的值域為_.4. 方程=0的實根個數為_.5. 若sina+cosa=tana, a，則_a（填大小關系）.6. (1+tan1)

17、(1+tan2)(1+tan44)(1+tan45)=_.7. 若0yx0, k=-1，求f(x)的單調區(qū)間；（3）試求最小正整數k，使得當x在任意兩個整數（包括整數本身）間變化時，函數f(x)至少取得一次最大值和一次最小值。五、聯(lián)賽一試水平訓練題（一）1若x, yR，則z=cosx2+cosy2-cosxy的取值范圍是_.2已知圓x2+y2=k2至少蓋住函數f(x)=的一個最大值點與一個最小值點，則實數k的取值范圍是_.3f()=5+8cos+4cos2+cos3的最小值為_.4方程sinx+cosx+a=0在（0，2）內有相異兩實根，則+=_.5函數f(x)=|tanx|+|cotx|的單

18、調遞增區(qū)間是_.6設sina0cosa, 且sincos，則的取值范圍是_.7方程tan5x+tan3x=0在0，中有_個解.8若x, yR, 則M=cosx+cosy+2cos(x+y)的最小值為_.9若00)在一個最小正周期長的區(qū)間上的圖象與函數g(x)=的圖象所圍成的封閉圖形的面積是_.2若，則y=tan-tan+cos的最大值是_.3在ABC中，記BC=a, CA=b, AB=c, 若9a2+9b2-19c2=0，則=_.4設f(x)=x2-x, =arcsin, =arctan, =arccos, =arccot, 將f(), f(), f(), f()從小到大排列為_.5logsi

19、n1cos1=a, logsin1tan1=b, logcos1sin1=c, logcos1tan1=d。將a, b, c, d從小到大排列為_.6在銳角ABC中，cosA=cossin, cosB=cossin, cosC=cossin，則tantantan=_.7已知矩形的兩邊長分別為tan和1+cos(00恒成立，則的取值范圍是_.10已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，則cos2x+ cos2y+ cos2z=_.11已知a1, a2, ,an是n個實常數，考慮關于x的函數：f(x)=cos(a1+x)+cos(a2+x) +cos(an+x)。求證：

20、若實數x1, x2滿足f(x1)=f(x2)=0，則存在整數m，使得x2-x1=m.12在ABC中，已知，求證：此三角形中有一個內角為。13求證：對任意自然數n, 均有|sin1|+|sin2|+|sin(3n-1)|+|sin3n|.六、聯(lián)賽二試水平訓練題1已知x0, y0, 且x+y0（wR）.2. 已知a為銳角，n2, nN+，求證：2n-2+1.3. 設x1, x2, xn, y1, y2, yn,滿足x1=y1=, xn+1=xn+, yn+1=，求證：2xnyn3(n2).4已知，為銳角，且cos2+cos2+cos2=1，求證；+m，求證：對一切x都有2|sinnx-cosnx|3|sinnx-cosnx|.7在ABC中，求sinA+sinB+sinC-cosA-cosB-cosC的最大值。8求的有的實數a, 使cosa, cos2a, cos4a, , cos2na, 中的每一項均為負數。9已知i，tan1tan2tann=2, nN+, 若對任意一組滿足上述條件的1，2，n都有cos1+cos2+cosn，求的最小值。高考資源網()來源：高考資源網版權所有：高考資源網(www.k s 5 )