《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機變量的數(shù)字特征 2.3.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望課件 新人教B版選修23》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 概率 2.3 隨機變量的數(shù)字特征 2.3.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望課件 新人教B版選修23（28頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 2.3 3.1 1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1.理解取有限值的離散型隨機變量的均值或數(shù)學(xué)期望的概念.2.會求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望.3.會利用數(shù)學(xué)期望分析和解決一些實際問題.121.期望一般地,設(shè)一個離散型隨機變量X所有可能取的值是x1,x2,xn,這些值對應(yīng)的概率是p1,p2,pn,則E(X)=x1p1+x2p2+xnpn叫做這個離散型隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望(簡稱期望).離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望刻畫了這個離散型隨機變量的平均取值水平.12名師點撥名師點撥 離散型隨機變量的分布列從概率的角度指出了離散型隨機變量的分布規(guī)律,但不能明顯反映離散型隨機變量取值的平均水平.而數(shù)學(xué)期望是離散型隨

2、機變量的一個特征數(shù),它反映了離散型隨機變量取值的平均水平,不過這個平均數(shù)不是通過一次或幾次試驗就可以得到的,而是在大量的重復(fù)試驗中表現(xiàn)出來的一個相對比較穩(wěn)定的值,即數(shù)學(xué)期望表示離散型隨機變量在隨機試驗中取值的平均值,它是概率意義下的平均值,不同于相應(yīng)數(shù)值的算術(shù)平均數(shù).歸納總結(jié)歸納總結(jié)求離散型隨機變量X的期望E(X)的步驟:(1)理解隨機變量X的意義,寫出X可能取的全部值;(2)求X取每個值的概率;(3)寫出X的分布列;(4)由公式求期望E(X).12【做一做1-1】 已知隨機變量X的分布列為則其數(shù)學(xué)期望E(X)等于()解析:由數(shù)學(xué)期望的定義,有E(X)=10.5+30.3+50.2=2.4.答

3、案:D12【做一做1-2】 一個籃球運動員投籃1次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為c,且a,b,c(0,1),若他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為1(不分其他得分情況),則ab的最大值為()答案:B 122.常見的數(shù)學(xué)期望(1)若離散型隨機變量X服從參數(shù)為p的二點分布,則E(X)=p.(2)若離散型隨機變量X服從參數(shù)為n和p的二項分布,則E(X)=np.(3)若離散型隨機變量X服從參數(shù)為N,M,n的超幾何分布,則【做一做2】 同時擲兩枚均勻的硬幣100次,設(shè)兩枚硬幣都出現(xiàn)正面的次數(shù)為,則E()=.解析:擲兩枚均勻的硬幣,兩枚硬幣正面都向上的概率為 ,根據(jù)二項分布的期望公式得E()=1

4、00 =25.答案:251.離散型隨機變量的期望有哪些性質(zhì)?剖析若X,Y是兩個隨機變量,且Y=aX+b,則有E(Y)=aE(X)+b,即隨機變量X的線性函數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于這個隨機變量期望E(X)的同一線性函數(shù).特別地:(1)當a=0時,E(b)=b,即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個常數(shù)本身.(2)當a=1時,E(X+b)=E(X)+b,即隨機變量X與常數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望等于X的期望與這個常數(shù)的和.(3)當b=0時,E(aX)=aE(X),即常數(shù)與隨機變量乘積的數(shù)學(xué)期望等于這個常數(shù)與隨機變量期望的乘積.2.如何證明二項分布的期望公式E(X)=np?剖析若隨機變量XB(n,p),則E(X)=np.證明如下:

5、由于XB(n,p),p+q=1,根據(jù)數(shù)學(xué)期望的定義,得題型一題型二題型三題型四【例1】 某同學(xué)參加3門課程的考試.假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為 ,第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p,q(pq),且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨立.記為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù),其分布列為(1)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率;(2)求p,q的值;(3)求數(shù)學(xué)期望E().分析充分應(yīng)用互斥事件、相互獨立事件、對立事件的概率公式求解.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四 反思反思 求期望的關(guān)鍵是準確地找出隨機變量的所有取值及求得相應(yīng)事件的概率.題型一題型二題型三題型四【例2】 某

6、運動員投籃命中率為p=0.6.(1)求一次投籃時命中次數(shù)X的期望;(2)求重復(fù)5次投籃時,命中次數(shù)Y的期望.分析(1)投籃一次有兩個結(jié)果,命中與不中,因此命中次數(shù)X服從二點分布;(2)重復(fù)5次投籃可認為是5次獨立重復(fù)試驗,命中次數(shù)Y服從二項分布.題型一題型二題型三題型四解:(1)投籃一次,命中次數(shù)X的分布列為則E(X)=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項分布,即YB(5,0.6),則E(Y)=np=50.6=3.反思反思 對于二點分布、二項分布的期望,可直接利用公式求解.題型一題型二題型三題型四【例3】 從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機變量X表示所選3人

7、中女生的人數(shù).(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望;(3)求“所選3人中女生人數(shù)X1”的概率.分析利用條件確定隨機變量X的取值,從而確定分布列,達到解題目的.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四 反思反思 超幾何分布的期望可應(yīng)用公式,也可以由期望的定義式求解.題型一題型二題型三題型四【例4】 某人進行一項試驗,若試驗成功,則停止試驗,若試驗失敗,再重新試驗一次,若試驗3次均失敗,則放棄試驗,已知此人每次試驗成功的概率為 ,求此人試驗次數(shù)的期望.題型一題型二題型三題型四錯因分析上述解答錯誤的主要原因是沒有明確隨機變量取值的意義,=1表示第一次試驗就成功了,=2表示第一次失敗,第二

8、次成功.因為試驗最多進行3次,所以=3表示前兩次失敗,第三次可能成功也可能失敗,所以題型一題型二題型三題型四12345答案:C 123452.若的分布列為其中p(0,1),則()A.E()=0B.E()=1C.E()=1-pD.E()=1-q解析:由二點分布的定義知p+q=1,所以E()=q=1-p.答案:C123453.甲、乙兩臺自動車床生產(chǎn)同種標準的零件,X表示甲車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),Y表示乙車床生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品中的次品數(shù),經(jīng)過一段時間的考察,X,Y的分布列分別是:據(jù)此判定()A.甲比乙質(zhì)量好B.乙比甲質(zhì)量好C.甲與乙質(zhì)量一樣D.無法判定12345解析:E(X)=00.7+10.1+20.1+30.1=0.6,E(Y)=00.5+10.3+20.2+30=0.7.顯然E(X)E(Y),由數(shù)學(xué)期望的意義知,甲的質(zhì)量比乙的質(zhì)量好.答案:A123451234512345