2018年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)卷 圖形的相似(含解析)
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1、 圖形的相似 一、選擇題 1.已知 ,下列變形錯(cuò)誤的是(?? ) A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.? 【答案】B 【解析】 由 得,3a=2b, A. 由 得 ,所以變形正確,故不符合題意; B. 由 得3a=2b,所以變形錯(cuò)誤,故符合題意; C. 由 可得 ,所以變形正確,故不符合題意; D.3a=2b變形正確,故不符合題意. 故答案為:B. 【分析】根據(jù)已知比例式可
2、得出3a=2b,再根據(jù)比例的基本性質(zhì)對各選項(xiàng)逐一判斷即可。 2.如圖,已知直線a∥b∥c,直線m分別交直線a、b、c于點(diǎn)A,B,C,直線n分別交直線a、b、c于點(diǎn)D,E,F,若 , ,則 的值應(yīng)該( ???) A.?等于 ??????????????????????????????B.?大于 ??????????????????????????????C.?小于 ??????????????????????????????D.?不能確定 【答案】B 【解析】 :如圖,過點(diǎn)A作AN∥DF,交BE于點(diǎn)M,交CF于點(diǎn)N ∵a∥b∥c ∴AD=ME=NF=4(平行線中的平行線段
3、相等) ∵AC=AB+BC=2+4=6 ∴ 設(shè)MB=x,CN=3x ∴BE=x+4,CF=3x+4 ∵ ∵x>0 ∴ 故答案為:B 【分析】過點(diǎn)A作AN∥DF,交BE于點(diǎn)M,交CF于點(diǎn)N,根據(jù)已知及平行線中的平行線段相等,可得出AD=ME=NF=4,再根據(jù)平行線分線段成比例得出BM和CN的關(guān)系,設(shè)MB=x,CN=3x,分別表示出BE、CF,再求出它們的比,利用求差法比較大小,即可求解。 3.在平面直角坐標(biāo)系中,線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(6,8),B(10,2),若以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的 后得到線段CD,則點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(
4、?? ) A.?(5,1)???????????????????????????B.?(4,3)???????????????????????????C.?(3,4)???????????????????????????D.?(1,5) 【答案】C 【解析】 :∵以原點(diǎn)O為位似中心,在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的 后得到線段CD, ∴端點(diǎn)C的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都變?yōu)锳點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的一半, 又∵A(6,8), ∴端點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,4). 故答案為:C. 【分析】根據(jù)位似圖形的性質(zhì),位似圖形上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)等于原圖形上對應(yīng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別乘以位似比
5、,或位似比的相反數(shù)。 4.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DE∥BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)BE,記△ADE,△BCE的面積分別為S1 , S2 , (??? ) A.?若 ,則 ?????????????????????????????B.?若 ,則 C.?若 ,則 ?????????????????????????????D.?若 ,則 【答案】D 【解析】 :如圖,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M ∴DF∥BM,設(shè)DF=h1 , BM=h2 ∴ ∵DE∥BC ∴ ∴ ∵若 ∴設(shè) =k<0.5(0<k<0.5)
6、∴AE=AC?k,CE=AC-AE=AC(1-k),h1=h2k ∵S1= AE?h1= AC?k?h1 , S2= CE?h2= AC(1-k)h2 ∴3S1= k2ACh2 , 2S2=(1-K)?ACh2 ∵0<k<0.5 ∴ k2<(1-K) ∴3S1<2S2 故答案為:D 【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,過點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M,可得出DF∥BM,設(shè)DF=h1 , BM=h2 , 再根據(jù)DE∥BC,可證得 ,若 ,設(shè) =k<0.5(0<k<0.5),再分別求出3S1和2S2 , 根據(jù)k的取值范圍,即可得出答案。 5.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接
7、AD,點(diǎn)G在線段AD上,GE∥BD,且交AB于點(diǎn)E,GF∥AC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是(??? ). A.???????????????????????B.???????????????????????C.???????????????????????D.? 【答案】D 【解析】 :∵GE∥BD, ∴ ,因此A不符合題意; ∵GE∥BD, ∴ ① ∵GF∥AC ∴ ②,,因此B、C不符合題意; 由①②得; ,因此D符合題意; 故答案為:D 【分析】抓住已知條件:GE∥BD,GF∥AC,利用平行線分線段成比例,及中間比代換,對各選項(xiàng)逐一判斷即可求解。
8、 6.如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn),且AE=2ED,EC交對角線BD于點(diǎn)F,則 等于( ??) A.???????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????????D.? 【答案】A 【解析】 :∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴ED∥BC,BC=AD,∴△DEF∽△BCF,∴ = ,設(shè)ED=k,則AE=2k,BC=3k,∴ = = .故答案為:A.【分析】由平
9、行四邊形的性質(zhì)可得ED∥BC,BC=AD,根據(jù)相似三角形的判定可得△DEF∽△BCF,則可得比例式,設(shè)ED=k,則根據(jù)題意可得AE=2k,BC=3k,所以. 7.已知 與 相似,且相似比為 ,則 與 的面積比(? ) A.???????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????????D.? 【答案】D 【解析】 ∵ 與 相似,且相似比為 ∴ 與 的面積比為:1:9 故答案為:D
10、 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì):相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可解答。 8.如圖,已知矩形ABCD中,AB=2,在BC上取一點(diǎn)E,沿AE將△ABE向上折疊,使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)處,若四邊形EFDC與矩形ABCD相似,則AD=(?? ) A.??????????????????????????????????????B.?+1?????????????????????????????????????C.?4?????????????????????????????????????D.?2 【答案】B 【解析】 ? :設(shè)AD=x,根據(jù)折疊的性質(zhì)的得出AB=AF=2,故D
11、F=x-2, ∵四邊形ABCD是矩形,∴DC=AB=2,又四邊形EFDC與矩形ABCD相似,∴DC∶AD=FD∶DC,∴DC2=AD·FD ,即22=x(x-2),解得? :x1=? ,x2=(舍去)。 故答案為? : 【分析】設(shè)AD=x,根據(jù)折疊的性質(zhì)得出AB=AF=2,故DF=x-2,根據(jù)矩形的對邊相等得出DC=AB=2,根據(jù)相似多邊形的對應(yīng)邊成比例得出關(guān)于x的方程,求解得出答案。 9.要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其中一個(gè)三角形的三邊長分別為 , 和 ,另一個(gè)三角形的最短邊長為2.5 cm,則它的最長邊為(??? ) A.?3cm????????????
12、????????????????????????B.?4cm????????????????????????????????????C.?4.5cm????????????????????????????????????D.?5cm 【答案】C 【解析】 設(shè)另一個(gè)三角形的最長邊為xcm,由題意得 5:2.5=9:x, 解得:x=4.5, 故答案為:C. 【分析】要制作兩個(gè)形狀相同的三角形框架,其實(shí)質(zhì)就是做兩個(gè)相似的三角形框架,設(shè)另一個(gè)三角形的最長邊為xcm,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程,求解即可得出答案。 10. 如圖,四邊形ABCD是邊長為6的正方形,點(diǎn)
13、E在邊AB上,BE=4,過點(diǎn)E作EF∥BC,分別交BD、CD于G、F兩點(diǎn).若M、N分別是DG、CE的中點(diǎn),則MN的長為?? (? ?????) A.?3????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????????D.?4 【答案】C 【解析】 :取DF、CF中點(diǎn)K、H,連接MK、NH、CM,作MO⊥NH(如下圖). ?∵四邊形ABCD是邊長為6的正方形,BE=4. ∴AE=DF=2,CF
14、=BE=4. ∴△DGF∽△BGE ∴==. ∴GF=2,EF=4. 又∵M(jìn)、N、K、H、都是中點(diǎn), ∴MK=GF=1,NH=EF=3.KF=DF=1,FH=CF=2, ∴MK=OH=1.KH=MO=3 ∴NO=2. 在Rt△MON中, ∴MN= == . 故答案為C. 【分析】取DF、CF中點(diǎn)K、H,連接MK、NH、CM,作MO⊥NH(如上圖);由正方形ABCD是邊長和BE的長可以得出AE=DF=2,CF=BE=4; 再由題得到△DGF∽△BGE,利用相似三角形的性質(zhì)可以求出.GF=2,EF=4;再根據(jù)三角形中位線可以得出MO=3,NO=2;利用勾股定理即可得出答
15、案. 11.如圖,菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn),若菱形ABCD的周長為16,∠BAD=60°,則△OCE的面積是(?? )。 A.??????????????????????????????????????????B.?2?????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????????D.?4 【答案】A 解析 :∵菱形ABCD的周長為16,∴菱形ABCD的邊長為4, ∵∠BAD=60°, ∴△ABD是等邊三角形, 又∵O是菱形對角線A
16、C、BD的交點(diǎn), ∴AC⊥BD, 在Rt△AOD中, ∴AO= , ∴AC=2A0=4 , ∴S△ACD= ·OD·AC= ×2×4 =4 , 又∵O、E分別是中點(diǎn), ∴OE∥AD, ∴△COE∽△CAD, ∴ , ∴ , ∴S△COE= S△CAD= ×4 = . 故答案為:A. 【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得菱形邊長為4,AC⊥BD,由一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形得△ABD是等邊三角形;在Rt△AOD中,根據(jù)勾股定理得AO= ,AC=2A0=4 ,根據(jù)三角形面積公式得S△ACD= ·OD·AC=4 ,根據(jù)中位線定理得OE∥AD,由相似三角形性質(zhì)得 ,從而求出△
17、OCE的面積. 二、填空題 12.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部,點(diǎn)E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,則PE的長為數(shù)________. 【答案】3或1.2 【解析】 ∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠C=90°,CD=AB=6,∴BD=10, ∵△PBE∽△DBC, ∴∠PBE=∠DBC,∴點(diǎn)P在BD上, 如圖1, 當(dāng)DP=DA=8時(shí),BP=2, ∵△PBE∽△DBC, ∴PE:CD=PB:DB=2:10, ∴PE:6=2:10, ∴PE=1.2; 如圖2, 當(dāng)AP=DP時(shí),此時(shí)P為B
18、D中點(diǎn), ∵△PBE∽△DBC, ∴PE:CD=PB:DB=1:2, ∴PE:6=1:2, ∴PE=3; 綜上,PE的長為1.2或3, 故答案為:1.2或3. 【分析】 根據(jù)矩形的性質(zhì),可得出∠BAD=∠C=90°,利用勾股定理求出BD的長,根據(jù)相似三角形的性質(zhì),可得出∠PBE=∠DBC,得出點(diǎn)P在BD上,然后分情況討論:當(dāng)DP=DA=8時(shí),BP=2;當(dāng)AP=DP時(shí),此時(shí)P為BD中點(diǎn),利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊成比例,就可求出PE的長。 13.在Rt△ABC中∠C=90°,AD平分∠CAB,BE平分∠CBA,AD、BE相交于點(diǎn)F,且AF=4,EF= ,則AC=_______
19、_. 【答案】 【解析】 :作EG⊥AF,連接CF, ∵∠C=90°, ∴∠CAB+∠CBA=90°, 又∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴∠FAB+∠FBA=45°,∴∠AFE=45°, 在Rt△EGF中, ∵EF= ,∠AFE=45°, ∴EG=FG=1, 又∵AF=4, ∴AG=3, ∴AE= , ∵AD平分∠CAB,BE平分∠CBA, ∴CF平分∠ACB, ∴∠ACF=45°, ∵∠AFE=∠ACF=45°,∠FAE=∠CAF, ∴△AEF∽△AFC, ∴ , 即 , ∴AC= . 故答案為: . 【分析】作EG⊥AF,連接C
20、F,根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線定義得∠FAB+∠FBA=45°,再由三角形外角性質(zhì)得∠AFE=45°,在Rt△EGF中,根據(jù)勾股定理得EG=FG=1,結(jié)合已知條件得AG=3,在Rt△AEG中,根據(jù)勾股定理得AE= ;由已知得F是三角形角平分線的交點(diǎn),所以CF平分∠ACB,∠ACF=45°,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)得 ,從而求出AC的長. 14.如圖,△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AB、AC上,DE∥BC,AD:DB=1:2,則△ADE與△ABC的面積的比為________. 【答案】1:9 【解析】 【解答】解:∵AD:DB=1:2, ∴AD:AB=AD:(AD+DB)=1:
21、3, ∵DE//BC, ∴△ADE~△ABC, ∴ , 則 ? 故答案為:1:9. 【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì),面積比等于相似比的平方;由平行可得△ADE~△ABC,而且相似比AD:AB=AD:(AD+DB)=1:3. 15.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC、CD上,若AE= ,∠EAF=45°,則AF的長為________. 【答案】 【解析】 :取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4, ∴NF= x,AN=4﹣x, ∵AB
22、=2, ∴AM=BM=1, ∵AE= ,AB=2, ∴BE=1, ∴ME= , ∵∠EAF=45°, ∴∠MAE+∠NAF=45°, ∵∠MAE+∠AEM=45°, ∴∠MEA=∠NAF, ∴△AME∽△FNA, ∴ , ∴ , 解得:x= ∴AF= 故答案為: . 【分析】取AB的中點(diǎn)M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=BC=4,根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系得出NF=?x,AN=4﹣x,根據(jù)中點(diǎn)定義得出AM=BM=1,根據(jù)勾股定理得出BE=1,ME=, 然后判斷出△AME∽△FNA,
23、根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出AM ∶FN=ME∶AN,從而得出關(guān)于x的方程,求解得出x的值,根據(jù)勾股定理得出AF的長。 16.如圖,E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),連接AC、HE、EC、GA、GF,已知AG⊥GF,AC= ,則AB的長為________. 【答案】2 【解析】 :設(shè)AB=CD=2x,則AE=BE=CG=DG=x,AD2=BC2=AC2-CD2=6-4x2 , ∵AG⊥GF, ∴∠AGD+∠CGF=90°, 在矩形ABCD中,∠D=∠FCG=90°, ∴∠AGD+∠DAG=90°, ∴∠CGF=∠DAG, ∴△AD
24、G~△GCF, ∴ ,即DG·CG=AD·CF, ∵DG=CG=x,CF= AD, ∴ , 解得x1=1,x2=-1(舍去), 則AB=2x=2 故答案為:2. 【分析】由AG⊥GF,及∠D=∠FCG=90°,可證明△ADG~△GCF,則 ,而CG=DG,CF= AD,則CG2= ,∴只需要得到另一個(gè)CG與AD的數(shù)量關(guān)系:由AC= 和勾股定理可知AD2=BC2=AC2-CD2=6-(2CG)2 , 構(gòu)造方程即可解答. 17.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC= 20,點(diǎn)D在邊AC上,AD=5,DE⊥BC于點(diǎn)E,連結(jié)AE,則△ABE的面積等于______
25、__. 【答案】78 【解析】 :在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC= 20, ∴ BC=25 ∴△ABC的面積=ABAC=×15×20=150 ∵CD=AC-AD=20-5-15 ∵DE⊥BC, ∴∠DEC=∠BAC=90° ∠C=∠C ∴△CDE∽△CBA 即CE:20=15:25 解之:CE=12 ∴BE=BC-CE=13 ∵S△ABE:S△ABC=BE:BC=13:25 ∴S△ABE:150=13:25 解之:S△ABE=78 故答案為:78 【分析】根據(jù)題意,利用勾股定理求出BC的長,就可求出△ABC的面積,再證明△CDE
26、∽△CBA,利用相似三角形的性質(zhì),得出對應(yīng)邊成比例,求出CE的長,從而求出BE的長,然后根據(jù)S△ABE:S△ABC=BE:BC,建立方程,求出△ABE的面積即可。 18.如圖,四邊形ABCD為菱形,E為對角線BD延長線上一點(diǎn),BD=4,DE=1,∠BAE=45°,則AB長為 ________. 【答案】 【解析】 :連接AO交BD于O,作BM⊥AE于M,交AC于N. ∵∠BAE=45°,∠BMA=90°,∴∠MAB=∠MBA=45°,∴AM=BM, ∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,∠AOE=90°,設(shè)AM=BM=b,ME=a, ∵∠E=∠E,∠AOE=∠BME=90°
27、,∴△AOE∽△BME,∴ = ,∴ = , ∴a2+ab=15???? ① 又∵a2+b2=25??? ② ①×5﹣②×3得到:2a2+5ab﹣3b2=0,∴(a+3b)(2a﹣b)=0, ∴b=2a代入②得到a= ,∴b=2 ,∵AB= AM=2 .故答案為2 . 【分析】連接AO交BD于O,作BM⊥AE于M,交AC于N.根據(jù)三角形的內(nèi)角和判斷出∠MAB=∠MBA=45°,根據(jù)等邊對等角得出AM=BM,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD,∠AOE=90°,設(shè)AM=BM=b,ME=a,然后判斷出△AOE∽△BME,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B
28、E,從而得出關(guān)于a,b的方程,a2+ab=15???? ①,根據(jù)勾股定理得出a2+b2=25??? ②,①×5﹣②×3得到:2a2+5ab﹣3b2=0,求解得出,a,b的值,根據(jù)等腰直角三角形邊之間的關(guān)系由AB=?AM得出答案。 19.邊長為2的正方形ABCD中E是AB的中點(diǎn),P在射線DC上從D出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動,過P做PF⊥DE,當(dāng)運(yùn)動時(shí)間為________秒時(shí),以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相似 【答案】1或 【解析】 ∵四邊形ABCD是正方形,PF⊥DE, ∴∠A=∠DFP=∠ADC=90°, ∴∠ADE+∠EDP=∠EDP+∠DPF=90°, ∴
29、∠ADE=∠FPD, ∴△ADE∽△FPD. ( 1 )如圖1, 當(dāng)∠DPE=90°時(shí),易得△FPD∽△FEP,則△ADE∽△FEP, 此時(shí)四邊形AEPD是矩形, ∴DP=AE=1, ∴t=1,即當(dāng)t=1時(shí),△ADE∽△FEP; ( 2 )如圖2, 當(dāng)DP=EP時(shí),易得△FPE≌△FPD,則△FEP∽△ADE, 此時(shí)四邊形AEHD是矩形, ∴DH=AE=1,HP=x-1,HE=AD=2, ∴PE2=HE2+HP2=PD2 , ∴ ,解得: ; 綜上所述,當(dāng) 或 時(shí),以點(diǎn)P、F、E為頂點(diǎn)的三角形與△AED相似. 故答案為:1或 . 【分析】由題意知,不論
30、點(diǎn)P運(yùn)動到何處,易證得△ADE∽△FPD,所以只需△FEP與三角形FPD相似或全等即可。由題意可分兩種情況:(1)當(dāng)∠DPE=90°時(shí),易得△ADE∽△FEP,可得比例式求解;(2)當(dāng)DP=EP時(shí),易得△FPE≌△FPD,則△FEP∽△ADE,于是可得比例式求解。 三、解答題 20.如圖,點(diǎn)D在△ABC的邊AB上,∠ACD=∠B,AD=6cm,DB=8cm,求:AC的長. 【答案】解:∵∠ACD=∠B,∠A=∠A,∴△ADC∽△ACB,∴ = ,即 = ,解得,AC=2 . 【解析】【分析】∠ACD=∠B,而∠A是公共角,所以根據(jù)有兩個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似可得△ADC∽△A
31、CB,所以可得比例式,即,解得AC=2. 21.如圖,△ABC中,點(diǎn)D在邊AB上,滿足∠ACD=∠ABC,若AC= ,AD=1,求DB的長. 【答案】解:∵∠ACD=∠ABC, 又∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ACD , ∴ , ∵AC= ,AD=1, ∴ , ∴AB=3, ∴BD= AB﹣AD=3﹣1=2 【解析】【分析】根據(jù)已知條件易證得△ABC∽△ACD ,由相似三角形的性質(zhì)可得比例式,將已知的線段代入即可求解。 22.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)G在邊BC上(不與點(diǎn)B,C重合),連接AG,作DE⊥AG,于點(diǎn)E,BF⊥AG于點(diǎn)F,設(shè) 。 (1)求證:AE=
32、BF; (2)連接BE,DF,設(shè)∠EDF= ,∠EBF= 求證: (3)設(shè)線段AG與對角線BD交于點(diǎn)H,△AHD和四邊形CDHG的面積分別為S1和S2 , 求 的最大值. 【答案】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以∠BAF+∠EAD=90°,又因?yàn)镈E⊥AG,所以∠EAD+∠ADE=90°, 所以∠ADE=∠BAF, 又因?yàn)锽F⊥AG, 所以∠DEA=∠AFB=90°, 又因?yàn)锳D=AB 所以Rt△DAE≌Rt△ABF, 所以AE=BF (2)易知Rt△BFG∽Rt△DEA,所以 在Rt△DEF和Rt△BEF中,tanα= ,tanβ= 所以kt
33、anβ= = = = =tanα 所以 (3)設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則BG=k,所以△ABG的面積等于 k因?yàn)椤鰽BD的面積等于 又因?yàn)?=k,所以S1= 所以S2=1- k- = 所以 =-k2+k+1= ≤ 因?yàn)?<k<1,所以當(dāng)k= ,即點(diǎn)G為BC中點(diǎn)時(shí), 有最大值 【解析】【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)及垂直的定義,可證得∠ADE=∠BAF,∠ADE=∠BAF及AD=AB,利用全等三角形的判定,可證得Rt△DAE≌Rt△ABF,從而可證得結(jié)論。 (2)根據(jù)已知易證Rt△BFG∽Rt△DEA,得出對應(yīng)邊成比例,再在Rt△DEF和Rt△BEF中,根據(jù)銳角三
34、角函數(shù)的定義,分別表示出tanα、tanβ,從而可推出tanα=tanβ。 (3)設(shè)正方形ABCD的邊長為1,則BG=k,分別表示出△ABG、△ABD的面積,再根據(jù) =k,求出S1及S2 , 再求出S1與S2之比與k的函數(shù)解析式,求出頂點(diǎn)坐標(biāo),然后根據(jù)k的取值范圍,即可求解。 23.如圖,以 的直角邊 為直徑作 交斜邊 于點(diǎn) ,過圓心 作 ,交 于點(diǎn) ,連接 . (1)判斷 與 的位置關(guān)系并說明理由; (2)求證: ; (3)若 , ,求 的長. 【答案】(1)解:DE是圓O的切線證明:連接OD ∵OE∥AC ∴∠1=∠3,∠2=∠A ∵OA
35、=OD ∴∠1=∠A ∴∠2=∠3 在△BOE和△DOE中 OE=OD,∠2=∠3,OE=OE ∴△BOE≌△DOE(SAS) ∴∠ODE=∠OBE=90° ∴OD⊥DE ∴DE是圓O的切線 (2)解:證明:連接BD∵AB是直徑 ∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90° ∵OE∥AC,O是AB的中點(diǎn) ∴OE是△ABC的中位線 ∴AC=2OE ∵∠BDC=∠ABC,∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC ∴ ∴BC2=2CD?OE ∵BC=2DE, ∴(2DE)2=2CD?OE ∴ (3)解:∵ 設(shè):BD=4x,CD=3x ∵在△BDC中, ?? , ∴
36、BC=2DE=5 ∴(4x)2+(3x)2=25 解之:x=1,x=-1(舍去) ∴BD=4 ∵∠ABD=∠C ∴AD=BD?tan∠ABD= 【解析】【分析】(1)連接OD,根據(jù)平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)證明∠2=∠3,再證明△BOE≌△DOE,可證出OD⊥DE,即可得證。 (2)連接BD,證明OE是△ABC的中位線,得出AC=2OE,再證明△ABC∽△BDC,得出BC2=AC?CD,結(jié)合BC=2DE,AC=2OE,即可求證結(jié)論。 (3)根據(jù)三角函數(shù)的定義,BD=4x,CD=3x,先求出BC的長,再根據(jù)勾股定理求出x的值,就可得出BD的長,再根據(jù)∠ABD=∠C,利用銳角
37、三角函數(shù)的定義得出AD=BD?tan∠ABD,即可解答。 24.如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角 與 滿足 =90°,那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”. (1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,則∠B=________°; (2)如圖①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5,若AD是∠BAC的平分線,不難證明△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”.試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D),使得△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”?若存在,請求出BE的長;若不存在,請說明理由. (3)如圖②,在四邊形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠AB
38、D=2∠BCD,且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”.求對角線AC的長. 【答案】(1)15° (2)解:存在, 如圖①,連結(jié)AE, 在Rt△ABC中, ∴∠B+∠BAC=90°, ∵AD是∠BAC的平分線, ∴∠BAC=2∠BAD, ∴∠B+2∠BAD=90°, ∴△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”, 又∵△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”, ∴∠B+2∠BAE=90°, ∵∠B+∠BAE+∠EAC=90°, ∴∠EAC=∠B, 又∵∠C=∠C, ∴△CAE∽△CBA, ∴ , 即CA2=CB·CE, ∵AC=4,BC=5, ∴CE= . ∴BE=BC-CE=5
39、- = . (3)解:如圖②, 將△BCD沿BC翻折得到△BCF, ∵CD=12, ∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBD=∠CBF, 又∵BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD, ∴∠CBD+∠BCD=90°, ∴2∠CBD+2∠BCD=180°, 即∠ABD+∠CBD+∠CBF=180°, ∴A、B、F三點(diǎn)共線, 在Rt△AFC中, ∴∠CAB+∠ACF=90°, 即∠CAB+∠ACB+∠BCF=90°, ∴∠CAB+2∠ACB≠90°, ∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”, ∴2∠CAB+∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠BCF, ∵∠F=∠F, ∴△F
40、CB∽△FAC, ∴ , 即FC2=FA·FB, 設(shè)BF=x, ∵AB=7, ∴FA=x+7, ∴x(x+7)=122, 解得:x1=9,x2=-16(舍去) ∴AF=7+9=16. 在Rt△AFC中, ∴AC= = =20. 【解析】 (1)解:∵△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,∴2∠B+∠A=90°, ∴2∠B+60°=90°, ∴∠B=15°. 故答案為:15° 【分析】(1)根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”,的定義,結(jié)合題意得2∠B+∠A=90°,代入數(shù)值即可求出∠B度數(shù). (2)存在,根據(jù)直角三角形兩內(nèi)角互余和角平分線定義得∠B+2∠BAD=90°,根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”,定義即可得△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”;根據(jù)△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”,以及直角三角形兩內(nèi)角互余可得∠EAC=∠B,根據(jù)相似三角形判定“AA”可得△CAE∽△CBA,再由相似三角形性質(zhì)得 ,由此求出CE= .從而得BE長. (3)如圖②,將△BCD沿BC翻折得到△BCF,根據(jù)翻折性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)、“準(zhǔn)互余三角形”定義可得到△FCB∽△FAC,再由相似三角形性質(zhì)可得 ,設(shè)BF=x,代入數(shù)值即可求出x值,從而求出AF值,在Rt△AFC中,根據(jù)勾股定理即可求得AC長. 23
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