5、<2S2
【答案】D
【思路分析】首先考慮極點(diǎn)位置，當(dāng)2AD=AB即AD=BD時(shí)S1，S2的關(guān)系，然后再考慮AD>BD時(shí)S1，S2的變化情況。
【解題過(guò)程】當(dāng)2AD=AB即AD=BD時(shí)2 S1= S2，則3S1<2S2。當(dāng)2ADAB時(shí)，不確定。
【知識(shí)點(diǎn)】中位線及面積大小比較
5. （2018浙江湖州，8，3）如圖，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AC上，將△CDE沿DE折疊，使得點(diǎn)C恰好落在BA的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)F處，連結(jié)AD，則下列結(jié)論不一定正確的
6、是（ ）
A．AE＝EF B．AB＝2DE
C．△ADF和△ADE的面積相等 D．△ADE和△FDE的面積相等
【答案】C
【解析】選項(xiàng)A，∵D為BC的中點(diǎn)，∴所以BD＝CD．∵FD＝CD，∴FD＝BD．∴∠B＝∠BFD．∵∠C＝∠DFE，∴ ∠B+∠C＝∠BFD+∠DFE．∴∠FAE＝∠AFE．∴AE＝FE．選項(xiàng)A正確．
選項(xiàng)B，∵E為AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線．∴AB＝2DE．選項(xiàng)B正確．
選項(xiàng)C，∵BF∥DE，∴△ADF和△ADE的高相
7、等．但不能證明AF＝DE，∴△ADF和△ADE的面積不一定相等．選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
選項(xiàng)D，△ADE和△FDE同底等高，面積相等，選項(xiàng)D正確．故選C.
【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形，折疊，中位線，三角形的外角
1. （2018湖北黃岡，4題，3分）如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，且分別交BC，AC于點(diǎn)D和E，∠B=60°，∠C=25°，則∠BAD為
A.50° B.70° C.75° D.80°
第4題圖
【答案】B
【解析】在△ABC中，∠B=60°，∠C=25°,所以∠BAC=95°,因?yàn)镈E是AC的垂直平分線，所以DA=DC,所以∠DAC=∠C=25°，
8、所以∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°，故選B
【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和，垂直平分線的性質(zhì)
2. （2018湖南郴州，7，3）如圖，∠AOB=60°，以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧交OA，OB于點(diǎn)C，D兩點(diǎn)，分別以C，D為圓心，以大于CD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，以O(shè)為端點(diǎn)作射線OP，在射線OP上截取線段OM=6，則M點(diǎn)到OB的距離為（ ）
A.6 B.2 C.3 D.
【答案】D
【思路分析】判斷出OP是∠AOB的平分線，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OB于E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠MOB=30°，然
9、后根據(jù)“直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊一半”列式計(jì)算即可得解．
【解析】解：由題意得OP是∠AOB的平分線，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥OB于E，又∵∠AOB=60°，
∴∠MOB=30°，在Rt△MOE中，OM=6，∴EM=OM=3，故選C．
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，尺規(guī)作圖
3. （2018甘肅天水，T6，F(xiàn)4）如圖所示，點(diǎn)O是矩形ABCD對(duì)角線AC的中點(diǎn)，OE∥AB交AD于點(diǎn)E.若OE=3，BC=8，則OB的長(zhǎng)為（ ）
A.4 B.5 C. D.
【答案】B.
【解析】∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥CD，AB=
10、CD，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn).
∵OE∥AB，
∴OE∥CD，
∴OE是△ACD的中位線，
∴CD=2OE=6，
∴AB=6.
在Rt△ABC中，AB=6，BC=8，
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜邊的中線，
∴OB=AC=5.
【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)
4. （2018河北省，6，3）尺規(guī)作圖要求：?。^(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；ⅱ．作線段的垂直平分線；
ⅲ．過(guò)直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；ⅳ．作角的平分線．
如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：
則正確的配對(duì)是（ ）
A．①—ⅳ，②—ⅱ，③—ⅰ，④—ⅲ
11、 B． ①—ⅳ，②—ⅲ，③—ⅱ，④—ⅰ
C．①—ⅱ，②—ⅳ，③—ⅲ，④—ⅰ D． ①—ⅳ，②—ⅰ，③—ⅱ，④—ⅲ
【答案】D
【解析】根據(jù)不同的作圖方法可以一一對(duì)應(yīng)． ②的已知點(diǎn)在直線外，所以對(duì)應(yīng)ⅰ，④的已知點(diǎn)在直線上，所以對(duì)應(yīng)ⅲ．
【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖，角的平分線，垂線，線段的垂直平分線
5. （2018河北省，8，3） 已知，如圖，點(diǎn)P在線段AB外，且PA＝PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則作法不正確的是（ ）
A．作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)C
B．過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC＝BC
12、
C．取AB中點(diǎn)C，連接PC
D．過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C
第8題圖
【答案】B
【解析】要證明PA＝PB需要作出AB上的中線（或垂線或∠APB的角平分線）．選項(xiàng)B中作出的輔助線同時(shí)滿足了兩個(gè)條件，不正確．故選B．
【知識(shí)點(diǎn)】線段的垂直平分線，等腰三角形的三線合一
6.（2018貴州安順，T8，F(xiàn)3）已知△ABC （AC＜BC），用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使 PA+PC = BC, 則符合要求的作圖痕跡是（ ）
【答案】D
【解析】選項(xiàng)A，該作圖痕跡表示AB=PB，不符合題意；選項(xiàng)B，該作圖痕跡表示作線段AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，即P
13、A=PC，不符合題意；選項(xiàng)C，該作圖痕跡表示AC=PC，不符合題意；選項(xiàng)D，該作圖痕跡表示作線段AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)P，即PA=PB，故PA+PC=BC,符合題意.故選D.
【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖.
8
7. （2018湖北荊門(mén)，11，3分）如圖，等腰中，斜邊的長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（ ）
A． B． C. D．
【答案】C.
【解析】解：連接OM，CM，OC.
∵OQ⊥OP，且M是PQ的中點(diǎn)，
∴OM=PQ.
∵△ABC是等腰直角三角形，
14、
∴∠ACB=90°，
∴CM=PQ，
∴OM=CM，
∴△OCM是等腰三角形，
∴M在OC的垂直平分線上.
∵當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為AC的中點(diǎn)，當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)M所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為AB=1.
故選C.
【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，中位線，等腰三角形的判定與性質(zhì)
8. （2018湖北省襄陽(yáng)市，7，3分） 如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于24cm長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN分別交BC、AC于點(diǎn)D、E.若AE=3cm，△ABD的周長(zhǎng)為13cm，則△ABC的周長(zhǎng)為(▲)
A.16cm B.19cm
15、 C.22cm D.25cm
【答案】B
【解析】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AC的垂直平分線，
∴AD=CD，AC=2AE=6cm，
∴AB+BC=AB+BD+DC=AB+BD+AD=C△ABD=13cm，
∴C△ABC=AB+BC+AC=13+6=19cm.
故選B.
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線
9.（2018陜西，8，3分） 如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD和DA的中點(diǎn)，連接EF、FG、GH和HE．若EH=2EF，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．AB=EF B．AB=2EF C．AB=EF D．AB=EF
16、
【答案】D
【思路分析】連接AC、BD交于點(diǎn)O．利用中位線性質(zhì)和菱形的性質(zhì)證明EF=AO，EH＝BO，結(jié)合菱形的對(duì)角線互相垂直，用勾股定理求線段AB與AO的關(guān)系，即得出AB與EF的關(guān)系．
【解題過(guò)程】連接AC、BD交于點(diǎn)O．
∵E，F(xiàn)分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF=AC．
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AO=AC，AC⊥BD．
∴EF=AO．
同理：EH=BO．
∵EH=2EF．
∴BO=2AO．
在Rt△ABO中，設(shè)AO=x，則BO=2x．
∴AB=AO．
∴AB=EF，故選擇D．
【知識(shí)點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，勾股定理
二、填空題
1. （20
17、18四川瀘州，題，3分） 如圖5，等腰△ABC的底邊BC=20，面積為120，點(diǎn)F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在EG上運(yùn)動(dòng)，則△CDF周長(zhǎng)的最小值為 .
第16題圖
【答案】18
【解析】做△ABC的高AH，因?yàn)镾=120，BC=20，所以AH=12，△CDF的周長(zhǎng)=CF+CD+DF，CF=5，因?yàn)镋G是腰AC的垂直平分線，連接AD，AF，可得DA=DC，所以AD+DF的最小值為AF的長(zhǎng)度，在Rt△AHF中，HF=5，AH=12，由勾股定理可得AF=13，因此△CDF周長(zhǎng)的最小值為18
【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積，垂直平分線，勾股定理
18、
2. （2018四川內(nèi)江，23，6） 如圖，以AB為直徑的⊙O的圓心O到直線l的距離OE＝3，⊙O的半徑r＝2，直線AB不垂直于直線l，過(guò)點(diǎn)A、B分別作直線l的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、C，則四邊形ABCD的面積的最大值為 ．
【答案】12
【思路分析】由于四邊形ABCD為梯形，所以面積為兩底之和的一半再乘以高，由已知條件可以通過(guò)構(gòu)造三角形的中位線，證得兩底之和與線段OE的長(zhǎng)度有關(guān)，是一個(gè)定值，所以四邊形面積的大小取決于高，當(dāng)直徑AB為梯形的高時(shí)，面積最大．
【解題過(guò)程】解：連接DO并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于F，∵AD⊥l，BC⊥l，∴AD∥BC，∴∠DAO＝∠FBO
19、，∠ADO＝∠F，∵OA＝OB，∴△AOD≌△BOF，∴AD＝BF，OD＝OF，∵OE⊥l，∴AD∥BC∥OE，∴＝，∴DE＝CE，∴OE＝CF＝ (BF＋BC)＝(AD＋BC)，∴AD＋BC＝2OE＝6，∵四邊形ABCD的面積＝(AD＋BC)×CD，∴當(dāng)AB∥l時(shí)，即AB為梯形的高時(shí)四邊形ABCD的面積最大，最大值為×6×4＝12．
【知識(shí)點(diǎn)】三角形中位線，梯形的面積公式；全等三角形；
3. （2018四川廣安，題號(hào)14，分值：3） 如圖，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，則OF=____.
第14題圖
【答案】2.
【解析】過(guò)點(diǎn)E作ED⊥
20、OA，于點(diǎn)D.
∵EF∥CO，
∴∠EFA=∠AOC=∠AOE+∠BOE=30°.
∵∠AFE是△OEF的外角，
∴∠OEF=∠AEF-∠AOE=15°=∠AOE，
∴OF=EF.
∵OE是∠AOC的平分線，CE⊥OB，EG⊥OA，
∴EG=CE=1.
在Rt△EFG中，∠EFA=30°EG=1，
∴EF=2EG=2，
即OF=2.
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)
4. （2018四川省南充市，第13題，3分）如圖，在△ABC中，平分，的垂直平分線交于點(diǎn)，，，則 度．
【答案】24
【解析】解：設(shè)∠C的度數(shù)為x
21、
∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠EAC=∠C=x，∵∠FAE=19°，∴∠AFB=∠FAC+∠C=( x+19°)+x=2x+19°，∵AF平分∠ABC，∴∠BAF=∠FAC= x+19°，∵∠BAF+∠AFB+∠B=180°，即70°+（2x+19°）+(x+19°)=180° ，解得：x=24°.故答案為：24.
【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的定義；垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；直角三角形兩銳角互余
5. （2018湖南衡陽(yáng)，17，3分）如圖，?ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M.如果△CDM的周長(zhǎng)為8，那么的周長(zhǎng)是
22、．
【答案】16
【解析】解：在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，
∵點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，OM⊥AC，
∴MO為AC的垂直平分線，
∴MC=MA，
∴△CDM的周長(zhǎng)=MC+MD+CD=MA+MD+CD=AD+CD=8，
∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)=2（AD+CD）=16．
【知識(shí)點(diǎn)】
6. （2018江蘇泰州，14，3分）如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，∠D=α，則∠BEF的度數(shù)為 .（用含α的式子表示）
【答案】
【解析】∵∠ACD=90°，∴∠CAD=90°－∠D=90
23、°－α，∵E、F分別為AC、BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴∠CEF=∠CAD=90°－α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD=90°－α，∵∠ABC=90°，E為AC的中點(diǎn)，∴AE=BE，∴∠EBA=∠BAC=90°－α，∴∠BEC=180°－2α，∴∠BEF=270°－3α.
【知識(shí)點(diǎn)】三角形中位線，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)
7. （2018山東省濟(jì)寧市，13，3）在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)D在BC邊上，連接DE，DF，EF.請(qǐng)你添加一個(gè)條件_______，使△BED與△FDE全等.
【答案】答案不唯一，如：點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)或者DF∥AB.
24、
【解析】當(dāng)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，△BED≌△FDE.∵E，F(xiàn)分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC，當(dāng)E，D分別是邊AB，BC的中點(diǎn)時(shí)，ED∥AC，∴四邊形BEFD是平行四邊形，∴△BED≌△FDE，因此，答案為：D是BC的中點(diǎn)．
【知識(shí)點(diǎn)】全等三角形的判定，三角形中位線性質(zhì)，平行線性質(zhì)1. （2018武漢市，16，3分）如圖，在△ABC中，∠ACB＝60°，AC＝1，D是邊AB的中點(diǎn)，E是邊BC上一點(diǎn)．若DE平分△ABC的周長(zhǎng)，則DE的長(zhǎng)是___________
【答案】
【思路分析】延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=AC，由題意得DE是△ABF的中位線，△ACF是底角為30°的等腰三角
25、形，作CG⊥AF，垂足為G，可求得AF的長(zhǎng)，從而求出DE的長(zhǎng).
【解題過(guò)程】延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=AC，∵DE平分△ABC的周長(zhǎng)，AD=BC，∴AC+CE=BE，∴BE=CF+CE=EF，∴DE∥AF，DE=AF，∠CAF＝∠ACB＝30°.作CG⊥AF，垂足為G，則∠AGC=90°，AF＝2AG＝2AC×∠CAF＝2×1×30°＝，∴.
【知識(shí)點(diǎn)】三角形的中位線 等腰三角形的性質(zhì) 直角三角形中的邊角關(guān)系
2. （2018河南，15，3分）如圖, ∠MAN = 90°,點(diǎn)C在邊AM上,AC = 4,點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn),連接BC, 與關(guān)于BC所在直線對(duì)稱．點(diǎn)D,E分別為AC,B
26、C的中點(diǎn),連接DE并延長(zhǎng)交A'B所在直線于點(diǎn)F,連接A'E．當(dāng)為直角三角形時(shí), AB的長(zhǎng)為_(kāi)__________．
【答案】4或
【思路分析】根據(jù)題意，易得EF∥AB，∠＝∠CAB＝90°，∠1＝∠2＝∠3．
當(dāng)為直角三角形時(shí)，分兩種情況討論：①∠＝90°時(shí)，∠＝2∠2，所以∠+∠3＝90°，即3∠2＝90°，∠2＝30°，從而AB＝＝．②∠＝90°時(shí)，∠＝90°．根據(jù)對(duì)稱，∠＝∠＝45°，進(jìn)而判斷出是等腰直角三角形，從而求出AB＝AC＝4．
【解題過(guò)程】
圖1 圖2
解：∵∠MAN = 90°，與關(guān)于BC所在
27、直線對(duì)稱．
∴∠＝∠CAB＝90°，∠＝∠CBA
又∵點(diǎn)D,E分別為AC,BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)交A'B所在直線于點(diǎn)F
∴，EF∥AB.
當(dāng)為直角三角形時(shí)，由題意得，∠不能為直角，則
①如圖1，∠＝90°時(shí)，∠+∠3＝90°
∵EF∥AB，∴∠＝∠＝∠1+∠2＝2∠1.
又∵,∴∠1＝∠3,∴2∠1+∠1＝90°,∴∠1＝30°＝∠2,
∴AB＝＝.
②如圖2，∠＝90°時(shí)，
∵EF∥AB,∴∠＝∠＝90°．
由對(duì)稱可得，∠＝∠＝45°，
∴是等腰直角三角形∴AB＝AC＝4.
綜上所述， AB的長(zhǎng)為4或
故答案為：4或
【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線，直角
28、三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，三角函數(shù)
三、解答題
1. (2018山東青島中考，15，4分)已知：如圖，，射線上一點(diǎn).
求作：等腰，使線段為等腰的底邊，點(diǎn)在內(nèi)部，且點(diǎn)到兩邊的距離相等. （請(qǐng)用直尺、圓規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡．）
【思路分析】作線段BD的垂直平分線與∠ABC的平分線，交于點(diǎn)P，連接BP，PD，則△PBD就是求作的三角形．
【解題過(guò)程】解：作圖如下：
【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖——角平分線、垂直平分線
1. （2018湖北鄂州，18，8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝90°，DB＝DC，點(diǎn)E、F分別為DB、BC的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF．
29、
（1）求證：AE＝EF；
（2）當(dāng)AF＝AE時(shí)，設(shè)∠ADB＝α，∠CDB＝β，求α，β之間的數(shù)量關(guān)系．
【思路分析】
【解析】解：（1）證明：∵點(diǎn)E、F分別為DB、BC的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，∴EF＝CD，又∵DB＝DC，∴EF＝ DB，在Rt△ABD中，∵點(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，∴AE是斜邊BD上的中線，∴AE＝ DB，∴AE＝EF；
（2）如下圖（1），∵AE＝EF，AF＝AE，∴AE＝EF＝AF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝∠EAF＝60°，
又∵∠DAB＝90°，∴∠1＋∠BAF＝90°－60°＝30°，∴∠BAF＝30°－∠1，∵EF是△BCD的中位線，∴
30、EF∥CD，∴∠BEF＝∠CDB＝β，∴β＋∠2＝60°，又∵∠2＝∠1＋∠ADB＝∠1＋α，∴∠1＋α＋β＝60°，∴∠1＝60°－α－β，∵AE是斜邊BD上的中線，∴AE＝DE，∴∠1＝∠ADB＝α，∴α＝60°－α－β，∴2α＋β＝60°．
【知識(shí)點(diǎn)】中位線定理；直角三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；平行線的性質(zhì)
2. （2018四川攀枝花，20，8）(本小題滿分8分)已知△ABC中，∠A=90°.
（1）請(qǐng)?jiān)趫D8中作出BC邊上的中線(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)；
(2)如圖9，設(shè)BC邊上的中線為AD.
求證:BC=2AD.
【思路分析】（1）用
31、尺規(guī)作圖作出線段BC的中垂線，目的是作出線段BC的中點(diǎn)D，然后連接線段AD即為所求。
【解題過(guò)程】
(1)如圖(1)所示：
(2) 如圖(2),作AB邊的中點(diǎn)E,連接ED，∵BE=EA,BD=DC,∴ED∥AC,
∵∠BAC=90°,∴∠BED=90°，∴DE⊥AB，∴DE是線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD，∴AD=BD=DC，∴BC=2AD。
【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖，三角形的中位線，線段的垂直平分線。
3. （2018湖北省孝感市，20，7分）如圖，中，，小聰同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成了如下操作：
①作的平分線交于點(diǎn)；
②作邊的垂直平分線，與相交于點(diǎn)
32、；
③連接，.
請(qǐng)你觀察圖形解答下列問(wèn)題：
（1）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是________；
（2）若，求的度數(shù).
【思路分析】（1）根據(jù)從垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC.
(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ACB=，再有三角形的內(nèi)角和定理可得∠BAC=40°，再由角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAP =∠CAP=∠ABP =∠ACP=20°,最后由三角形外角的性質(zhì)可得=∠BPD+∠CPD=∠BAP +∠ABP +∠CAP +∠ACP =80°.
【解題過(guò)程】解：（1）線段，，之間的數(shù)量關(guān)系是:（或相等）.
（2）∵平分，，，
∴，.
∵是線段的垂直平分線，
33、
∴，∴.
∵是的外角，
∴.
∴.
∴.
【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì)；角平分線和線段的垂直平分線的尺規(guī)作圖.
4. （2018·北京，17，5）下面是小東設(shè)計(jì)的“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．
已知：直線l及直線l外一點(diǎn)P．
求作：直線PQ，使得PQ∥l．
作法：如圖：
①在直線l上取一點(diǎn)A，作射線PA，以點(diǎn)A為圓心，AP長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交PA的延
長(zhǎng)線于點(diǎn)B；
②直線l上取一點(diǎn)C（不與點(diǎn)A重合），作射線BC，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q；
③作
34、直線PQ．
所以直線PQ就是所求作的直線．
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，
（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）
（2）完成下面的證明．
證明：∵AB＝_______，CB＝_______，
∴PQ∥l（________________）（填推理的依據(jù)）．
【思路分析】（1）利用尺規(guī)作圖，先作射線BC，再在射線BC上截取線段CQ＝CB；最后過(guò)點(diǎn)P、Q作直線即可；（2）由作圖易知PA＝AB，CQ＝CB，依據(jù)是三角形的中位線的定義及定理，兩點(diǎn)確定一條直線．
【解題過(guò)程】
17．解：（1）如下圖所示：
（2）PA，CQ；依據(jù)：①連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線；②三角形的中位線平行于第三邊；③兩點(diǎn)確定一條直線．
【知識(shí)點(diǎn)】尺規(guī)作圖；三角形的中位線定理
2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識(shí)點(diǎn)24 線段垂直平分線、角平分線、中位線
