《【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《【備戰(zhàn)2014】北京中國人民大學(xué)附中高考數(shù)學(xué)(題型預(yù)測+范例選講)綜合能力題選講第25講建構(gòu)函數(shù)(6頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、6/4建構(gòu)函數(shù)模型的應(yīng)用性問題題型預(yù)測應(yīng)用題是高考考查的重點(diǎn),也是考生得分的難題,近年來該類試題的特點(diǎn)日趨鮮明:1.應(yīng)用題的信息來源真實(shí)可靠;2.應(yīng)用題的個(gè)數(shù)明顯在增加;3.注重考查學(xué)生動腦、動手能力及應(yīng)用的能力(如2002年文科22題)。從高考應(yīng)用題來看,涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式等高中主要板塊的內(nèi)容,是歷年高考命題的熱點(diǎn)和重點(diǎn).解答函數(shù)型應(yīng)用題,一般先從建立函數(shù)的解析表達(dá)式入手,通過研究函數(shù)的性質(zhì)獲得解答因此,這類問題的難點(diǎn)一般有兩個(gè):一是解析式的建立,二是數(shù)學(xué)知識的靈活應(yīng)用.X例選講例1某公司為幫助尚有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店,借出20萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)
2、品專賣店,并約定用該店經(jīng)營的利潤逐步償還債務(wù)(所有債務(wù)均不計(jì)利息).已知該種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件40元;該店每月銷售量q(百件)與銷售價(jià)p(元/件)之間的關(guān)系用右圖中的一條折線(實(shí)線)表示;職工每人每月工資為600元,該店應(yīng)交付的其它費(fèi)用為每月13200元.(I)若當(dāng)銷售價(jià)p為52元/件時(shí),該店正好收支平衡,求該店的職工人數(shù);(H)若該店只安排40名職工,則該店最早可在幾年后還清所有債務(wù),此時(shí)每件消費(fèi)品的價(jià)格定為多少元?講解本題題目的篇幅較長,所給條件零散雜亂,為此,不僅需要?jiǎng)澐侄温鋵哟?,弄清每一層次?dú)立的含義和相互間的關(guān)系,更需要抓住矛盾的主要方面.由題目的問題找到關(guān)鍵詞一一“收支平衡”、“還
3、清所有債務(wù)”,不難想到,均與“利潤”相關(guān).從閱讀和以上分析,可以達(dá)成我們對題目的整體理解,明確這是一道函數(shù)型應(yīng)用題為此,首先應(yīng)該建立利潤與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價(jià)p之間的關(guān)系,然后,通過研究解析式,來對問題作出解答.由于銷售量和各種支出均以月為單位計(jì)量,所以,先考慮月利潤.(I)設(shè)該店的月利潤為S元,有職工m名貝USqp40100600m13200.2p140,40p58又由圖可知:qp8258p812p140p40100600m1320040p58所以,Sp82p40100600m1320058p81由已知,當(dāng)p52時(shí),S0,即卩2p140p40100600m132000,解得
4、m50即此時(shí)該店有50名職工.(n)若該店只安排40名職工,則月利潤2p140p401003720040p58Sp82p401003720058p81當(dāng)40p58時(shí),求得p55時(shí),S取最大值7800元.當(dāng)58p81時(shí),求得p61時(shí),S取最大值6900元.綜上,當(dāng)p55時(shí),S有最大值7800元.設(shè)該店最早可在n年后還清債務(wù),依題意,有12n78002680002000000.解得n5.所以,該店最早可在5年后還清債務(wù),此時(shí)消費(fèi)品的單價(jià)定為55元.點(diǎn)評求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題必須突破三關(guān):(1)閱讀理解關(guān):一般數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量都比較大,要通過閱讀審題,找出關(guān)鍵詞、句,理解其意義.(2)建模關(guān):即建立實(shí)
5、際問題的數(shù)學(xué)模型,將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題.(3)數(shù)理關(guān):運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決已建立的數(shù)學(xué)模型.例2.一位救生員站在邊長為100米的正方形游泳池ABCD的A處(如圖),發(fā)現(xiàn)C處有一位溺水者.他跑到E處后,馬上跳水沿直線EC游到C處,已知救生員跑步的速度為米V/分,游泳的速度為V米/分.2試問,救生員選擇在何處入水才能最快到達(dá)C處,所用的最短時(shí)間是多少?講解:理解本題并不難:應(yīng)該建立時(shí)間t(分)關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系式,然后,通過求最值的方法來解決問題.難點(diǎn)在于變量的選擇,當(dāng)然,我們可以選擇以AE的長度xx(米)作為變量,但此時(shí)t-V2L10022100x求最值較為困難.注意到:AE和EC的長度,
6、可以方便的用角表示,不必用到根號,所以我們可以嘗試以CEB作為變量.設(shè)CEB,貝UAE100lOOcot,CE100sin,所以,10010050等號當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí),AE200vsin1002cossintan2-21tan222tan21tan2-2.31001003tan22t9n21005013tantan22tan23tan乙,即tani,即3時(shí)成立100心,t3他皿也即,救生員應(yīng)該在AB邊上距t100100.3B103米處入水,才能最快到達(dá)C處,所用的最短時(shí)間為3點(diǎn)評(1)恰當(dāng)選擇變量,有助于簡化數(shù)學(xué)過程;(2)本題中,若以AEx為自變量,也可通過三角代換(或移項(xiàng)、平方、判別式等)來求
7、得最值.例3某廠生產(chǎn)一種儀器,由于受生產(chǎn)能力和技術(shù)水平的限制,會產(chǎn)生一些次品根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道,該廠生產(chǎn)這種儀器,次品率P與日產(chǎn)量x(件)之間大體滿足關(guān)系:196x1xc,xN其中c為小于96的正常數(shù)xc,xN注:次品率P次品數(shù),如P0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品,約有1件為次品其余為合格生產(chǎn)量品.A已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元,但每生產(chǎn)一件次品將虧損元,故廠方希2望定出合適的日產(chǎn)量.(I)試將生產(chǎn)這種儀器每天的盈利額T(元)表示為日產(chǎn)量x(件)的函數(shù);(n)當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí),可獲得最大利潤?講解:212A當(dāng)xc時(shí),P3,所以,每天的盈利額T3xAaxi0當(dāng)1xc時(shí),P,所以,每日生產(chǎn)的合格儀器
8、約有196xx件,次品96x約有196xx件故,每天的盈利額196xxA1Ax-96x23xx296x綜上,日盈利額T(元)與日產(chǎn)量x(件)的函數(shù)關(guān)系為:3xx296xA,0,xc(n)由(i)知,當(dāng)xc時(shí),每天的盈利額為0.當(dāng)1xc時(shí),T3xx296x為表達(dá)方便,令96xt,則096ct1144114414797tA972、tAA02t2t295故396tT96tA2t(等號當(dāng)且僅當(dāng)t,即t12即x88時(shí)成立)所以,147(1)當(dāng)c88時(shí),TmaxA(等號當(dāng)且僅當(dāng)x88時(shí)成立).2144tt(12,)上單調(diào)遞增(證明過程略)T971t144A971962t2144144189c2c2“cAA096c1922c所以,g(t)g96c所以,c時(shí)取得)2144189c2c1922cA(等號當(dāng)且僅當(dāng)(2)當(dāng)1c88時(shí),由1xc得1296ct95,易證函數(shù)gt綜上,若88c96,則當(dāng)日產(chǎn)量為88件時(shí),可獲得最大利潤;若1c88,則當(dāng)日產(chǎn)量為c時(shí),可獲得最大利潤.點(diǎn)評基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段.