《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 三角形（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專題 三角形（含解析）（33頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、三角形1在ABC中，BAC45，CDAB，垂足為點D，M為線段DB上一動點（不包括端點），點N在直線AC左上方且NCM135，CNCM，如圖（1）求證：ACNAMC（2）記ANC得面積為5，記ABC得面積為5求證：（3）延長線段AB到點P，使BPBM，如圖探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關(guān)系時對于滿足條件的任意點M，ANCP始終成立？（寫出探究過程）解：（1）BAC45，AMC18045ACM135ACM，NCM135，ACN135ACM，ACNAMC；（2）過點N作NEAC于E，CENCDM90，ACNAMC，CMCN，NECCDM（AAS）NECD，CEDM；S1ACNE，S2ABCD，

2、；（3）當(dāng)AC2BD時，對于滿足條件的任意點N，ANCP始終成立，理由如下：過點N作NEAC于E，由（2）可得NECD，CEDM，AC2BD，BPBM，CEDM，ACCEBD+BDDMAEBD+BPDP，NECD，NEACDP90，AEDP，NEACDP（SAS）ANPC2如圖1，OA2，OB4，以點A為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角ABC（）求C點的坐標(biāo)；（）如圖2，OA2，P為y軸負(fù)半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰等腰直角APD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值；（）如圖3，點F坐標(biāo)為（4，4），點G（0，m）在y軸負(fù)半軸，點H（n，0）x軸的正半軸，且FHFG，求m+

3、n的值解：（）如圖1，過C作CMx軸于M點，如圖1所示：CMOA，ACAB，MAC+OAB90，OAB+OBA90，MACOBA，在MAC和OBA中，MACOBA（AAS），CMOA2，MAOB4，OM6，點C的坐標(biāo)為（6，2），故答案為（6，2）；（）如圖2，過D作DQOP于Q點，則四邊形OEDQ是矩形，DEOQ，APO+QPD90，APO+OAP90，QPDOAP，在AOP和PDQ中，AOPPDQ（AAS），AOPQ2，OPDEOPOQPQOA2；（）如圖3，過點F分別作FSx軸于S點，F(xiàn)Ty軸于T點，則HSFGTF90SOT，四邊形OSFT是正方形，F(xiàn)SFT4，EFT90HFG，HFSG

4、FT，在FSH和FTG中，F(xiàn)SHFTG（AAS），GTHS，又G（0，m），H（n，0），點F坐標(biāo)為（4，4），OTOS4，GT4m，HSn（4）n+4，4mn+4，m+n83如圖1，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點P（1）觀察猜想：線段AE與BD的數(shù)量關(guān)系為AEBDAPC的度數(shù)為60（2）數(shù)學(xué)思考：如圖2，當(dāng)點C在線段AB外時，（1）中的結(jié)論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明（3）拓展應(yīng)用：如圖3，分別以AC、BC為邊在AB同側(cè)作等腰直角三角形ACD和等腰直

5、角三角形BCE，其中ACDBCE90，CACD，CBCE，連接AEBD交于點P，則線段AE與BD的關(guān)系為AEBD，AEBD解：（1）觀察猜想：如圖1，設(shè)AE交CD于點O過點C作CHAE，CGBD，ADC，ECB都是等邊三角形，CACD，ACDECB60，CECB，ACEDCB，ACEDCB（SAS），AEBD，CAOODP，SACESBCD，AOCDOP，DPOACO60，APB120，SACESBCD，AECHBDCG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分APB，APC60，故答案為AEBD，60（2）數(shù)學(xué)思考：成立，不成立，理由：設(shè)AC交BD于點O過點C作CHAE，CGBD，ADC，E

6、CB都是等邊三角形，CACD，ACDECB60，CECB，ACEDCBACEDCB（SAS），AEBD，PAOODC，AOPDOC，APODCO60，DPE120，SACESBCD，AECHBDCG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分DPE，DPC60，APC120，成立，不成立；拓展應(yīng)用：設(shè)AC交BD于點OACDBCE90，CACD，CBCE，ACEDCBAECDBC（SAS），AEBD，CDBCAE，AOPCOD，CDBCAE，DCOAPO90，AEBD，故答案為：AEBD，AEBD4如圖，ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，以D為頂點作一個120的角，角的兩邊分別交直線AB、直線

7、AC于M、N兩點以點D為中心旋轉(zhuǎn)MDN（MDN的度數(shù)不變），當(dāng)DM與AB垂直時（如圖所示），易證BM+CNBD（1）如圖，當(dāng)DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC上時，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖，當(dāng)DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC的延長線上時，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，請寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系，不用證明解：（1）結(jié)論BM+CNBD成立，理由如下：如圖，過點D作DEAC交AB于E，ABC是等邊三角形，ABC60，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等邊三角形，EDC1

8、20，BDBEDE，EDN+CDN120，EDM+EDNMDN120，CDNEDM，D是BC邊的中點，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述結(jié)論不成立，BM，CN，BD之間的數(shù)量關(guān)系為：BMCNBD；理由如下：如圖，過點D作DEAC交AB于E，ABC是等邊三角形，ABC60，NCD120，DEAC，BEDA60，BDEC60，BBEDBDE60，BDE是等邊三角形，MEDEDC120，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120，CDN+CDMMDN120，CDNEDM，D是BC邊的中點，DEBDCD，在CDN和EDM中

9、，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD5ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BPBA，0PBC180，DB平分PBC，且DBDA（1）當(dāng)BP與BA重合時（如圖1），求BPD的度數(shù)；（2）當(dāng)BP在ABC的內(nèi)部時（如圖2），求BPD的度數(shù)；（3）當(dāng)BP在ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數(shù)解：（1）ABC是等邊三角形，BD平分PBC，PBDCBD30，DBDA，PBDBPD30；（2）如圖2，連接CD，點D在PBC的平分線上，PBDCBD，ABC是等邊三角形，BABCAC，ACB60，BPBA，BPBC，BDBD，PBDCBD（SAS），BPDBCD，

10、DBDA，BCAC，CDCD，BCDACD（SSS），BCDACDACB30，BPD30；（3）如圖3，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30，如圖4，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30，如圖5，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD150，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD150，6

11、在ABC中，ACBC，ACB90，D為AB邊的中點，以D為直角頂點的RtDEF的另兩個頂點E，F(xiàn)分別落在邊AC，CB（或它們的延長線）上（1）如圖1，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC互相垂直，則SDEF+SCEFSABC，求當(dāng)SDEFSCEF2時，AC邊的長；（2）如圖2，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，SDEF+SCEFSABC，是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出SDEF，SCEF，SABC之間的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖3，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，且點E在AC的

12、延長線上，點F在CB的延長線上，SDEF+SCEFSABC是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出SDEF，SCEF，SABC之間的數(shù)量關(guān)系解：（1）ACB90，DEAC，DFBC，四邊形DECF是矩形，ACB90，BCAC，DEAC，DEBC，D為AB邊的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，AC2CE，同理：DFAC，ACBC，DEDF，四邊形DECF是正方形，CEDFCFDE，SDEFSCEF2DEDFDF2，DF2，CE2，AC2CE4；（2）SDEF+SCEFSABC成立，理由如下：連接CD；如圖2所示：ACBC，ACB90，D為AB中點，B45，DCEACB45，CDAB

13、，CDABBD，DCEB，CDB90，SABC2SBCD，EDF90，CDEBDF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），DEDFSCDESBDFSDEF+SCEFSCDE+SCDFSBCDSABC；（3）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：同（1）得：DECDBF，DCEDBF135，SDEFS五邊形DBFEC，SCFE+SDBC，SCFE+SABC，SDEFSCFESABCSDEF、SCEF、SABC的關(guān)系是：SDEFSCEFSABC7教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第94頁的部分內(nèi)容2線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線

14、是線段的對稱軸，如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結(jié)PA、PB，將線段AB沿直線MN對稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質(zhì)定理 線段垂直平分線上的點到線段的距離相等已知：如圖，MNAB，垂足為點C，ACBC，點P是直線MN上的任意一點求證：PAPB分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證明PAPB定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖，寫出“線段垂直平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程定理應(yīng)用：（1）如圖，在ABC中，直線m、n分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線m、n的交點為O過點O作OHAB于點H求證：AHBH（

15、2）如圖，在ABC中，ABBC，邊AB的垂直平分線l交AC于點D，邊BC的垂直平分線k交AC于點E若ABC120， AC15，則DE的長為5解：定理證明：MNAB，PCAPCB90又ACBC，PCPC，PACPBC（SAS），PAPB定理應(yīng)用：（1）如圖2，連結(jié)OA、OB、OC直線m是邊BC的垂直平分線，OBOC，直線n是邊AC的垂直平分線，OAOC，OAOBOHAB，AHBH；（2）如圖中，連接BD，BEBABC，ABC120，AC30，邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，DADB，EBEC，ADBA30，CEBC30，BDEA+DBA60，BEDC+EBC60，

16、BDE是等邊三角形，ADBDDEBEEC，AC15AD+DE+EC3DE，DE5，故答案為：58如圖，在ABC中，ABAC，以BC為直角邊作等腰RtBCD，CBD90，斜邊CD交AB于點E（1）如圖1，若ABC60，BE4，作EHBC于H，求線段BC的長；（2）如圖2，作CFAC，且CFAC，連接BF，且E為AB中點，求證：CD2BF解：（1）ABC60，EHBC，BEH30，BE2BH4，EHBH，BH2，EH2，CBD90，BDBC，BCD45，且EHBC，BCDBEC45，EHCH2，BCBH+HC2+2；（2）如圖，過點A作AMBC，ABAC，AMBC，BMMCBCDB，DCB45，A

17、MBC，DCBMNC45，MNMCBD，AMDB，CNMCBD，CD2CN，ANBD，CFAC，BCD45，ACD+BCF45，且ACD+MAC45，BCFMAC，且ACCF，BCAN，ACNCFB（SAS）BFCN，CD2BF9【問題】如圖1，在RtABC中，ACB90，ACBC，過點C作直線l平行于ABEDF90，點D在直線L上移動，角的一邊DE始終經(jīng)過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數(shù)量關(guān)系【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，某數(shù)學(xué)興趣小組運用從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DPDB，請寫出證明過程；【數(shù)學(xué)思考】（2）如圖3，若點P是A

18、C上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點D作DGCD交BC于點G，就可以證明DPDB，請完成證明過程【探究發(fā)現(xiàn)】證明：（1）ACB90，ACBCCABCBA45CDABCBADCB45，且BDCDDCBDBC45DBDC即DPDB；【數(shù)學(xué)思考】證明：（2）DGCD，DCB45DCGDGC45DCDG，DCPDGB135，BDPCDG90CDPBDG，在CDP和GDB中，CDPGDB（ASA）DPDB10已知，在平面直角坐標(biāo)系中，A（m，0）、B（0，n），m、n滿足（mn）2+|m5|0C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且POPD，DEAB于E（

19、1）如圖1，當(dāng)點P在線段AB上運動時，點D恰在線段OA上，則PE與AB的數(shù)量關(guān)系為AB2PE（2）如圖2，當(dāng)點D在點A右側(cè)時，（1）中結(jié)論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由?。?）設(shè)AB5，若OPD45，直接寫出點D的坐標(biāo)解：（1）（mn）2+|m5|0，mn0，m50，mn5，A（5，0）、B（0，5），ACBC5，AOB為等腰直角三角形，AOCBOC45，OCAB，POPD，PODPDO，D是x軸正半軸上一點，點P在BC上，POD45+POC，PDO45+DPE，POCDPE，在POC和DPE中，POCDPE（AAS），OCPE，C為AB的中點，AB2OC，AB2PE故答案

20、為：AB2PE（2）成立，理由如下：點C為AB中點，AOCBOC45，OCAB，POPD，PODPDO，POD45POC，PDO45DPE，POCDPE，在POC和DPE中，POCDPE（AAS），OCPE，又AOCBAO45OCACABAB2PE；（3）AB5，OAOB5，OPPD，PODPDO67.5，APDPDOA22.5，BOP90POD22.5，APDBOP，在POB和DPA中，POBDPA（SAS），PAOB5，DAPB，DAPB55，ODOADA5（55）105，點D的坐標(biāo)為（105，0）11如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分AOB交AB于點C，點D為線段A

21、B上一點，過點D作DEOC交y軸于點E，已知AOm，BOn，且m、n滿足n28n+16+|n2m|0（1）求A、B兩點的坐標(biāo)；（2）若點D為AB中點，求OE的長；（3）如圖2，若點P（x，2x+4）為直線AB在x軸下方的一點，點E是y軸的正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角PEF，使點F在第一象限，且F點的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點P的坐標(biāo)解：（1）n28n+16+|n2m|0，（n4）2+|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，m2，n4，點A為（2，0），點B為（0，4）；（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DGDF，連接BG，設(shè)OEx，OC平分

22、AOB，BOCAOC45，DEOC，EFOFEOBEGBOCAOC45，OEOFx，在ADF和BDG中，ADFBDG（SAS），BGAF2+x，GAFE45，GBEG45，BGBE4x，4x2+x，解得：x1，OE1；（3）如圖2，分別過點F、P作FMy軸于點M，PNy軸于點N，設(shè)點E為（0，m），點P的坐標(biāo)為（x，2x+4），PNx，ENm+2x4，PEF90，PEN+FEM90，F(xiàn)My軸，MFE+FEM90，PENMFE，在EFM和PEN中，EFMPEN（AAS），MENPx，F(xiàn)MENm+2x4，點F為（m+2x4，m+x），F(xiàn)點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，m+2x4m+x，解得：x4，點P為（

23、4，4）12在等邊ABC中，線段AM為BC邊上的中線動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊CDE，連結(jié)BE（1）若點D在線段AM上時（如圖1），則ADBE（填“”、“”或“”），CAM30度；（2）設(shè)直線BE與直線AM的交點為O當(dāng)動點D在線段AM的延長線上時（如圖2），試判斷AD與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；當(dāng)動點D在直線AM上時，試判斷AOB是否為定值？若是，請直接寫出AOB的度數(shù)；若不是，請說明理由解：（1）ABC與DEC都是等邊三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACD+DCBDCB+BCEACDBCE在ADC和BEC中，ACDBCE（SAS），ADBE；ABC是等邊

24、三角形，BAC60線段AM為BC邊上的中線CAMBAC，CAM30故答案為：，30；（2）ADBE，理由如下：ABC和CDE都是等邊三角形ABBC，DCEC，ACBDCE60，ACDACBDCB，BCEDCEDCB，ACDBCE，ACDBCE（SAS）ADBEAOB是定值，AOB60，理由如下：當(dāng)點D在線段AM上時，如圖1，由知ACDBCE，則CBECAD30，又ABC60，CBE+ABC60+3090，ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線AM平分BAC，即，BOA903060當(dāng)點D在線段AM的延長線上時，如圖2，ABC與DEC都是等邊三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60ACB+

25、DCBDCB+DCEACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）CBECAD30，同理可得：BAM30，BOA90306013小明在學(xué)習(xí)等邊三角形時發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形中，30角所對的直角邊等于斜邊的一半小明同學(xué)對以上結(jié)論作了進一步探究如圖1，在RtABC中，ACB90，ACAB，則：ABC30探究結(jié)論：（1）如圖1，CE是AB邊上的中線，易得結(jié)論：ACE為等邊三角形（2）如圖2，在RtABC中，ACB90，ACAB，CP是AB邊上的中線，點D是邊CB上任意一點，連接AD，在AB邊上方作等邊ADE，連接BE試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想加以證明拓展

26、應(yīng)用：如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為（，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊ABC，當(dāng)點C在第一象內(nèi)，且B（2，0）時，求點C的坐標(biāo)解：探究結(jié)論（1）CE是AB邊上的中線，CEAEAB，ACAB，ACCEAE，ACE是等邊三角形故答案為：等邊；（2）如圖2中，結(jié)論：EDEB理由：取AB的中點P，連接CP、PEACP，ADE都是等邊三角形，ACAPPC，ADAEDE，CAPDAE60，CADPAE，CADPAE（SAS），ACDAPE90，EPAB，PAPB，EAEB，DEAE，EDEB拓展應(yīng)用：如圖3中，作AHx軸于H，CFOB于F，連接OAA（，1），AOH30，由（

27、2）可知，COCB，CFOB，OFFB1，可以假設(shè)C（1，n），OCBCAB，1+n21+（+2）2，n2+，C（1，2+）14如圖，等邊ABC外有一點D，連接DA，DB，DC（1）如圖1，若DAB+DCB180，求證：BD平分ADC；（2）如圖2，若BDC60，求證：BDCDAD；（3）如圖3，延長AD交BC的延長線于點F，以BF為邊向下作等邊BEF，若點D，C，E在同一直線上，且ABD，直接寫出CEF的度數(shù)為60（結(jié)果用含的式子表示）（1）證明：過點B作BMCD于點M，BNAD于點N，ANBCMB90，ABC為等邊三角形，ABBC，DAB+DCB180，DCB+BCM180，OABBCM，

28、ABNCBM（AAS），BMBN，BD平分ADC；（2）證明：在BD上取點E，使DECD，BDC60CDE為等邊三角形，DCEACB60，ACDBCE，ACBC，ADCBEC（SAS），ADBE，BDCDAD；（3）解：ABC，BEF為等邊三角形，ABCB，BFBE，ABFCBEABFCBE（SAS），DFBCEB，CEB+CEF60，EFB60FDE180DFBEFBCEF60ADC120，ADC+ABC180，由（1）得BD平分ADCBDE60，F(xiàn)DB120，F(xiàn)DB+FEB180，F(xiàn)，E，B，D四點共圓，CEFDBFDBF60CEF60故答案為：6015已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，

29、2），B（2，m），過B點作直線a與x軸互相垂直，C為x軸上的一個動點，且BAC90（1）如圖1，若點B是第二象限內(nèi)的一個點，且m2時，求點C的坐標(biāo)；（用m的代數(shù)式表示）（2）如圖2，若點B是第三象限內(nèi)的一個點，設(shè)C點的坐標(biāo)（x，0），求x的取值范圍：（3）如圖3，連接BC，作ABC的平分線BD，點E、F分別是射線BD與邊BC上的兩個動點，連接CE、EF，當(dāng)m3時，試求CE+EF的最小值解：（1）如圖1，過B點作BHy軸于點H，BHA90，ABH+BAH90，BHAAOC90，BAC90，BAH+CAO90，ABHCAO，點A（0，2），B（2，m），AOBH2，OHm，AOBH，ABHCAO

30、，BHAAOC90，BHAAOC（ASA）COAHOHAOm2，m2，點C在x軸負(fù)半軸，點C（2m，0）；（2）如圖2，過B點作BKy軸于點K，則AKB90，BAC90，BAK+CAK90，且BAK+ABK90，CAKABK，點A（0，2），B（2，m），AOBK2，OHm，AOBK，CAKABK，AOCAKB90，ABKCAO（AAS）COAK2m，C點的坐標(biāo)（x，0），COx2m，點B是第三象限內(nèi)的一個點，m0，2m2，x2；（3）如圖3，在AB上截取BNBF，BD是ABC的平分線，ABECBE，且BEBE，BFBN，BEFBEN（SAS）EFEN，CE+EFCE+EN，當(dāng)C，E，F(xiàn)三點共線，且N與點A重合時，CE+EF有最小值，此時最小值為AC，由（1）可知：點C（2m，0）；且m3，點C（1，0），CO1，AC，CE+EF的最小值為