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1、考點(diǎn)10 反比例函數(shù) 一、反比例函數(shù)的概念 1．反比例函數(shù)的概念 一般地，函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）叫做反比例函數(shù)．反比例函數(shù)的解析式也可以寫成的形式．自變量x的取值范圍是x≠0的一切實(shí)數(shù)，函數(shù)的取值范圍也是一切非零實(shí)數(shù)． 2．反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k0）中x，y的取值范圍 反比例函數(shù)（k是常數(shù)，k≠0）的自變量x的取值范圍是不等于0的任意實(shí)數(shù)，函數(shù)值y的取值范圍也是非零實(shí)數(shù)． 二、反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1．反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) （1）圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，它有兩個(gè)分支，這兩個(gè)分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函數(shù)中自變量x≠0，函數(shù)y≠0，

2、所以，它的圖象與x軸、y軸都沒有交點(diǎn)，即雙曲線的兩個(gè)分支無限接近坐標(biāo)軸，但永遠(yuǎn)達(dá)不到坐標(biāo)軸． （2）性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。? 當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)圖象的兩個(gè)分支分別在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 表達(dá)式 （k是常數(shù)，k≠0） k k>0 k<0 大致圖象 所在象限 第一、三象限 第二、四象限 增減性 在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小 在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大 2．反比例函數(shù)圖象的對稱性 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，其對稱軸為直線y=x和y=-x

3、，對稱中心為原點(diǎn)． 3．注意 （1）畫反比例函數(shù)圖象應(yīng)多取一些點(diǎn)，描點(diǎn)越多，圖象越準(zhǔn)確，連線時(shí)，要注意用平滑的曲線連接各點(diǎn)． （2）隨著|x|的增大，雙曲線逐漸向坐標(biāo)軸靠近，但永遠(yuǎn)不與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中x≠0且y≠0． （3）反比例函數(shù)的圖象不是連續(xù)的，因此在談到反比例函數(shù)的增減性時(shí)，都是在各自象限內(nèi)的增減情況．當(dāng)k>0時(shí)，在每一象限（第一、三象限）內(nèi)y隨x的增大而減小，但不能籠統(tǒng)地說當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而減?。瑯?，當(dāng)k<0時(shí)，也不能籠統(tǒng)地說y隨x的增大而增大． 三、反比例函數(shù)解析式的確定 1．待定系數(shù)法 確定解析式的方法仍是待定系數(shù)法，由于在反比例函數(shù)中，只有一

4、個(gè)待定系數(shù)，因此只需要一對對應(yīng)值或圖象上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出k的值，從而確定其解析式． 2．待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式的一般步驟 （1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為（k≠0）； （2）把已知一對x，y的值代入解析式，得到一個(gè)關(guān)于待定系數(shù)k的方程； （3）解這個(gè)方程求出待定系數(shù)k； （4）將所求得的待定系數(shù)k的值代回所設(shè)的函數(shù)解析式． 四、反比例函數(shù)中|k|的幾何意義 1．反比例函數(shù)圖象中有關(guān)圖形的面積 2．涉及三角形的面積型 當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)結(jié)合時(shí)，可通過面積作和或作差的形式來求解． （1）正比例函數(shù)與一次函數(shù)所圍成的三角形面積.如圖①，S△ABC=2S△ACO=|

5、k|； （2）如圖②，已知一次函數(shù)與反比例函數(shù)交于A、B兩點(diǎn)，且一次函數(shù)與x軸交于點(diǎn)C，則S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=； （3）如圖③，已知反比例函數(shù)的圖象上的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為，，C為AB延長線與x軸的交點(diǎn)，則S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=． 五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合 1．涉及自變量取值范圍型 當(dāng)一次函數(shù)與反比例函數(shù)相交時(shí)，聯(lián)立兩個(gè)解析式，構(gòu)造方程組，然后求出交點(diǎn)坐標(biāo)．針對時(shí)自變量x的取值范圍，只需觀察一次函數(shù)的圖象高于反比例函數(shù)圖象的部分所對應(yīng)的x的范圍.例如，如下圖，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或；同理，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或． 2．求一次函數(shù)與反

6、比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo) （1）從圖象上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)由k值的符號(hào)來決定. ①k值同號(hào)，兩個(gè)函數(shù)必有兩個(gè)交點(diǎn)； ②k值異號(hào)，兩個(gè)函數(shù)可能無交點(diǎn)，可能有一個(gè)交點(diǎn)，也可能有兩個(gè)交點(diǎn)； （2）從計(jì)算上看，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)主要取決于兩函數(shù)所組成的方程組的解的情況． 六、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍． 考向一 反比例函數(shù)的定義 1．反比例函數(shù)的表達(dá)式中，等號(hào)左邊是函數(shù)值y，等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的分式，分子是不為零的常數(shù)k，分母不能是多項(xiàng)式，只能是x的一次單項(xiàng)式． 2．

7、反比例函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：①k≠0；②以分式形式呈現(xiàn)；③在分母中x的指數(shù)為1． 典例1 下列函數(shù)中，y與x之間是反比例函數(shù)關(guān)系的是 A．xy= B．3x+2y=0 C．y= D．y= 【答案】A 【解析】A、xy=屬于反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)正確； B、3x+2y=0是一次函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、y=（k≠0），不屬于反比例函數(shù)，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、y=，是y與x+1成反比例，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選A． 1．下列函數(shù)：①；②；③；④中，是反比例函數(shù)的有 A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 考向二 反比例函數(shù)的圖象和

8、性質(zhì) 當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)的圖象在第一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右下降，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。? 當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)的圖象在第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，曲線從左向右上升，也就是在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 雙曲線是由兩個(gè)分支組成的，一般不說兩個(gè)分支經(jīng)過第一、三象限（或第二、四象限），而說圖象的兩個(gè)分支分別在第一、三象限（或第二、四象限）． 典例2 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=﹣x+k與y=（k為常數(shù)，且k≠0）的圖象大致是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵函數(shù)y=﹣x+k與y=（k為常數(shù)，且k≠0），∴當(dāng)k>0時(shí)，y=﹣x+k經(jīng)過

9、第一、二、四象限，y=經(jīng)過第一、三象限，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，當(dāng)k<0時(shí)，y=﹣x+k經(jīng)過第二、三、四象限，y=經(jīng)過第二、四象限，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，故選C． 典例3 反比例函數(shù)的圖象在 A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【解析】因?yàn)?，故圖象在第二、四象限，故選D． 典例4 已知點(diǎn)A（1，m），B（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵反比例函數(shù)，它的圖象經(jīng)過A（1，m），B（2，n）兩點(diǎn)，∴m=k<0，n=<0，∴，故選A．

10、 2．對于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是 A．這個(gè)函數(shù)的圖象位于第一、第三象限 B．這個(gè)函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形 C．當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大 D．當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小 3．下列函數(shù)中，當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小的是 A．y=x B．y=2x–1 C．y= D．y=– 4．如圖是三個(gè)反比例函數(shù)y=，y=，y=在x軸上方的圖象，由此觀察得到k1，k2，k3的大小關(guān)系為 A．k1>k2>k3 B．k3>k2>k1 C．k2>k3>k1 D．k3>k1>k2 考向三 反比例函數(shù)解析式的確定 1．反比例函數(shù)的解

11、析式（k≠0）中，只有一個(gè)待定系數(shù)k，確定了k值，也就確定了反比例函數(shù)，因此要確定反比例函數(shù)的解析式，只需給出一對x，y的對應(yīng)值或圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入中即可． 2．確定點(diǎn)是否在反比例函數(shù)圖象上的方法：（1）把點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入解析式，求出y的值，若所求值等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)在圖象上；若所求值不等于點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則點(diǎn)不在圖象上．（2）把點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相乘，若乘積等于k，則點(diǎn)在圖象上，若乘積不等于k，則點(diǎn)不在圖象上． 典例5 若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】設(shè)反比例函數(shù)為：．∵反比例函數(shù)的圖

12、象經(jīng)過點(diǎn)（3，-2），∴k=3×（-2）=-6．故反比例函數(shù)為：，故選B． 典例6 如圖，某反比例函數(shù)的圖象過點(diǎn)M（-2，1），則此反比例函數(shù)表達(dá)式為 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 【答案】B 【解析】設(shè)反比例函數(shù)表達(dá)式為y=，把M（，1）代入y=得，k=（-2）×1=-2，∴，故選B． 典例7 如圖，C1是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)的圖象，且過點(diǎn)A（2，1），C2與C1關(guān)于x軸對稱，那么圖象C2對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為__________（x>0）． 【答案】y=– 【解析】∵C2與C1關(guān)于x軸對稱， ∴點(diǎn)A關(guān)于x軸的對

13、稱點(diǎn)A′在C2上， ∵點(diǎn)A（2，1）， ∴A′坐標(biāo)（2，–1）， ∴C2對應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式為y=–， 故答案為y=–． 5．已知反比例函數(shù)y=-，下列各點(diǎn)中，在其圖象上的有 A．（-2，-3） B．（2，3） C．（2，-3） D．（1，6） 6．點(diǎn)A為反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，它到原點(diǎn)的距離為5，則x軸的距離為3，若點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，則這個(gè)函數(shù)的解析式為 A．y= B．y=- C．y= D．y=- 7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上，把點(diǎn)P向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)Q，

14、則經(jīng)過點(diǎn)Q的反比例函數(shù)的表達(dá)式為__________． 考向四 反比例函數(shù)中k的幾何意義 三角形的面積與k的關(guān)系 （1）因?yàn)榉幢壤瘮?shù)中的k有正負(fù)之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面積時(shí)，都應(yīng)加上絕對值符號(hào)． （2）若三角形的面積為|k|，滿足條件的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為原點(diǎn)，反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)及過此點(diǎn)向坐標(biāo)軸所作垂線的垂足． 典例8 如圖，矩形ABOC的頂點(diǎn)B、C分別在x軸，y軸上，頂點(diǎn)A在第二象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0）．將線段OC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至線段OD，若反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過A、D兩點(diǎn)，則k值為__________． 【答案】﹣ 【

15、解析】如圖，過點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E， ∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，0），∴AB=﹣，∴OC=﹣， 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知OD=OC=﹣，∠COD=60°，∴∠DOE=30°， ∴DE=OD=﹣k，OE=OD·cos30°=×（﹣）=﹣k， 即D（﹣k，﹣k）， ∵反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象經(jīng)過D點(diǎn)， ∴k=（﹣k）（﹣k）=k2， 解得：k=0（舍）或k=﹣，故答案為：﹣． 典例9 如圖，已知雙曲線經(jīng)過直角三角形OAB斜邊OB的中點(diǎn)D，與直角邊AB相交于點(diǎn)C，若 △OBC的面積為9，則k=__________． 【答案】6 【解析】如圖，過點(diǎn)D作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)E，

16、 ∵△ODE的面積和△OAC的面積相等． ∴△OBC的面積和四邊形DEAB的面積相等且為9． 設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)就為， ∵D為OB的中點(diǎn)．∴EA=x，AB=， ∴四邊形DEAB的面積可表示為：（+）x=9；k=6． 故答案為：6． 【名師點(diǎn)睛】過反比例函數(shù)圖象上的任一點(diǎn)分別向兩坐標(biāo)軸作垂線段，垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積等于|k|，結(jié)合函數(shù)圖象所在的象限可以確定k的值，反過來，根據(jù)k的值，可以確定此矩形的面積．在解決反比例函數(shù)與幾何圖形綜合題時(shí)，常常需要考慮是否能用到k的幾何意義，以簡化運(yùn)算． 8．如圖，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的圖象上，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向軸作垂線段

17、，已知，則 A．8 B．6 C．5 D．4 9．如圖，點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)y=（x>0）圖象上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)A，B分別作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸于點(diǎn)D，連接OA、BC，已知點(diǎn)C（2，0），BD=3，S△BCD=3，則S△AOC為 A．2 B．3 C．4 D．6 10．如圖，等腰三角形ABC的頂點(diǎn)A在原點(diǎn)，頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)C在函數(shù)y=（x>0）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且AC=BC，則△ABC的面積大小變化情況是 A．一直不變 B．先增大后減小 C．先減小后增大 D．先增大后不變 考向五

18、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合 反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合的主要題型： （1）利用k值與圖象的位置的關(guān)系，綜合確定系數(shù)符號(hào)或圖象位置； （2）已知直線與雙曲線表達(dá)式求交點(diǎn)坐標(biāo)； （3）用待定系數(shù)法確定直線與雙曲線的表達(dá)式； （4）應(yīng)用函數(shù)圖象性質(zhì)比較一次函數(shù)值與反比例函數(shù)值的大小等． 解題時(shí)，一定要靈活運(yùn)用一次函數(shù)與反比例函數(shù)的知識(shí)，并結(jié)合圖象分析、解答問題． 典例10 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)y=x的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)是 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 【答案】A 【解析】∵y=x的圖象是過原點(diǎn)經(jīng)過一、三象限，的圖

19、象在第二、四象限內(nèi)，但不過原點(diǎn)，∴兩個(gè)函數(shù)圖象不可能相交，故選A． 典例11 已知一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則當(dāng)y13 C．-13 【答案】B 【解析】根據(jù)圖象知，一次函數(shù)y1=kx+b與反比例函數(shù)y2=的交點(diǎn)是（-1，3），（3，-1），∴當(dāng)y13，故選B． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)，把不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的高低是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 典例12

20、 如圖，已知直線y=–x+與雙曲線y=（x>0）交于A、B兩點(diǎn)，連接OA，若OA⊥AB，則k的值為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，過A作AE⊥OD于E， ∵直線解析式為y=–x+，∴C（0，），D（3，0）， ∴OC=，OD=3，∴Rt△COD中，CD==10， ∵OA⊥AB，∴CO×DO=CD×AO， ∴AO=3，∴AD==9， ∵OD×AE=AO×AD，∴AE=， ∴Rt△AOE中，OE===， ∴A（，）， ∴代入雙曲線y=，可得k=×=， 故選B． 11．已知反比例函數(shù)y=（k≠0），當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，那么一

21、次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過 A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 12．如圖，已知A（–4，n），B（2，–4）是一次函數(shù)y=kx+b和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)． （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式； （2）求△AOB的面積． 考向六 反比例函數(shù)的應(yīng)用 用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的步驟 （1）審：審清題意，找出題目中的常量、變量，并理清常量與變量之間的關(guān)系； （2）設(shè)：根據(jù)常量與變量之間的關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式，待定的系數(shù)用字母表示； （3）列：由題目中的已知

22、條件列出方程，求出待定系數(shù)； （4）寫：寫出函數(shù)解析式，并注意解析式中變量的取值范圍； （5）解：用函數(shù)解析式去解決實(shí)際問題． 典例13 某化工車間發(fā)生有害氣體泄漏，自泄漏開始到完全控制利用了40min，之后將對泄漏有害氣體進(jìn)行清理，線段DE表示氣體泄漏時(shí)車間內(nèi)危險(xiǎn)檢測表顯示數(shù)據(jù)y與時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系（0≤x≤40），反比例函數(shù)y=對應(yīng)曲線EF表示氣體泄漏控制之后車間危險(xiǎn)檢測表顯示數(shù)據(jù)y與時(shí)間x（min）之間的函數(shù)關(guān)系（40≤x≤？）．根據(jù)圖象解答下列問題： （1）危險(xiǎn)檢測表在氣體泄漏之初顯示的數(shù)據(jù)是__________； （2）求反比例函數(shù)y=__________

23、的表達(dá)式，并確定車間內(nèi)危險(xiǎn)檢測表恢復(fù)到氣體泄漏之初數(shù)據(jù)時(shí)對應(yīng)x的值． 【解析】（1）當(dāng)0≤x≤40時(shí)，設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=ax+b， （10，35）和（30，65）在y=ax+b的圖象上， 把（10，35）和（30，65）代入y=ax+b，得 ，得， ∴y=1.5x+20， 當(dāng)x=0時(shí)，y=1.5×0+20=20， 故答案為：20； （2）將x=40代入y=1.5x+20，得y=80，∴點(diǎn)E（40，80）， ∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴80=，得k=3200， 即反比例函數(shù)y=， 當(dāng)y=20時(shí)，20=，得x=160， 即車間內(nèi)危險(xiǎn)檢測表恢復(fù)到氣體

24、泄漏之初數(shù)據(jù)時(shí)對應(yīng)x的值是160． 13．如圖為某種材料溫度y（℃）隨時(shí)間x（min）變化的函數(shù)圖象．已知該材料初始溫度為15℃，溫度上升階段y與時(shí)間x成一次函數(shù)關(guān)系，且在第5分鐘溫度達(dá)到最大值60℃后開始下降；溫度下降階段，溫度y與時(shí)間x成反比例關(guān)系． （1）分別求該材料溫度上升和下降階段，y與x間的函數(shù)關(guān)系式； （2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度高于30℃時(shí)，可以進(jìn)行產(chǎn)品加工，問可加工多長時(shí)間？ 1．下列函數(shù)中，y是x的反比例函數(shù)的是 A．x(y–1)=1 B． 2．已知反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、三

25、象限，則k的取值范圍是 A．k>8 B．k≥8 C．k≤8 D．k<8 3．如圖，直線l⊥x軸于點(diǎn)P，且與反比例函數(shù)y1=（x>0）及y2=（x>0）的圖象分別交于點(diǎn)A，B，連接OA，OB，已知△OAB的面積為2，則k1-k2的值為 A．2 B．3 C．4 D．-4 4．若點(diǎn)A（–5，y1），B（–3，y2），C（2，y3）在反比例函數(shù)的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 A．y1

26、，且c≠0）的圖象相交于A（-3，-2），B（2，3）兩點(diǎn)，則不等式y(tǒng)1>y2的解集是 A．-32 C．-32 D．00，a為常數(shù))和y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)M在y=的圖象上，MC⊥x軸于點(diǎn)C，交y=的圖象于點(diǎn)A；MD⊥y軸于點(diǎn)D，交y=的圖象于點(diǎn)B．當(dāng)點(diǎn)M在y=的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①S△ODB=S△OCA；②四邊形OAMB的面積不變；③當(dāng)點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)時(shí)，則點(diǎn)B是

27、MD的中點(diǎn)．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè) 8．如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別落在x、y軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，4），反比例函數(shù)y=的圖象與AB邊交于點(diǎn)D，與BC邊交于點(diǎn)E，連接DE，將△BDE沿DE翻折至△B'DE處，點(diǎn)B'恰好落在正比例函數(shù)y=kx圖象上，則k的值是 A．- B．- C．- D．- 9．已知、在同一個(gè)反比例函數(shù)圖像上，則__________． 10．如圖，直線分別與反比例函數(shù)和的圖象交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)P，且P為線段AB的中點(diǎn)，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，BD⊥x軸交于點(diǎn)D，則四邊形A

28、BCD的面積是__________． 11．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AD邊在x軸負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y=（x<0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B和CD邊中點(diǎn)E，則k的值為__________． 12．如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)（k>0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足C，D分別在x軸的正、負(fù)半軸上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中點(diǎn)，且△BCE的面積是△ADE的面積的2倍，則k的值是__________． 13．如圖，已知反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=x+b的圖象在第一象限相交于點(diǎn)A（1，-k+4）． （1）試確定這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； （2）求出這兩個(gè)函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)

29、B的坐標(biāo)，并根據(jù)圖象寫出使反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值的x的取值范圍． 14．如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)． （1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （2）求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積； （3）求方程的解集（請直接寫出答案）． 15．一般情況下，中學(xué)生完成數(shù)學(xué)家庭作業(yè)時(shí)，注意力指數(shù)隨時(shí)間x（分鐘）的變化規(guī)律如圖所示（其中AB、BC為線段，CD為雙曲線的一部分）． （1）分別求出線段AB和雙曲線CD的函數(shù)關(guān)系式； （2）若學(xué)生的注意力指數(shù)不低于

30、40為高效時(shí)間，根據(jù)圖中信息，求出一般情況下，完成一份數(shù)學(xué)家庭作業(yè)的高效時(shí)間是多少分鐘？ 1．（2019?安徽）已知點(diǎn)A（1，–3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'在反比例函數(shù)y=的圖象上，則實(shí)數(shù)k的值為 A．3 B． C．–3 D．– 2．（2019?廣西）若點(diǎn)（–1，y1），（2，y2），（3，y3）在反比例函數(shù)y=（k<0）的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是 A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1 C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1 3．（2019·鄂州）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=﹣x+k與y=（k為常數(shù)，且k≠0

31、）的圖象大致是 A． B． C． D． 4．（2019?河北）如圖，函數(shù)y=的圖象所在坐標(biāo)系的原點(diǎn)是 A．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q 5．（2019?黑龍江）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=上，頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=上，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，則平行四邊形OABC的面積是 A． B． C．4 D．6 6．（2019?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（a，b）（a>0，b>0）在雙曲線y=上，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)B在雙曲線y=，則k1+k2的值為__________． 7．（2019?山西）如圖，在平面

32、直角坐標(biāo)中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形ABCD的頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)A坐標(biāo)為（–4，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（–1，4），反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為__________． 8．（2019?福建）如圖，菱形ABCD頂點(diǎn)A在函數(shù)y=（x>0）的圖象上，函數(shù)y=（k>3，x>0）的圖象關(guān)于直線AC對稱，且經(jīng)過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)，若AB=2，∠BAD=30°，則k=__________． 9．（2019?吉林）已知y是x的反比例函數(shù)，并且當(dāng)x=2時(shí)，y=6． （1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式； （2）當(dāng)x=4時(shí)，求y的值． 10．（2019?廣東）如圖，一次函數(shù)y=k1x

33、+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（–1，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，n）． （1）根據(jù)圖象，直接寫出滿足k1x+b>的x的取值范圍； （2）求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式； （3）點(diǎn)P在線段AB上，且S△AOP∶S△BOP=1∶2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 變式拓展 1．【答案】C 【解析】①不是正比例函數(shù)，②③④是反比例函數(shù)，故選C． 2．【答案】C 【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可由題意知k=4>0，其圖象在一三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小，它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選C． 3．【答案】C 【解析】A、為一次函

34、數(shù)，k的值大于0，y隨x的增大而增大，不符合題意； B、為一次函數(shù)，k的值大于0，y隨x的增大而增大，不符合題意； C、為反比例函數(shù)，k的值大于0，x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，符合題意； D、為反比例函數(shù)，k的值小于0，x<0時(shí)，y隨x的增大而增大，不符合題意； 故選C． 4．【答案】B 【解析】由圖知，y=的圖象在第二象限，y=，y=的圖象在第一象限，∴k1<0，k2>0，k3>0，又當(dāng)x=1時(shí)，有k2k2>k1，故選B． 5．【答案】C 【解析】∵反比例函數(shù)y=-中，k=-6，∴只需把各點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相乘，結(jié)果為-6的點(diǎn)在函數(shù)圖象上，四個(gè)選項(xiàng)中只有C選項(xiàng)符合，

35、故選C． 6．【答案】B 【解析】設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）．∵A點(diǎn)到x軸的距離為3，∴|y|=3，y=±3．∵A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5，∴x2＋y2=52，解得x=±4，∵點(diǎn)A在第二象限，∴x=-4，y=3，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，3），設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=，∴k=-4×3=-12，∴反比例函數(shù)的解析式為y=，故選B． 7．【答案】y= 【解析】∵點(diǎn)P（2，a）在反比例函數(shù)y=的圖象上， ∴代入得：a==1， 即P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1）， ∵把點(diǎn)P向上平移2個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位得到點(diǎn)Q， ∴Q的坐標(biāo)是（5，3）， 設(shè)經(jīng)過點(diǎn)Q的反比例函數(shù)的解析式是y=， 把Q點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

36、：c=15， 即y=， 故答案為：y=． 8．【答案】B 【解析】∵點(diǎn)A、B是雙曲線y=上的點(diǎn)，分別經(jīng)過A、B兩點(diǎn)向x軸、y軸作垂線段，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象的性質(zhì)得兩個(gè)矩形的面積都等于|k|=4，∴S1+S2=4+4-1×2=6，故選B． 9．【答案】D 【解析】在Rt△BCD中， ∵×CD×BD=3，∴×CD×3=3，∴CD=2， ∵C（2，0），∴OC=2，∴OD=4，∴B（4，3）， ∵點(diǎn)B是反比例函數(shù)y=（x>0）圖象上的點(diǎn)，∴k=12， ∵AC⊥x軸，∴S△AOC==6，故選D． 10．【答案】A 【解析】如圖，作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D，則S△ACD=，∵A

37、C=BC，∴AD=BD，∴S△ACD=S△BCD， ∴S△ABC=2S△ACD=2×=k，∴△ABC的面積不變，故選A． 11．【答案】B 【解析】∵當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴反比例函數(shù)（k≠0）的圖象在二、四象限，∴k<0， ∴一次函數(shù)y=kx-k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選B． 12．【解析】（1）∵B（2，–4）在y=圖象上， ∴m=–8． ∴反比例函數(shù)的解析式為y=–． ∵點(diǎn)A（–4，n）在y=–圖象上， ∴n=2， ∴A（–4，2）． ∵一次函數(shù)y=kx+b圖象經(jīng)過A（–4，2），B（2，–4）， ∴，解得． ∴一次函數(shù)的解析式為y=–x–2

38、； （2）如圖，令一次函數(shù)y=–x–2的圖象與y軸交于C點(diǎn)， 當(dāng)x=0時(shí)，y=–2， ∴點(diǎn)C（0，–2）． ∴OC=2， ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6． 13．【解析】（1）當(dāng)0≤x<5時(shí)，為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b， 由于一次函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，15），（5，60）， 所以，解得：， 所以y=9x+15， 當(dāng)x≥15時(shí)，為反比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：y=， 由于圖象過點(diǎn)（5，60），所以m=300． 則y=； （2）當(dāng)0≤x<5時(shí)，y=9x+15=30，得x=， 因?yàn)閥隨x的增大而增大，所以x>， 當(dāng)x≥5時(shí)，y

39、==30， 得x=10，因?yàn)閥隨x的增大而減小， 所以x<10，10–=． 答：可加工min． 考點(diǎn)沖關(guān) 1．【答案】C 【解析】由反比例函數(shù)的定義知，是y關(guān)于x的反比例函數(shù)，其余的不是y關(guān)于x的反比例函數(shù).故選C． 2．【答案】A 【解析】∵反比例函數(shù)y=的圖象位于第一、三象限，∴k–8>0，解得k>8，故選A． 3．【答案】C 【解析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：△AOP的面積為，△BOP的面積為， ∴△AOB的面積為?， ∴?=2，∴k1–k2=4，故選C． 4．【答案】B 【解析】∵點(diǎn)（–5，y1）、（–3，y2）、（2，y3）都在反比例函數(shù)y=上，

40、 ∴y1=–，y2=–1，y3=． ∵–<–1<，∴y2y2的解集是-32， 故選C． 6．【答案】C 【解析】A．由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0， ∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)不正確； B．由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸正半軸，則b>0，滿足ab<0， ∴a?b<0，∴

41、反比例函數(shù)y=的圖象過二、四象限，所以此選項(xiàng)不正確； C．由一次函數(shù)圖象過一、三象限，得a>0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab<0， ∴a?b>0，∴反比例函數(shù)y=的圖象過一、三象限，所以此選項(xiàng)正確； D．由一次函數(shù)圖象過二、四象限，得a<0，交y軸負(fù)半軸，則b<0，滿足ab>0，與已知相矛盾， 所以此選項(xiàng)不正確，故選C． 7．【答案】D 【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與系數(shù)k的意義，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有x1y1=x2y2=2可知S△ODB=S△OCA=1，故①正確；同樣可知四邊形OCMD的面積為a，因此四邊形OAMB的面積為a–2，故不會(huì)發(fā)生變化，故②正確；

42、當(dāng)點(diǎn)A是MC的中點(diǎn)時(shí)，y2=2y1，代入x1y2=a中，得2x1y1=a，a=4，由題得，整理得x1=2x2，因此B為MD的中點(diǎn)，故③正確，故選D． 8．【答案】B 【解析】∵矩形OABC，∴CB∥x軸，AB∥y軸，∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（6，4），∴D的橫坐標(biāo)為6，E的縱坐標(biāo)為4，∵D，E在反比例函數(shù)y=的圖象上，∴D（6，1），E（，4），∴BE=6-=，BD=4-1=3，∴ED==，連接BB′，交ED于F，過B′作B′G⊥BC于G，∵B，B′關(guān)于ED對稱，∴BF=B′F，BB′⊥ED，∴BF?ED=BE?BD，即BF=3×，∴BF=，∴BB′=，設(shè)EG=x，則BG=-x，∵BB′2-BG2=B

43、′G2=EB′2-GE2，∴（）2-（-x）2=（）2-x2，∴x=，∴EG=，∴CG=，∴B′G=，∴B′（，-），∴k=-，故選B． 9．【答案】 【解析】設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將、分別代入，得 ，， ∴， 故答案為：． 10．【答案】5 【解析】如圖，過點(diǎn)作軸，垂足于點(diǎn)；過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)． ∵點(diǎn)是中點(diǎn)，∴．易得△APF≌△BPE， ∴,∴，故答案為5． 11．【答案】-4 【解析】∵正方形ABCD的邊長為2，∴AB=AD=2，設(shè)B（，2），∵E是CD邊中點(diǎn)，∴E（-2，1），∴-2=k，解得k=-4，故答案為：-4． 12．【答案】 【解析】如圖，過點(diǎn)

44、B作直線AC的垂線交直線AC于點(diǎn)F， ∵△BCE的面積是△ADE的面積的2倍，E是AB的中點(diǎn)， ∴S△ABC=2S△BCE，S△ABD=2S△ADE， ∴S△ABC=2S△ABD，且△ABC和△ABD的高均為BF， ∴AC=2BD， ∴OD=2OC． ∵CD=k， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（，3），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（–，–）， ∴AC=3，BD=， ∴AB=2AC=6，AF=AC+BD=， ∴CD=k=．故答案為：． 13．【解析】（1）∵已知反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)A（1，-k+4）， ∴，即-k+4=k， ∴k=2，∴A（1，2）． ∵一次函數(shù)y=x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）

45、， ∴2=1+b，∴b=1， ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為， 一次函數(shù)的表達(dá)式為y=x+1． （2）由，消去y，得x2+x-2=0， 即（x+2）（x-1）=0， ∴x=-2或x=1． ∴y=-1或y=2． ∴或． ∵點(diǎn)B在第三象限， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，-1）， 由圖象可知，當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是x<-2或0

46、 解之得． ∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-2． （2）∵C是直線AB與x軸的交點(diǎn)， ∴當(dāng)y=0時(shí)，x=-2． ∴點(diǎn)C（-2，0）．∴OC=2． ∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×4=6． （3）不等式的解集為：-42． 15．【解析】（1）設(shè)線段AB所在的直線的解析式為y1=k1x+30， 把B（10，50）代入得，k1=2， ∴AB解析式為：y1=2x+30（0≤x≤10）． 設(shè)C、D所在雙曲線的解析式為， 把C（44，50）代入得，k2=2200， ∴曲線CD的解析式為：y2=（x≥44）； （2）將y=40代入y1=2x+30

47、得：2x+30=40，解得：x=5， 將y=40代入y2=得：x=55．55-5=50． 所以完成一份數(shù)學(xué)家庭作業(yè)的高效時(shí)間是50分鐘． 直通中考 1．【答案】A 【解析】點(diǎn)A（1，–3）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'的坐標(biāo)為（1，3），把A'（1，3）代入y=得k=1×3=3．故選A． 2．【答案】C 【解析】∵k<0，∴在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大，∴當(dāng)x=–1時(shí)，y1>0， ∵2<3，∴y20時(shí)，y=﹣x+k經(jīng)過第一、二、四象限，y=經(jīng)過第一、三象限，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

48、當(dāng)k<0時(shí)，y=﹣x+k經(jīng)過第二、三、四象限，y=經(jīng)過第二、四象限，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤，故選C． 4．【答案】A 【解析】由已知可知函數(shù)y=關(guān)于y軸對稱，所以點(diǎn)M是原點(diǎn)，故選A． 5．【答案】C 【解析】如圖，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于D，延長BA交y軸于E， ∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB∥OC，OA=BC， ∴BE⊥y軸，∴OE=BD，∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL）， 根據(jù)系數(shù)k的幾何意義，S矩形BDOE=5，S△AOE=， ∴四邊形OABC的面積=5––=4，故選C． 6．【答案】0 【解析】∵點(diǎn)A（a，b）（a>0，b>0）在雙曲線y=上，∴k1

49、=ab； 又∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，∴B（a，–b）， ∵點(diǎn)B在雙曲線y=上，∴k2=–ab；∴k1+k2=ab+（–ab）=0，故答案為：0． 7．【答案】16 【解析】過點(diǎn)C、D作CE⊥x軸，DF⊥x軸，垂足為E、F， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA， 易證△ADF≌△BCE， ∵點(diǎn)A（–4，0），D（–1，4）， ∴DF=CE=4，OF=1，AF=OA–OF=3， 在Rt△ADF中，AD=＝5， ∴OE=EF–OF=5–1=4，∴C（4，4），∴k=4×4=16，故答案為：16． 8．【答案】6+2 【解析】連接OC，AC，過A作AE⊥x軸

50、于點(diǎn)E，延長DA與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G， ∵函數(shù)y=（k>3，x>0）的圖象關(guān)于直線AC對稱， ∴O、A、C三點(diǎn)在同直線上，且∠COE=45°，∴OE=AE， 不妨設(shè)OE=AE=a，則A（a，a）， ∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=（x>0）的圖象上， ∴a2=3，∴a=，∴AE=OE=， ∵∠BAD=30°，∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°， ∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，∴AF==2，EF=AEtan30°=1， ∵AB=AD=2，∴AF=AD=2，又∵AE∥DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2， ∴OG=OE+EG=+1，∴D（

51、+1，2），∴k=2×（+1）=6+2． 故答案為：6+2． 9．【解析】（1）因?yàn)閥是x的反例函數(shù)， 所以設(shè)y=(k≠0)， 當(dāng)x=2時(shí)，y=6． 所以k=xy=12， 所以y=． （2）當(dāng)x=4時(shí)，y=3． 10．【解析】（1）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（–1，4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，n）． 由圖象可得：k1x+b>的x的取值范圍是x<–1或0