《全國(guó)2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 滾動(dòng)小專題（十一）與圓的有關(guān)計(jì)算與證明（答案不全）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《全國(guó)2018年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編 滾動(dòng)小專題（十一）與圓的有關(guān)計(jì)算與證明（答案不全）（103頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（分類）滾動(dòng)小專題（十一）與圓有關(guān)的計(jì)算與證明類型1 與圓的基本性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算與證明（2018安徽）20.如圖,O為銳角ABC的外接圓,半徑為5.（1）用尺規(guī)作圖作出BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡,不寫作法)；（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3,求弦CE的長(zhǎng).解：（1）畫圖略（2） AE平分BAC弧BE=弧EC，連接OE則OEBC于點(diǎn)F，EF=3連接OC、EC在RtOFC中，由勾股定理可得FC=在RtEFC中，由勾股定理可得CE=（2018湖州）21（8分）（2018湖州）如圖，已知AB是O的直徑，C，D是O上的點(diǎn)，OCBD，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BC（1）求證：A

2、E=ED；（2）若AB=10，CBD=36，求的長(zhǎng)（2018無錫）24、（本題滿分8分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓心O，AB=17，CD=10，A=90，cos B=，求AD的長(zhǎng)?！窘獯稹緿AABDAB=90在圓O中DCB=90延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，易證B=EDC在EAB中，EA=DA=EA-ED=625（10分）如圖，AB是以O(shè)為圓心的半圓的直徑，半徑COAO，點(diǎn)M是上的動(dòng)點(diǎn)，且不與點(diǎn)A、C、B重合，直線AM交直線OC于點(diǎn)D，連結(jié)OM與CM（1）若半圓的半徑為10當(dāng)AOM=60時(shí)，求DM的長(zhǎng)；當(dāng)AM=12時(shí)，求DM的長(zhǎng)（2）探究：在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過程中，DMC的大小是否為定值？若是，求出該定

3、值；若不是，請(qǐng)說明理由【解答】解：（1）當(dāng)AOM=60時(shí)，OM=OA，AMO是等邊三角形，A=MOA=60，MOD=30，D=30，DM=OM=10過點(diǎn)M作MFOA于點(diǎn)F，設(shè)AF=x，OF=10x，AM=12，OA=OM=10，由勾股定理可知：122x2=102（10x）2x=，AF=，MFOD，AMFADO，AD=MD=ADAM=（2）當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，連接BC，C是的重點(diǎn)，B=45，四邊形AMCB是圓內(nèi)接四邊形，此時(shí)CMD=B=45，當(dāng)點(diǎn)M位于之間時(shí)，連接BC，由圓周角定理可知：CMD=B=45綜上所述，CMD=45（2018溫州）22.（本題10分）如圖，D是ABC的BC邊上一點(diǎn)，連接A

4、D，作ABD的外接圓，將ADC沿直線AD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在上.（1）求證：AE=AB.（2）若CAB=90，cosADB=，BE=2，求BC的長(zhǎng).（2018臺(tái)州）24.如圖，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)在上，點(diǎn)在弦上（不與重合），且四邊形為菱形.（1）求證：；（2）求證：；（3）已知的半徑為3.若，求的長(zhǎng)；當(dāng)為何值時(shí)，的值最大？（2018南通）28.如圖，的直徑，是上（不與點(diǎn)重合）的任一點(diǎn)，點(diǎn)為上的兩點(diǎn).若，則稱為直徑的“回旋角”.（1）若，則是直徑的 “回旋角”嗎？并說明理由；（2）若的長(zhǎng)為，求“回旋角”的度數(shù)；（3）若直徑的“回旋角”為，且的周長(zhǎng)為，直接寫出的長(zhǎng).解：28（1）是； （2）45

5、； （3）3或23（2018湘潭）（2018南京）26.如圖，在正方形中，是上一點(diǎn)，連接.過點(diǎn)作，垂足為.經(jīng)過點(diǎn)、，與相交于點(diǎn).（1）求證；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為，求的半徑（2018黃岡）18. 如圖，是的直徑，為的弦，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過點(diǎn)的切線交于點(diǎn).（1）求證：.（2）若，求線段的長(zhǎng).（2018宜昌）21. 如圖，在中，. 以為直徑的半圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn).延長(zhǎng)至點(diǎn)，使,連接.(1)求證:四邊形是菱形；(2) 若，求半圓和菱形的面積.21.(1)證明：為半圓的直徑，,又,四邊形是平行四邊形.又,（或，）平行四邊形是菱形.(2)解：,設(shè)，則，解法一：連接，（如圖）圖1為半圓的直徑，,或（舍去）

6、解法二：連接.（如圖）圖2四邊形是圓內(nèi)接四邊形或（舍去）解法三：如圖1，連接，為半徑的直徑，可證或（舍去）,（2018福建）（2018張家界）20、（本小題滿分6分）如圖，點(diǎn)是的直徑延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且=4,點(diǎn)為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與重合),射線與交于點(diǎn)(不與重合)(1) 當(dāng)在什么位置時(shí),的面積最大,并求岀這個(gè)最大值；(2)求證:.20.解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在 AB弧的中點(diǎn)處時(shí)， 最大 1分 （其它表述合理均給分） 因?yàn)榇藭r(shí)： 2分 3分 （2） 4分 5分 6分（2018貴陽）23.（本題滿分 10 分）如圖，AB 為 O 的直徑，,，且 ， AB = 4 ，點(diǎn) C 在半圓上，OC AB ， 垂足為點(diǎn) O

7、 ， P 為半圓上任意一點(diǎn)，過 P 點(diǎn)作 PE OC 于點(diǎn) E，設(shè) DOPE 的內(nèi)心為 M ,連接 OM、PM .（1）求 OMP 的度數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長(zhǎng).103【解】（1） PE OC PEO = 90 EPO + EOP = 90 M 是 DOPE 的內(nèi)心 EOM = POM，EPM = OPM POM + OPM = 1 (EPO + EOP) = 452在 DPOM 中， OMP = 180 - (POM + OPM ) = 180 - 45 = 135（2）連接 CM ，作過 O、M、C 三點(diǎn)的外接圓，即 N ，連接 N

8、C、NO ，在 N的優(yōu)弧上任取一點(diǎn) H ，連接 HC、HO .如圖所示：由題意知： OP = OC，POM = COM，OM = OM DPOM DCOM OMP = OMC = 135在 N 的內(nèi)接四邊形 CMOH 中， H = 180 - OMC = 180 - 135 = 45 N = 2 45 = 90由題意知： OC = 1 AB = 1 4 = 222在等腰直角三角形 CNO 中， NC = NO由勾股定理得： NC 2 + NO 2 = OC 2 即 2 NC 2 = 22 NC = 2當(dāng)點(diǎn) P 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 在上運(yùn)動(dòng)90 p的長(zhǎng)為：180與關(guān)于 OC 對(duì)稱2 = 2 p2

9、當(dāng)點(diǎn) P 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 所在弧上的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)與當(dāng)點(diǎn) P 在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) M 在上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)相等當(dāng)點(diǎn) P 在半圓上從點(diǎn) B 運(yùn)動(dòng)到點(diǎn) A 時(shí)，求內(nèi)心 M 所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為：2 2 p = 2p2（2018遵義）25. (12 分)如圖，AB 是半圓 O 的直徑，C 是 AB 延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，AC 的垂直平分線交半圓于點(diǎn)D，交 AC 于點(diǎn) E，連接 DA，DC.已知半圓 0 的半徑為 3，BC=2.(1) 求 AD 的長(zhǎng).(2) 點(diǎn) P 是線段 AC 上一動(dòng)點(diǎn)，連接 DP，作DPF=DAC，PF 交線段 CD 于點(diǎn) F.當(dāng)DPF 為等腰三角形時(shí)，求 AP 的長(zhǎng).（2018哈爾濱）類型2 與切

10、線有關(guān)的計(jì)算與證明（2018十堰）23.如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）求證：是的切線；（2）若，求的值.（2018德州）22.如圖,是的直徑,直線與相切于點(diǎn),且與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn).點(diǎn)是的中點(diǎn).(1)求證:(2)若.的半徑為3，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著爬回至點(diǎn),求螞蟻爬過的路程結(jié)果保留一位小數(shù).（2018綿陽）如圖，AB是的直徑，點(diǎn)D在上（點(diǎn)D不與A，B重合），直線AD交過點(diǎn)B的切線于點(diǎn)C，過點(diǎn)D作的切線DE交BC于點(diǎn)E。（1） 求證：BE=CE；（2） 若DE平行AB，求的值。（2018濱州）22.如圖，為的直徑,點(diǎn)在上,于點(diǎn),且平分.求證;(1)直線是的切

11、線;(2).（2018內(nèi)江）26.如圖，以的直角邊為直徑作交斜邊于點(diǎn)，過圓心作，交于點(diǎn)，連接.（1）判斷與的位置關(guān)系并說明理由；（2）求證：；（3）若，求的長(zhǎng).（2018內(nèi)江）如圖，以RtABC的直角邊AB為直徑作O交斜邊AC于點(diǎn)D，過圓心O作OEAC，交BC于點(diǎn)E，連接DE（1）判斷DE與O的位置關(guān)系并說明理由；（2）求證：2DE2=CDOE；（3）若tanC=，DE=，求AD的長(zhǎng)【解答】解：（1）DE是O的切線，理由：如圖，連接OD，BD，AB是O的直徑，ADB=BDC=90，OEAC，OA=OB，BE=CE，DE=BE=CE，DBE=BDE，OB=OD，OBD=ODB，ODE=OBE=9

12、0，點(diǎn)D在O上，DE是O的切線；（2）BCD=ABC=90，C=C，BCDACB，BC2=CDAC，由（1）知DE=BE=CE=BC，4DE2=CDAC，由（1）知，OE是ABC是中位線，AC=2OE，4DE2=CD2OE，2DE2=CDOE；（3）DE=，BC=5，在RtBCD中，tanC=，設(shè)CD=3x，BD=4x，根據(jù)勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，x=1（舍）或x=1，BD=4，CD=3，由（2）知，BC2=CDAC，AC=，AD=ACCD=3=（2018甘肅）（2018南充）22.如圖，是上一點(diǎn)，點(diǎn)在直徑的延長(zhǎng)線上，的半徑為3，.（1）求證：是的切線.（2）求的值.22.解

13、：（1）證明：連接.的半徑為3，.又，.在中，為直角三角形，.，故為的切線.（2）過作于點(diǎn)，.，.，.又，在中，.（2018金華/麗水）如圖，在RtABC中，點(diǎn)O在斜邊AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓，分別與BC,AB相交于點(diǎn)D,E，連結(jié)AD.已知CAD=B.（1）求證：AD是O的切線.（2）若BC=8，tanB=,求O的半徑.（2018寧波）（2018衢州）如圖，已知AB為O直徑，AC是O的切線，連接BC交O于點(diǎn)F，取弧BF的中點(diǎn)D，連接AD交BC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EFAB于H。（1）求證：HBEABC；（2）若CF4，BF5，求AC和EH的長(zhǎng)。（2018棗莊）23如圖，在中，以為直徑作交于

14、點(diǎn).（1）求線段的長(zhǎng)度；（2）點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)，試問：當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，直線與相切？請(qǐng)說明理由.解：（1）在RtACB中，AC=3cm，BC=4cm，ACB=90，AB=5cm；連接CD，BC為直徑，ADC=BDC=90；A=A，ADC=ACB，RtADCRtACB；，；（2）當(dāng)點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)時(shí)，ED與O相切；證明：連接OD，DE是RtADC的中線；ED=EC，EDC=ECD；OC=OD，ODC=OCD；EDO=EDC+ODC=ECD+OCD=ACB=90；EDOD，ED與O相切（2018成都）20.如圖，在中，平分交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的分別交，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn).（1）求證：是的切線；

15、（2）設(shè)，試用含的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)；（3）若，求的長(zhǎng).23（10分）（2018自貢）如圖，在ABC中，ACB=90（1）作出經(jīng)過點(diǎn)B，圓心O在斜邊AB上且與邊AC相切于點(diǎn)E的O（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）（2）設(shè)（1）中所作的O與邊AB交于異于點(diǎn)B的另外一點(diǎn)D，若O的直徑為5，BC=4；求DE的長(zhǎng)（如果用尺規(guī)作圖畫不出圖形，可畫出草圖完成（2）問）解：（1）O如圖所示；（2）作OHBC于HAC是O的切線，OEAC，C=CEO=OHC=90，四邊形ECHO是矩形，OE=CH=，BH=BCCH=，在RtOBH中，OH=2，EC=OH=2，BE=2，EBC=EBD，BED=C

16、=90，BCEBED，=，=，DE=（2018瀘州）24.如圖10，已知AB，CD是O的直徑，過點(diǎn)C作O的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，O的弦DE交AB于點(diǎn)F，且DF=EF.（1）求證：；（2）連接EB交CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)G作GHAB于點(diǎn)H，若PC=，PB=4，求GH的長(zhǎng). 【解答】（1）證明：PC是O的切線，OCPC，PCO=90，AB是直徑，EF=FD，ABED，OFD=OCP=90，F(xiàn)OD=COP，OFDOCP，=，OD=OC，OC2=OFOP（2）解：如圖作CMOP于M，連接EC、EO設(shè)OC=OB=r在RtPOC中，PC2+OC2=PO2，（4）2+r2=（r+4）2，r=2，CM=，DC是

17、直徑，CEF=EFM=CMF=90，四邊形EFMC是矩形，EF=CM=，在RtOEF中，OF=，EC=2OF=，ECOB，=，GHCM，=，GH=（2018宜賓）23（10分）（2018宜賓）如圖，AB為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為BC延長(zhǎng)線一點(diǎn)，且BC=CD，CEAD于點(diǎn)E（1）求證：直線EC為圓O的切線；（2）設(shè)BE與圓O交于點(diǎn)F，AF的延長(zhǎng)線與CE交于點(diǎn)P，已知PCF=CBF，PC=5，PF=4，求sinPEF的值【解答】解：（1）證明：CEAD于點(diǎn)EDEC=90，BC=CD，C是BD的中點(diǎn)，又O是AB的中點(diǎn)，OC是BDA的中位線，OCADOCE=CED=90OCCE，又點(diǎn)C在圓上，

18、CE是圓O的切線（2）連接ACAB是直徑，點(diǎn)F在圓上AFB=PFE=90=CEAEPF=EPAPEFPEAPE2=PFPAFBC=PCF=CAF又CPF=CPAPCFPACPC2=PFPAPE=PC在直角PEF中，sinPEF=（2018衡陽）23.如圖，是的外接圓，為直徑，的平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作分別交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)、.（1）求證：是的切線；（2）若，求的長(zhǎng)度.（結(jié)果保留）解：（1）如圖，連接OD，OA=OD，OAD=ODA，AD平分EAF，DAE=DAO，DAE=ADO，ODAE，AEEF，ODEF，EF是O的切線；（2）如圖，作OGAE于點(diǎn)G，連接BD，則AG=CG=AC=2，OGE=E=

19、ODE=90，四邊形ODEG是矩形，OA=OB=OD=CG+CE=2+2=4，DOG=90，DAE=BAD，AED=ADB=90，ADEABD，=，即=，AD2=48，在RtABD中，BD=4，在RtABD中，AB=2BD，BAD=30，BOD=60，則的長(zhǎng)度為=（2018聊城）24.如圖，在中，平分交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，是的外接圓.（1）求證：是的切線；（2）已知的半徑為2.5，求，的長(zhǎng).（2018泰州）22.如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，的平分線交于點(diǎn)，于點(diǎn).(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由.(2)過點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求圖中陰影部分的面積.解：（1）DE與O相切，理由：連接DO，DO=BO，ODB

20、=OBD，ABC的平分線交O于點(diǎn)D，EBD=DBO，EBD=BDO，DOBE，DEBC，DEB=EDO=90，DE與O相切；（2）ABC的平分線交O于點(diǎn)D，DEBE，DFAB，DE=DF=3，BE=3，BD=6，sinDBF=，DBA=30，DOF=60，sin60=，DO=2，則FO=，故圖中陰影部分的面積為：3=2（2018白銀、武威、張掖）20.如圖，在中，.（1）作的平分線交邊于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡）（2）判斷（1）中與的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)果.20.解：（1）如圖,作出角平分線CO; 作出O.（2）AC與O相切 （2018白銀、武威、張掖）2

21、7.如圖，點(diǎn)是的邊上一點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，與邊，分別相交于點(diǎn)，且.（1）求證：；（2）當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng).27（1）證明：連接OE,BE DE=EF， =, OBE=DBE. OE=OB,OEB=OBE,OEB =DBE,OEBC.O與邊AC相切于點(diǎn)E， OEAC BCAC,C=90. （2）解：在ABC中，C=90，BC=3，AB=5設(shè)O的半徑為r，則AO=5-r，在Rt AOE中，, （2018常德）24.如圖12，已知是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)在圓上，在的延長(zhǎng)線上有一點(diǎn),使,交于.（1）求證：是的切線；（2）求證：.【解答】證明：（1）連接OD，O是等邊三角形ABC的外接圓，OAC=30，BCA

22、=60，AEBC，EAC=BCA=60，OAE=OAC+EAC=30+60=90，AE是O的切線；（2）ABC是等邊三角形，AB=AC，BAC=ABC=60，A、B、C、D四點(diǎn)共圓，ADF=ABC=60，AD=DF，ADF是等邊三角形，AD=AF，DAF=60，BAC+CAD=DAF+CAD，即BAF=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF，BD=CF（2018婁底）25.如圖， 是以為直徑的上的點(diǎn)， ，弦交于點(diǎn).(1)當(dāng)是的切線時(shí)，求證: ；(2)求證: ；(3)已知，是半徑的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).解：（1）AB是O的直徑，ADB=90，即BAD+ABD=90，PB是O的切線，ABP=90，即

23、PBD+ABD=90，BAD=PBD；（2）A=C、AED=CEB，ADECBE，=，即DECE=AEBE，如圖，連接OC，設(shè)圓的半徑為r，則OA=OB=OC=r，則DECE=AEBE=（OAOE）（OB+OE）=r2OE2，=，AOC=BOC=90，CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，則BC2CE2=2r2（OE2+r2）=r2OE2，BC2CE2=DECE；（3）OA=4，OB=OC=OA=4，BC=4，又E是半徑OA的中點(diǎn)，AE=OE=2，則CE=2，BC2CE2=DECE，（4）2（2）2=DE2，解得：DE=（2018永州）24.如圖，線段為的直徑，

24、點(diǎn)、在上，垂足為點(diǎn)，連接，弦與線段相交于點(diǎn).（1）求證：；（2）若，在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使，的半徑為，求證：直線是的切線.25、(本題滿分10分)如圖，已知AB為O的直徑，AB=8，點(diǎn)C和點(diǎn)D是O上關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，連接OC、AC，且BOC90，直線BC和直線AD相交于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作直線CG與線段AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，與直線AD相交于點(diǎn)G，且GAFGCE（1）求證：直線CG為O的切線；（2）若點(diǎn)H為線段OB上一點(diǎn)，連接CH，滿足CBCH，CBHOBC；求OHHC的最大值.（1） 證明：C、D關(guān)于AB對(duì)稱 GAF=CAFGAF=GCE,GCE=CAFOA=OC,CAF=ACO,GCE=

25、ACOAB為直徑ACO+OCB=90GCE+OCB=90即OCG=90，CG為圓O的切線.（2） OC=OB,CH=BCOCB=OBC,CHB=CBHCBH=OBC=OCB=CHBCBHOBC設(shè)BC=x，則CH=x，BH=當(dāng)x=2時(shí)，最大值為5.（2018宿遷）26. （本題滿分10分）如圖，AB、AC分別是 O的直徑和弦，ODAC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作 O的切線與OD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，PC、AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F. 求證：PC是 O的切線； 若ABC=600,AB=10,求線段CF的長(zhǎng)，（2018鹽城）25.如圖，在以線段為直徑的上取一點(diǎn)，連接、.將沿翻折后得到.（1）試說明點(diǎn)在上；（2）在線段的延

26、長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，使.求證：為的切線；（3）在（2）的條件下，分別延長(zhǎng)線段、相交于點(diǎn)，若，求線段的長(zhǎng).（2018揚(yáng)州）25.如圖，在中，于點(diǎn)，于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作半圓，交于點(diǎn).（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，直接寫出的長(zhǎng).（1）證明：作OHAC于H，如圖，AB=AC，AOBC于點(diǎn)O，AO平分BAC，OEAB，OHAC，OH=OE，AC是O的切線；（2）解：點(diǎn)F是AO的中點(diǎn)，AO=2OF=3，而OE=3，OAE=30，AOE=60，AE=OE=3，圖中陰影部分的面積=SAOES扇形EOF=33=；（3）解：作

27、F點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF交BC于P，如圖，PF=PF，PE+PF=PE+PF=EF，此時(shí)EP+FP最小，OF=OF=OE，F(xiàn)=OEF，而AOE=F+OEF=60，F(xiàn)=30，F(xiàn)=EAF，EF=EA=3，即PE+PF最小值為3，在RtOPF中，OP=OF=，在RtABO中，OB=OA=6=2，BP=2=，即當(dāng)PE+PF取最小值時(shí)，BP的長(zhǎng)為（2018江西省卷）20.如圖，在中，為上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，與相切于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且.（1）求證：為的切線；（2）若，求的長(zhǎng).（2018呼和浩特）（2018臨沂）（2018臨沂）如圖，ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AB

28、與O相切于點(diǎn)D，OB與O相交于點(diǎn)E（1）求證：AC是O的切線；（2）若BD=，BE=1求陰影部分的面積【解答】（1）證明：連接OD，作OFAC于F，如圖，ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，AOBC，AO平分BAC，AB與O相切于點(diǎn)D，ODAB，而OFAC，OF=OD，AC是O的切線；（2）解：在RtBOD中，設(shè)O的半徑為r，則OD=OE=r，r2+（）2=（r+1）2，解得r=1，OD=1，OB=2，B=30，BOD=60，AOD=30，在RtAOD中，AD=OD=，陰影部分的面積=2SAODS扇形DOF=21=（2018濰坊）22如圖,為外接圓的直徑,且(1)求證:與相切于點(diǎn)；(2)若

29、, ,求的長(zhǎng)（2018天津）21. 已知是的直徑，弦與相交，.（）如圖，若為的中點(diǎn)，求和的大??；（）如圖，過點(diǎn)作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，求的大小.（2018武漢）21（本題8分）如圖，PA是O的切線，A是切點(diǎn)，AC是直徑，AB是弦，連接PB、PC，PC交AB于點(diǎn)E，且PAPB(1) 求證：PB是O的切線(2) 若APC3BPC，求的值（2018邵陽）21如圖（十二）所示，AB是O的直徑，點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BDCD，垂足為點(diǎn)D，連結(jié)BCBC平分ABD求證：CD為O的切線21（8分）證明：BC平分ABD，OBCDBC2分OBOC，OBCOCB4分DBCOCBOCBD6分BDCD，OCC

30、D又點(diǎn)C為O上一點(diǎn)，CD為O的切線8分（2018淄博）22. （本小題滿分8分）如圖，以為直徑的外接于，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，的平分線分別交于點(diǎn)，其中的長(zhǎng)是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根（1）求證：；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)給予證明，并求其面積；若不存在，說明理由.解：（1）DP平分APB，APE=BPD，AP與O相切，BAP=BAC+EAP=90，AB是O的直徑，ACB=BAC+B=90，EAP=B，PAEPBD，PABD=PBAE；（2）過點(diǎn)D作DFPB于點(diǎn)F，作DGAC于點(diǎn)G，DP平分APB，ADAP，DFPB，AD=DF，EAP=B，APC=BAC，易證

31、：DFAC，BDF=BAC，由于AE，BD（AEBD）的長(zhǎng)是x25x+6=0，解得：AE=2，BD=3，由（1）可知：，cosAPC=，cosBDF=cosAPC=，DF=2，DF=AE，四邊形ADFE是平行四邊形，AD=AE，四邊形ADFE是菱形，此時(shí)點(diǎn)F即為M點(diǎn)，cosBAC=cosAPC=，sinBAC=，DG=，在線段BC上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形ADME是菱形其面積為：DGAE=2=（2018德陽）（2018廣東省卷）24.如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的O經(jīng)過點(diǎn)C，連接AC、OD交于點(diǎn)E.（1）證明：OD/BC；（2）若tanABC=2，證明：DA與O相切

32、；（3）在（2），連接BD交O于點(diǎn)F，連接EF，若BC=1，求EF的長(zhǎng).（2018菏澤）22.如圖，內(nèi)接于，過點(diǎn)作，與的平分線交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn).（1）求的度數(shù)；（2）求證：；（3）求證：是的切線.（2018隨州）（2018咸寧）（2018孝感）23.如圖，中，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).（1）求證：是的切線；（2）已知，求和的長(zhǎng).（2018巴中）26. 已知如圖9所示，中，是的角平分線，以為圓心，為半徑畫圓，交所在直線于、兩點(diǎn)，連接、.（1）求證：直線是的切線.（2）若，求的長(zhǎng)（2018郴州）23.已知是的直徑，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，是的弦，.（1）求證：直線是

33、的切線；（2）若，垂足為，的半徑為，求的長(zhǎng).（2018深圳）22如圖9，是的外接圓，,， 。點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。（1）試求的長(zhǎng)；（2）試判斷的值是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不為定值，請(qǐng)說明理由。（3）如圖10，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，求證：。圖10圖922.解：(1)作，在中，.(2)連接四邊形內(nèi)接于圓，公共.（3）在上取一點(diǎn)，使得在和中.（2018黔東南、黔西南、黔南）22.如圖，是的直徑，切于點(diǎn)，連接，作交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn). （1）求證：是的切線；（2）若的半徑為，求的長(zhǎng).（2018恩施）23.如圖，為直徑，點(diǎn)為半徑上異于點(diǎn)和點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)

34、作與直徑垂直的弦，連接，作，交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn). （1）求證：為切線；（2）若的半徑為，求；（3）請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.23（10分）（2018恩施州）如圖，AB為O直徑，P點(diǎn)為半徑OA上異于O點(diǎn)和A點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，過P點(diǎn)作與直徑AB垂直的弦CD，連接AD，作BEAB，OEAD交BE于E點(diǎn)，連接AE、DE、AE交CD于F點(diǎn)（1）求證：DE為O切線；（2）若O的半徑為3，sinADP=，求AD；（3）請(qǐng)猜想PF與FD的數(shù)量關(guān)系，并加以證明【解答】證明：（1）如圖1，連接OD、BD，BD交OE于M，AB是O的直徑，ADB=90，ADBD，OEAD，OEBD，BM=DM，OB=OD，BOM=

35、DOM，OE=OE，BOEDOE（SAS），ODE=OBE=90，DE為O切線；（2）設(shè)AP=a，sinADP=，AD=3a，PD=2a，OP=3a，OD2=OP2+PD2，32=（3a）2+（2a）2，9=96a+a2+8a2，a1=，a2=0（舍），當(dāng)a=時(shí)，AD=3a=2，AD=2；（3）PF=FD，理由是：APD=ABE=90，PAD=BAE，APFABE，PF=，OEAD，BOE=PAD，OBE=APD=90，ADPOEB，PD=，AB=2OB，PD=2PF，PF=FD（2018黃石）21、（本小題8分）如圖，已知A、B、C、D、E是O上五點(diǎn)，O的直徑,BCD=120，A為的中點(diǎn)，延

36、長(zhǎng)BA到點(diǎn)P，使BA=AP，連接PE（1）求線段BD的長(zhǎng)（2）求證：直線PE是O的切線.（2018荊門）23.如圖，為的直徑，為上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于，于，分別交、于、，連接，.（1）求證：平方；（2）若，求的半徑；求的長(zhǎng).23.（1）證明：連接，直線與相切于點(diǎn)，又，.，平方.（2）解：，又，設(shè)的半徑為，則，解得連接，為的直徑，在中，為的直徑，.（2018淮安）24（本題滿分10分）如圖，AB是O的直徑，AC是O的切線，切點(diǎn)為A，BC交O于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)（1）試判斷直線DE與O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若O的半徑為2，B50，AC4.8，求圖中陰影

37、部分的面積（1）先根據(jù)“SSS”證明AEODEO，從而得到ODEOAE90，即可判斷出直線DE與O相切； （2）陰影部分面積為：22（12分）（2018建設(shè)兵團(tuán)）如圖，PA與O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作ABOP，垂足為C，交O于點(diǎn)B連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E（1）求證：PB是O的切線；（2）若OC=3，AC=4，求sinE的值（2018河北）25. 如圖15，點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為26，以原點(diǎn)為圓心，為半徑作優(yōu)弧，使點(diǎn)在右下方，且.在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，且能過作直線交數(shù)軸于點(diǎn)，設(shè)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，連接.（1）若優(yōu)弧上一段的長(zhǎng)為，求的度數(shù)及的值；（2）求的最小值，并指出此

38、時(shí)直線與所在圓的位置關(guān)系；（3）若線段的長(zhǎng)為，直接寫出這時(shí)的值.（2018北京）22. 如圖，AB是O的直徑，過O外一點(diǎn)P作O的兩條切線PC，PD，切點(diǎn)分別為C，D，連接OP，CD.(1)求證:OPCD;(2)連接AD，BC，若DAB=50，CBA = 70，OA=2，求OP的長(zhǎng).（2018安順）25.如圖，在中，為的中點(diǎn)，與半圓相切于點(diǎn). （1）求證：是半圓所在圓的切線；（2）若，求半圓所在圓的半徑.（2018遂寧）如圖，過O外一點(diǎn)P作O的切線PA切O于點(diǎn)A，連接PO并延長(zhǎng)，與O交于C、D兩點(diǎn)，M是半圓CD的中點(diǎn)，連接AM交CD于點(diǎn)N，連接AC、CM。（1）求證：CM2=MNMA（2）若P=

39、300，PC=2，求CM的長(zhǎng)（2018仙桃）22（滿分8分）如圖，在O中，AB為直徑，AC為弦過BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)G，作GDAO于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，交O于點(diǎn)F，M是GE的中點(diǎn)，連接CF，CM （1）判斷CM與O的位置關(guān)系，并說明理由； （2）若ECF2A，CM6，CF4，求MF的長(zhǎng)（第22題圖）ABCDEFMGO（2018玉林）（2018河南）19.（9分）如圖，AB是圓0的直徑，DO垂直于點(diǎn)O，連接DA交圓O于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作圓O的切線交DO于點(diǎn)E，連接BC交DO于點(diǎn)F。（1）求證：CE=EF；（2）連接AF并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)G，填空：當(dāng)D的度數(shù)為_時(shí)，四邊形ECFG為菱形；當(dāng)D的度數(shù)為_時(shí)，

40、四邊形ECOG為正方形。（2018廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)）（2018蘭州）（2018齊齊哈爾）（2018大慶）（2018懷化）（2018陜西）23（本題滿分8分）如圖，在RtABC中，ACB90，以斜邊AB上的中線CD為直徑作O，分別與AC、BC相交于點(diǎn)M、N(1)過點(diǎn)N作O的切線NE與AB相交于點(diǎn)E，求證：NEAB；(2)連接MD，求證：MDNB23題圖 23題解圖(1)解：(1)如圖，連接ONCD是RtABC斜邊AB上的中線ADCDDBDCBDBC又DCBONCONCDBCONABNE是O的切線，ON是O的半徑ONE90NEB90，即NEAB；(2)如解圖(1)所示，由(1)可知ONAB，O為O

41、的圓心，OCOB，CMD90CNNBCB，MDCB又D是AB的中點(diǎn)，MDCBMDNB（2018長(zhǎng)春）（2018沈陽）（2018東營(yíng)）22(本題滿分8分)如圖，CD是O的切線，點(diǎn)C在直徑AB的延長(zhǎng)線上（1）求證：CAD=BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的長(zhǎng) 22(本題滿分8分)（1）證明：連接ODOB=ODOBD=ODB1分CD是O的切線，OD是O的半徑ODB+BDC=902分AB是O的直徑ADB=90OBD +CAD = 903分CAD=BDC4分（2）解:C=C，CAD=BDCCDB CAD5分6分7分 AC=3 CD=28分（2018煙臺(tái)）（2018陜西）（2018南京）27.

42、結(jié)果如此巧合！下面是小穎對(duì)一道題目的解答.題目：如圖，的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn)，求的面積.解：設(shè)的內(nèi)切圓分別與、相切于點(diǎn)、，的長(zhǎng)為.根據(jù)切線長(zhǎng)定理，得，.根據(jù)勾股定理，得.整理，得.所以.小穎發(fā)現(xiàn)恰好就是，即的面積等于與的積.這僅僅是巧合嗎?請(qǐng)你幫她完成下面的探索.已知：的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，.可以一般化嗎？（1）若，求證：的面積等于.倒過來思考呢？（2）若，求證.改變一下條件（3）若，用、表示的面積.（2018桂林）25.（本題滿分10分）如圖1，已知O是ADB的外接圓，ADB的平分線DC交AB于點(diǎn)M，交O于點(diǎn)C，連接AC，BC.（1）求證：AC=BC；（2）如圖2，在圖1 的基礎(chǔ)上做O的直徑C

43、F交AB于點(diǎn)E，連接AF，過點(diǎn)A做O的切線AH，若AH/BC，求ACF的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，若ABD的面積為，ABD與ABC的面積比為2：9，求CD的長(zhǎng).25. （本題10分）（1） DC平分ADB ADC=BDC AC=BC（2） 連接AO并延長(zhǎng)交BC于I交O于JAH是O的切線且AHBCAIBC垂徑定理BI=ICAC=BCIC=ACIAC=30ABC=60=F=ACBFC是直徑FAC=90ACF=180-90-60=30（3） 過點(diǎn)D作，連接AO由（1）（2）知ABC為等邊三角形ACF=30AE=BEAB=在RtAEO中，設(shè)EO=x，則AO=2xx=6，O的半徑為6CF=12DG=2過點(diǎn)D作,連接OD,CF/DG四邊形GDGE為矩形在Rt中(2018通遼)（2018昆明）（2018云南）（2018曲靖）（2018畢節(jié)）26.(本題14分)如圖,在ABC中,以BC為直徑的O交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線交AB于點(diǎn)F,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,且ABG=2G.(1)求證:EG是O的切線；(2)若，AC=8，求O的半徑。（2018銅仁）（2018廣安）（2018資陽）（2018蘇州）（2018赤峰）（2018上海）