《小學奧數(shù) 數(shù)形結(jié)合》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《小學奧數(shù) 數(shù)形結(jié)合（17頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、word專題二 數(shù)形結(jié)合【方法簡介】數(shù)形結(jié)合的思想是一種重要的數(shù)學思想方法，就是通過數(shù)與形之間的對應和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題,利用它可使復雜問題簡單化,抽象問題具體化,它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長,是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一,有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì),“數(shù)和“形是嚴密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù)的時候，往往要借助于“形，在探討“形的性質(zhì)時，又往往離不開“數(shù)。由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.【應用場合】簡易方程：路程問題、和差倍問題，幾何應用，統(tǒng)計與可能性【典型應用1】簡易問題應用1：在簡易方程題目中最為關鍵的一點就是找等量關系，通過畫線段圖就能清晰找出這種關系.先選對參照物，

2、分清楚研究對象，再根據(jù)題目畫出研究對象的數(shù)量關系，最后設未知數(shù)，列方程.【題1】小胖和小巧一共有208X郵票，小胖的郵票X數(shù)是小巧的3倍，小胖、小巧各有多少X郵票？略解 解：設小巧有X郵票，那么小胖有3X郵票.,.答：小巧有52X郵票，那么小胖有156X郵票.【技巧貼士】這是一道典型的和倍問題，首先找出等量關系，從圖中可以看出小巧與小胖的郵票數(shù)之和為208X，再列方程.最后提醒別忘了算小胖的郵票數(shù).【題2】一輛客車和一輛轎車從某某出發(fā)開往某某，轎車比客車遲開0.3小時，客車平均每小時行駛90千米，轎車平均每小時行108千米.轎車開出多少小時后追上客車？略解解：設轎車開出小時后追上客車.，答：轎

3、車開出小時后追上客車.【技巧貼士】這是道追與問題，在此題中因為客車與轎車行駛的路程是相等的，我們可以將兩輛車的路程畫作兩段來分析題目,這樣更容易找出等量關系.【題3】小X和小王兩家之間的路程是1500千米，兩人同時從家里出發(fā)相向而行，小X平均每分鐘走72米，小王平均每分鐘走75米，幾分鐘后兩人還相距324米？ 略解 解：設分鐘后兩人還相距324米.，答：設8分鐘后兩人還相距324米.【技巧貼士】本道題目是將相遇問題進展了改變，我們還可以這樣理解題目，小王和小X之間還有324米就相遇了，所以1500米減去324米，就是他們一共走的總路程，即方程為.【鞏固練習】第一期第一局部 根底達標1. 商店里

4、出售精裝、平裝兩種集郵冊.精裝集郵冊的售價比平裝集郵冊貴9.6元，是平裝集郵冊價格的1.6倍，這兩種集郵冊的售價分別是多少元？2. 一輛轎車和一輛大巴士先后從某某出發(fā)開往某某，大巴士先行150千米后轎車也出發(fā)了，大巴士平均每小時行80千米，轎車平均每小時行100千米.轎車幾小時后追上大巴士？3. 某某到某某的高速公路全長296千米，兩輛旅游巴士車同時從兩地出發(fā)，途中巴士車A休息了0.6小時，結(jié)果巴士車B1.85小時后與A車在途中相遇.B車平均每小時行駛92千米，A車平均每小時行多少千米？第二局部 強化訓練4. 動物園里的獅子和老虎的數(shù)量相差14只，獅子的數(shù)量比老虎的2倍還多2只，如此動物園里的

5、獅子和老虎各有多少只？5. 一盒巧克力平均分給幾個小朋友，如果每人分6顆，那么還剩下14顆；如果每人分8顆，那么正好分完.一共有多少小朋友？這盒巧克力有多少顆？6. 甲乙兩人相距假如干米，如果兩人相對而行，2分鐘可以相遇；如果兩人同時同向而行，甲在乙后，6分鐘可以追上乙.如果乙每分鐘走60米，那么甲每分鐘走多少米？7. 暑假里小詩和小琪從學校出發(fā)騎車去電影院看電影.小詩騎車速度為每分鐘220米，小琪為每分鐘280米.小詩出發(fā)6分針后小琪去追趕，結(jié)果兩人同時達到電影院，小琪騎了多少分鐘？如果小詩19:00出發(fā)，電影19:30開始，那么他們兩人能否在電影院開映前進入電影院？8. 甲、乙兩地相距15

6、00米，有兩人分別從甲、乙兩地同時相向出發(fā)，10分鐘后相遇，如果兩人各自提速20%，仍從甲、乙兩地同時相向出發(fā)，如此出發(fā)后多少秒后相遇？9. 在一個600米的環(huán)形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，假如兩個人速度不變，還是在原來出發(fā)點同時出發(fā)，哥哥改為按逆時針方向跑，如此兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？10. 甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)勻速相向而行，出發(fā)后8小時兩人相遇假如兩人每小時都多走2千米，如此出發(fā)后6小時兩人就相遇在距離AB中點3千米的地方甲比乙行得快甲原來每小時行多少千米？【典型應用2】幾何應用應用2：幾何題目的實質(zhì)是以形

7、化數(shù)，現(xiàn)階段我們應該掌握根底圖形的面積公式、周長公式和體積公式。有些平面圖形從外表上看，根本不是長方形或正方形，但我們可以運用所學的知識將其轉(zhuǎn)化為標準的長方形和正方形，再進展解答.遇到立體圖形時，我們應該從圖形的不同角度看問題，注意長寬高的變化.【題1】如圖，把一X長19厘米，寬13厘米的長方形白紙折成右圖形壯，EC=5.5厘米，求陰影局部的面積 略解 解：5.5+13132-13-5.51913192=120.25-71.25=49平方厘米.答：陰影局部的面積是49平方厘米【技巧貼士】求組合圖形面積一般用割補法，弄清楚陰影局部是哪些圖形的和或差.在這道題中，陰影局部的面積=梯形的面積-折過來

8、的局部的面積，又因梯形的上底、下底和高分別為5.5厘米、13厘米和19厘米，折過來的局部的兩條直角邊分別為19-5.5=13.5厘米、19厘米，從而利用梯形和三角形的面積公式即可求解【題2】有個零件形狀如圖，這個零件的體積是多少立方厘米？如果1立方厘米鐵的重量為7.8克，用鐵制成的這種零件有多少重？略解解：1零件的體積：632+9-636=36+54=90立方厘米答：這個零件的體積是90立方厘米2907.8=702克 答：用鐵制成的這種零件重702克【技巧貼士】此題主要考查長方體的體積的計算方法在實際生活中的應用，關鍵是先將零件變成規(guī)如此的圖形再求其體積這個零件由2個長方體組成，它們的長、寬、

9、高分別為：6厘米、3厘米、2厘米；9-6厘米、3厘米、6厘米，利用長方體的體積V=abh即可求出這個零件的體積；再用這個零件的體積乘單位體積的鐵的重量，就是這個零件的總重量【鞏固練習】第二期第一局部 根底達標1. 如圖，BC=15厘米，CD=8厘米，三角形AFB的面積比三角形DEF的面積大30平方厘米，求DE的長2. 一塊平行四邊形的草地中有一條長5.2米、寬1米的小路.這塊草地的面積是多少平方米？3. 圖中表示的小正方體的外表積為54平方米，如此如圖中用8個這樣的小正方體組成的正方體的外表積是_平方米4. 一個長方形玻璃缸，從里面量長50厘米，寬30厘米，水深12厘米，把一個機器零件浸沒在水

10、中，這時水面高度15厘米，求零件的體積第二局部 強化訓練5. 如圖的長方形中有三個三角形，它們面積間的關系是 A. B. C. D. 6. 把一個長、寬、高分別是5厘米、4厘米、3厘米的長方體截成兩個小長方體，外表積最多增加. A. 20平方厘米 B. 30平方厘米 C. 40平方厘米 D. 60平方厘米7. 一個長6分米、寬4分米、高2分米的木箱用三根鐵絲捆起來如圖，打結(jié)處要用1分米鐵絲這根鐵絲總長至少為多少分米？8. 將15個棱長為1的正方體堆放在桌面上如圖，噴上紅色后再將它們分開涂上紅色的局部，面積是多少平方厘米？9. 如圖，AD=DE=EC，F(xiàn)是BC中點，G是FC中點，如果三角形ABC

11、的面積是24平方厘米，如此陰影局部是多少平方厘米？10. 一X長方形紙板，長24厘米，寬16厘米現(xiàn)在在它的四個角上剪去大小相等的四個正方形，然后做成一個無蓋的紙盒當剪去的正方形邊長為多少厘米時取整厘米數(shù)，這個紙盒的容積最大紙板的厚度忽略不計這時紙盒的容積是多少立方厘米？【典型應用3】統(tǒng)計與可能性應用3：統(tǒng)計初步分為四個步驟：數(shù)據(jù)收集、數(shù)據(jù)整理、數(shù)據(jù)呈現(xiàn)和數(shù)據(jù)分析.做統(tǒng)計題目就是要懂得去看圖分析，總結(jié)統(tǒng)計圖所給的信息，通常情況下，我們用條形統(tǒng)計圖表示各類數(shù)量的多少，用折線統(tǒng)計圖表示數(shù)量增減變化的情況，平均數(shù)是最常用的統(tǒng)計量,不但可以反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，也可以用來分析不同數(shù)量的幾組同類數(shù)據(jù).【

12、題1】五年級全體學生參加活動，上周到圖書館借書情況如條形統(tǒng)計圖.（1） 第_天借書大于或等于70本？（2） 這周平均每天借書多少本？按5天計算，計算結(jié)果用四舍五入法湊整到個位略解 通過觀察統(tǒng)計圖，可知：1第二天借書等于70本；第三天77本和第五天90本借書大于70本；2用這一周總共借書的本數(shù)除以5即得這一周平均每天借書的本數(shù)【技巧貼士】此題先讀出統(tǒng)計圖中的條件，再根據(jù)求平均數(shù)的方法求出這一周平均每天借書的本數(shù).【題2】小紅到離家6千米的一個風景區(qū)游玩，請根據(jù)如圖的折線圖回答：1小紅在風景區(qū)玩了多長時間？2如果一直走不休息，她幾時幾分可到達風景區(qū)？3小紅騎車回家時每小時行多少千米？略解 解：1因

13、為9點到10點分平均分2個時間段，每段30分鐘所以小紅在風景區(qū)玩了30分鐘2因為8點到9點之間分成了3段，603=20分鐘，中間休息了20分鐘，如果不休息，8點40分就可以到達.3因為9點到10點平均分2個時間段，602=30分鐘，所以小紅回家用了30分鐘=小時6=12千米；答：小紅騎車回家時每小時行12千米【技巧貼士】此題考查折現(xiàn)統(tǒng)計圖，看學生能不能運用統(tǒng)計圖提供的信息解決實際問題.【鞏固練習】第三期第一局部 根底達標(1) 上面統(tǒng)計圖表示小巧本學期4次數(shù)學測驗成績增減變化的情況，它是_統(tǒng)計圖(2) 小巧第3次數(shù)學測驗成績是_分(3) 小巧第5次數(shù)學測驗成績得_分，才能使這5次數(shù)學測驗的平均

14、成績是91分2.新華書店第一、第二季度各類圖書銷售情況如下表，請根據(jù)此表完成下面的統(tǒng)計圖童話漫畫科普趣味數(shù)學第一季度45本95本70本75本第二季度30本90本85本85本(1) 新華書店第一、第二季度各類圖書銷售情況統(tǒng)計圖(2) 如果書店想進一些新書，你有什么好推薦？3. 小芳統(tǒng)計了全班同學的體重，并將數(shù)據(jù)記錄在下表中從這個班中任選一個同學，他的體重在2830kg之間的可能性是多少？4. 下面記錄的是五3班第1組女生的一次跳遠成績單位：m1這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，平均數(shù)各是多少？2用哪個數(shù)代表這個組數(shù)據(jù)的一般水平更適宜？3如果2.80m以上為與格，有多少名同學與格了，超過半數(shù)了嗎？第二局部 強化訓

15、練5.教練陪小明練習100米蛙泳，他們兩人游泳的距離和時間的關系如如下圖，請看圖回答如下問題1小明比教練先游_秒2小明游到_米時，速度明顯慢了下來3兩人都到達終點時，教練游的時間是小明的.6.小丁和小華進展800米賽跑的時間與路程關系如如下圖1_贏得了比賽的勝利2小華的平均速度是每分鐘_米結(jié)果保存整數(shù)3跑完500米，小丁用了_分鐘，小華用了_分鐘7.林科院技術員為了比擬兩棵不同樹木的生長情況，每2年測量一次樹的高度，情況如下：年數(shù)高度/米品種24681012141618甲樹247101010乙樹356788881根據(jù)上表，在下面繪制這兩種樹的生長情況統(tǒng)計圖2請根據(jù)統(tǒng)計圖，描述一下這兩種樹的生長

16、情況3當兩種樹的生長速度幾乎為0時，乙樹的高度是甲樹的幾分之幾？4生長到第幾年兩樹的高度一樣？8.某電器城2011年下半年空調(diào)和冰箱銷售臺數(shù)如下： 月份臺數(shù)/太種類7月8月9月10月11月12月空調(diào)450750550350250600冰箱3005003503002502001根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)制成折線統(tǒng)計圖如圖12平均每月銷售空調(diào)多少臺？3如果每臺冰箱獲利100元，那么這個電器城2011年下半年冰箱銷售中共獲利多少萬元？4下面是某啤酒廠20092012年啤酒產(chǎn)量情況統(tǒng)計圖如圖2請根據(jù)統(tǒng)計圖完成下面的統(tǒng)計表某啤酒廠20092012年啤酒產(chǎn)量情況年份2009年2010年2011年2012年合計計劃產(chǎn)

17、量實際產(chǎn)量【方法小結(jié)】縱觀多年來的試題，巧妙運用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結(jié)合的重點是研究“以形助數(shù).數(shù)形結(jié)合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和在將來要學的解不等式問題中，運用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能防止復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程.這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)幾何問題化，幾何問題代數(shù)化.在運用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一

18、要徹底明白一些概念和運算的幾何意義，對數(shù)學題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參數(shù)、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值X圍.解題中，主要有三種類型：以數(shù)化形、以形化數(shù)和數(shù)形結(jié)合.解決問題的根本思路： 明確題中所給的條件和所求的目標，從題中條件或結(jié)論出發(fā)，先觀察分析其是否相似或一樣于已學過的根本公式或圖形的表達式，再作出或構(gòu)造出與之相適合的圖形，最后利用已經(jīng)作出或構(gòu)造出的圖形的性質(zhì)、幾何意義等，聯(lián)系所要求解的目標去解決問題。答案專題2第一期1. 精裝：25.6元；平裝：16元.提示：設平裝為元，=16.2. 7.5小時.提示

19、：設轎車小時后追上大巴士.，3. A車平均每小時行100.64千米.提示：設A車平均每小時行千米，4.老虎：12只，獅子：26只.提示：設有只老虎.，5. 個小朋友.，6. 甲每分鐘走120米.提示：設甲的速度為千米/時,速度差時間=路程差.7.小琪騎了22分鐘,他們兩人能在電影院開映前進入電影院.提示：設小琪騎了分鐘.，8.500秒.提示：原來兩人每分鐘共走150010=150米，提速后兩人的速度和為1501+20%60=3米/秒。所以相遇需要15003=500秒.9.6分鐘、12分鐘.提示：60012=50，表示哥哥、弟弟的速度差；6004=150，表示哥哥、弟弟的速度和；50+1502=

20、100，表示較快的速度；150-50/2=50，表示較慢的速度；600100=6分鐘，表示跑的快者用的時間 600/50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間.10.6.5千米/小時.提示：由出發(fā)后8小時兩人相遇，可知甲乙原來每小時行全程的：18=；再由出發(fā)后6小時兩人就相遇，可知后來每小時行全程的：16=；后來比原來每小時多行全程的：-=，每小時共多行：2+2=4千米，就用除法求出全程是：4=96千米；相遇時，甲比乙多行：32=6千米，每小時多行：66=1千米，每小時兩人共行：966=16千米，甲每小時行：16-12+1=8.5千米，甲原來每小時行：8.5-2=6.5千米.解答此題關鍵是明白路程是

21、不變的，先跟據(jù)兩次相遇的時間求出各自的速度和，進而求出兩次的速度和差，正好是每小時共多行的路程，進而用除法求出全程專題2第二期1.4厘米.提示：三角形AFB的面積-三角形DEF的面積=長方形ABCD的面積-三角形BCE的面積=158-158+DE2=60-7.5DE，依此即可求解2.57.2平方米.提示：平方米，平方米，平方米.3.216平方米.提示：根據(jù)正方體的外表積公式：，外表積除以6就是一個面的面積，由此可以求出小正方體每個面的面積，用8個這樣的小正方體組成的正方體，每個面的面積是小正方體每個面的面積的4倍，把數(shù)據(jù)代入外表積公式解答即可4.4500立方厘米提示：把一個機器零件浸沒在水中后

22、，水的高度為15厘米，原來的水深是12厘米，這是因為機器零件浸沒在了水中，機器零件的體積就是玻璃缸內(nèi)上升的這局部水的體積，這局部水的長是50厘米，寬是30厘米，高是15-12厘米，根據(jù)長方體的體積公式進展列式解答即可5. D.提示：的面積是長方形形面積的一半，和的面積和也是長方形面積的一半.6.C.提示：長方體切割成2個小長方體，要使外表積增加的最大，如此可以平行于最大面45面進展切割，這樣切割后外表積就是增加了兩個45面的面積.7.43分米提示：根據(jù)長方體的特征，長方體的12條棱中互相平行的一組有4條長度相等，據(jù)圖可知，鐵絲總長等于長方體長的2倍，寬的4倍與高的6倍之和，再加上三個打結(jié)處所用

23、鐵絲長度8.36平方厘米.提示：這個立體圖形的底面沒有涂色，所以涂色局部的面積，就是這個圖形露在外部的外表積，從上面看到的圖形有10個小正方體的面，從前面和后面看到的圖形各有7個小正方體的面，從左面和右面看到的圖形中各有6個小正方體的面，據(jù)此即可求出露在外部的外表積，即得出涂色面積露在外部的面一共有：10+72+62=36個，1136=36平方厘米.9.14平方厘米.提示：三角形等高，面積的比即底邊的比.連接AF，因為AD=DE=EC，所以，又因為BF=FC,所以,在三角形AFC中，AD=DE=EC,所以,由于FG=GC，所以；代入數(shù)值.10. 邊長為3厘米時，這個紙盒的容積最大是540立方厘

24、米提示：根據(jù)題意，從這X紙板上在它的四個角上剪去大小相等的四個正方形，然后做成一個無蓋的紙盒也就是紙板的長和寬分別減去所剪正方形的兩個邊長，是紙盒的長和寬，紙盒的高就等于所剪去的正方形的邊長；當紙盒的長、寬、高三個值最接近時，它們的容積最大；因此可以設減去的正方形的邊長為x厘米，列方程解答專題2第三期1.折線、100、97.提示：因為該統(tǒng)計圖不但容易看出數(shù)量的多少，而且能反映數(shù)量的增減變化情況，所以是折線統(tǒng)計圖；要求小巧第5次數(shù)學測驗成績，先根據(jù)“平均成績測驗次數(shù)=總成績求出5次測驗的總成績，然后減去前4次測驗成績即可2.從統(tǒng)計圖中可知第二季度的科普書和趣味數(shù)學都比上一季度的銷售數(shù)量增加了，可

25、適當添一些科普和趣味數(shù)學的書.提示：統(tǒng)計圖中的橫軸表示圖書的分類，縱軸表示本數(shù)，可用空白表示第一季度，黑色表示第二季度然后完成統(tǒng)計圖，再根據(jù)統(tǒng)計圖，提出建議3. . 提示：根據(jù)統(tǒng)計表，可得體重在2830kg之間的人數(shù)是24，全班的總?cè)藬?shù)是50，用前者除以后者，求出他的體重在2830kg之間的可能性4. 1中位數(shù)：3.205 平均數(shù)：3.083 2用中位數(shù)來表示 39名同學與格，超過半數(shù).提示：1把這組數(shù)據(jù)按照從小到大重新排列，如此最中間的兩個數(shù)字的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，把這組數(shù)據(jù)加起來，再除以12，即可求出它們的平均數(shù)；2中位數(shù)的優(yōu)點是：不受偏小或偏大數(shù)據(jù)的影響，更能代表一般水平；3一共

26、有12人參加跳遠，所以與格的人數(shù)超過6人，就超過了半數(shù)5.110 260 3 提示：3根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，小明用了85秒，教練用了70秒，答案即為7085的最簡分數(shù)形式.6.1小華 2178 32 ， 3.5 提示：1根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，小丁到達終點用了5分30秒，小華到達終點用了4分30秒，由此可見，小華贏得了比賽勝利；2可根據(jù)公式 路程時間=速度，用800除以4.5分鐘即可得到答案；3根據(jù)折線統(tǒng)計圖可知，在跑完500米時，小丁用了2分鐘，小華用了3.5分鐘，由此解答即可得到答案7.12甲樹的生長速度比乙樹的生長速度快3810=答：當兩種樹的生長速度幾乎為0時，乙樹的高度是甲樹的4生長到第8年兩樹的高度一樣提示：3用乙種樹生長速度幾乎為0時的高度除以甲種樹生長速度幾乎為0時的高度，可求出乙樹的高度是甲樹的幾分之幾8.1根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)制成折線統(tǒng)計圖如下：2492臺提示：450+750+550+350+250+6006=29506492臺319萬元提示：100300+500+350+300+250+200=1001900=190000元4某啤酒廠20092012年啤酒產(chǎn)量情況統(tǒng)計表年份2009年2010年2011年2012年合計計劃產(chǎn)量萬噸810131647實際產(chǎn)量萬噸81216185417 / 17