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1、word 分類討論型問題 一、選擇題 1．如果x2＋mx＋9是一個(gè)完全平方式，那么m的值為(C) A．±3 B．±9 C．±6 D．6 【解析】　完全平方式是(x±3)2，故m＝±6. 2．函數(shù)y＝(k－3)x2＋2x＋1的圖象與x軸有交點(diǎn)，如此k的取值X圍是(B) A．k＜4 B．k≤4 C．k＜4且k≠3 D．k≤4且k≠3 【解析】①當(dāng)k－3≠0時(shí)，(k－3)x2＋2x＋1＝0， Δ＝b2－4ac＝22－4(k－3)×1＝－4k＋16≥0，k≤4； ②當(dāng)k－3＝0，即k＝3時(shí)，y＝2x＋1，與x軸有交點(diǎn)． 應(yīng)當(dāng)選B. 3．假如正比例函數(shù)y＝2kx與反比

2、例函數(shù)y＝(k≠0)的圖象交于點(diǎn)A(m，1)，如此k的值是(B) A．－或B．－或 C.D. 【解析】　把A(m，1)代入y＝中，得m＝k. 把A(m，1)代入y＝2kx中，得2km＝1，即2k2＝1， ∴k2＝，∴k＝±. 4．⊙O的直徑為10 cm，弦AB為8 cm，P是弦AB上一點(diǎn)，假如OP的長為整數(shù)，如此滿足條件的點(diǎn)P有(D) A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【解析】OP為3時(shí)有一條，為4時(shí)有兩條，為5時(shí)有兩條，共5條． (第5題) 5．如圖，點(diǎn)A(－1，0)和點(diǎn)B(1，2)，在坐標(biāo)軸上確定點(diǎn)P，使得△ABP為直角三角形，那么滿足這樣條件的點(diǎn)P共有

3、(C) A．2個(gè)　　　　　　B．4個(gè) C．6個(gè)　　　　　　D．7個(gè) 【解析】　當(dāng)以AB為斜邊時(shí)，∠APB＝90°，與坐標(biāo)軸有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)∠PAB＝90°時(shí)，與y軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)∠PBA＝90°時(shí)，與x軸，y軸各有1個(gè)交點(diǎn)．∴點(diǎn)P共有6個(gè)． 6．如圖，直線l的表達(dá)式是y＝x－4，并且與x軸，y軸分別交于A，B⊙C，圓心Cy軸向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)⊙C與直線l相切時(shí)，如此該圓的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為(D) A．3 s或6 s B．6 s C．3 s D．6 s或16 s (第6題) (第6題解) 【解析】　如解圖． ∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－4；當(dāng)y＝0時(shí)，x＝3， ∴點(diǎn)A(3，0)，B(0

4、，－4)，∴AB＝5. 當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B上方，直線與圓相切時(shí)，連結(jié)CD， 如此點(diǎn)C到AB的距離等于1.5， ∴CB÷sin∠ABC×＝2.5. ∴點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為1.5＋(4－2.5)＝3，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3÷0.5＝6(s)． 同理，當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B下方，直線與圓相切時(shí)， 連結(jié)CD，如此點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的距離為1.5＋(4＋2.5)＝8，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為8÷0.5＝16(s)． 應(yīng)當(dāng)選D. (第7題) 7．如圖，正方形ABCD的邊長為4 cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，以1 cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路徑向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，四邊形PBDQ的面積為y(cm2)，如

5、此y與x(0≤x≤8)之間的函數(shù)關(guān)系可以用圖象表示為(B) 【解析】　當(dāng)0≤x≤4時(shí)，∵正方形的邊長為4 cm， ∴y＝S△ABD－S△APQ＝×4×4－·x·x＝8－x2； 當(dāng)4

6、 B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 【解析】　分為三種情況：①以BC為底時(shí)，有兩個(gè)，是BC的垂直平分線與以B為圓心，BA為半徑的圓的交點(diǎn)； ②以BP為底，C為頂點(diǎn)時(shí)，有兩個(gè)，是以B為圓心，BA為半徑的圓與以C為圓心，BC為半徑的圓的交點(diǎn)； ③以CP為底，B為頂點(diǎn)時(shí)，沒有．∵是以B為圓心，BA為半徑的圓與以B為圓心，BC為半徑的圓，∴沒有交點(diǎn)． 綜上所述，滿足要求的點(diǎn)P有4個(gè)，即滿足要求的點(diǎn)E有4個(gè)． 二、填空題 9．五個(gè)正整數(shù)從小到大排列，假如這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4，唯一眾數(shù)是5，如此這五個(gè)正整數(shù)的和是17或18或19． 【解析】　5個(gè)數(shù)為2，3，4，5，5或1，2，4，5，5或

7、1，3，4，5，5. 10．假如關(guān)于x的方程kx2＋2(k＋1)x＋k－1＝0有實(shí)數(shù)根，如此k的取值X圍是k≥－． 【解析】　提示：分k＝0和k≠0兩種情況討論． 11．A，B兩地相距450 km，甲，乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行．甲車速度為120 km/h，乙車速度為80 km/h，過t(h)后兩車相距50 km，如此t的值是． 【解析】　分相遇前和相遇后兩種情況討論． ①當(dāng)甲，乙兩車未相遇時(shí)，根據(jù)題意，得 120t＋80t＝450－50，解得t＝2； ②當(dāng)兩車相遇后，兩車又相距50 km時(shí)， 根據(jù)題意，得120t＋80t＝450＋50，解得t＝2.5. 12．

8、一個(gè)等腰三角形的三邊長是x2－7x＋10＝0的根，如此這個(gè)三角形的周長等于6或15或12． 【解析】　方程的根為2和5，∴三邊長為2，2，2或5，5，5或5，5，2. 13．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)外角等于110°，如此這個(gè)三角形的三個(gè)角應(yīng)該為70°，70°，40°或55°，55°，70°． 【解析】當(dāng)?shù)妊切蔚牡捉堑耐饨堑扔?10°時(shí)，其底角為70°，頂角為180°－70°×2＝40°；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀堑耐饨堑扔?10°時(shí)，其頂角為70°，底角為＝55°. 14．點(diǎn)A，B，C都在半徑為r的圓上，直線AD⊥直線BC，垂足為D，直線BE⊥直線AC，垂足為E，直線AD與BE交于點(diǎn)H.假如B

9、H＝AC，如此∠ABC所對(duì)的弧長等于_πr或πr． 【解析】分兩種情況： (1)如解圖①.∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠H＋∠DBH＝90°，∠C＋∠DBH＝90°， ∴∠H＝∠C. 又∵∠BDH＝∠ADC＝90°， ∴△BHD∽△ACD，∴＝＝， ∴BD＝AD，∴∠ABC＝30°， ∴∠ABC所對(duì)的弧長所對(duì)的圓心角為30°×2＝60°， ∴∠ABC所對(duì)的弧長＝＝πr. (第14題解) (2)如解圖②.同(1)可得BD＝AD，∴∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝150°， ∴∠ABC所對(duì)的弧長所對(duì)的圓心角為300°， ∴∠ABC所對(duì)的弧長＝＝πr. (第1

10、5題) 15．如圖，正方形ABCD的邊長為3 cm，E為CD邊上一點(diǎn)，∠DAE＝30°，M為AE的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線分別與AD，BC交于點(diǎn)P，Q.假如PQ＝AE，如此AP等于1或2cm. 【解析】如解圖，過點(diǎn)P作PN⊥BC于點(diǎn)N. (第15題解) ∵四邊形ABCD為正方形， ∴AD＝DC＝PN. 在Rt△ADE中，∵∠DAE＝30°，AD＝3， ∴DE＝AD·tan 30°＝. 根據(jù)勾股定理，得AE＝＝2. ∵M(jìn)為AE的中點(diǎn)，∴AM＝AE＝. 在Rt△ADE和Rt△PNQ中， ∵ ∴Rt△ADE≌Rt△PNQ(HL)， ∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∠

11、AED＝∠PQN＝60°. ∵AD∥BC，∴∠APM＝∠PQN＝60°， ∴∠PMA＝90°. 在Rt△AMP中，∵∠MAP＝30°，cos 30°＝， ∴AP＝＝＝2(cm)． 由對(duì)稱性得到AP′＝DP＝AD－AP＝3－2＝1(cm)． 綜上所述，AP等于1 cm或2 cm. 16．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一個(gè)銳角為60°，BCP在直線AC上(不與點(diǎn)A，C重合)，且∠ABP＝30°，如此CP的長為6或2或4． 【解析】分四種情況討論： (1)如解圖①，當(dāng)∠C＝60°，點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠ABC＝30°. ∵∠ABP＝30°， ∴點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，與條件相矛盾．

12、 (第16題解①) (第16題解②) (2)如解圖②，當(dāng)∠C＝60°，點(diǎn)P在線段CA的延長線上時(shí)，∠ABC＝30°. ∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠ABC＝30°， ∴AC＝BC＝3. 在△ABC和△ABP中， ∵ ∴△ABC≌△ABP，AC＝AP＝3， ∴CP＝AC＋AP＝3＋3＝6. (3)如解圖③，當(dāng)∠ABC＝60°，點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，∠C＝30°. ∵在Rt△ABC中，BC＝6，∠C＝30°， ∴AB＝BC＝3. ∵∠ABP＝30°， ∴AP＝BP，∠PBC＝∠ABC－∠ABP＝30°＝∠C， ∴BP＝CP. 在Rt△ABP中，由勾股定理，得

13、BP2＝AB2＋AP2， ∴BP2＝32＋，解得BP＝2. ∴CP＝BP＝2. (第16題解③) (第16題解④) (4)如解圖④，當(dāng)∠ABC＝60°，點(diǎn)P在線段CA的延長線上時(shí)，∠C＝30°. ∵∠ABP＝30°，∠ABC＝60°， ∴△PBC是直角三角形． ∵∠C＝30°，∴BP＝CP. 在 Rt△PBC中，由勾股定理，得CP2＝BP2＋BC2， ∴CP2＝＋62，解得CP＝4. 綜上所述，CP的長為6或2或4. (第17題) 17．如圖，函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE⊥x軸于點(diǎn)E.假如△AOE的面積為4，P是坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，

14、且以點(diǎn)B，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，如此滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，－4)，(－4，－4)或(4，4)． 【解析】　如解圖，∵△AOE的面積為4， (第17題解) ∴S△AOE＝OE·AE＝4，∴OE·AE＝8， ∴xy＝8，∴k＝8. ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y＝. ∵函數(shù)y＝2x和函數(shù)y＝的圖象交于A，B兩點(diǎn)， ∴2x＝∴x＝±2. 當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4；當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝－4， ∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2，4)，(－2，－4)． ∵以點(diǎn)B，O，E，P為頂點(diǎn)的平行四邊形共有3個(gè)， ∴滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)，分別為點(diǎn)P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3

15、(4，4)． 三、解答題 (第18題) 18．如圖，直線y＝3x＋3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過A，B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C(3，0)． (1)求拋物線的表達(dá)式． (2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？假如存在，求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假如不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】　(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c. ∵直線y＝3x＋3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B， ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3)． 又∵拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，0)， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋2x＋3. (2)∵y

16、＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴該拋物線的對(duì)稱軸為x＝1. 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，m)，如此AQ＝，BQ＝，AB＝. 當(dāng)AB＝AQ時(shí)，＝，解得m＝±， ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，)或(1，－)； 當(dāng)AB＝BQ時(shí)，＝，解得m1＝0，m2＝6， ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，0)或(1，6)， 但當(dāng)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，6)時(shí)，點(diǎn)A，B，Q在同一條直線上，∴舍去； 當(dāng)AQ＝BQ時(shí)，＝，解得m＝1， ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，1)． ∴拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q(1，)，(1，－)，(1，0)，(1，1)，使△ABQ是等腰三角形． 19．在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂

17、直平分線EF分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，垂足為O. (第19題) (1)如圖①，連結(jié)AF，CE.求證：四邊形AFCE為菱形，并求AF的長． (2)如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周．即點(diǎn)P自A→F→B→A停止，點(diǎn)Q自C→D→E→C停止．在運(yùn)動(dòng)過程中， ①點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，當(dāng)以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求t的值． ②假如點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)路程分別為a，b(單位： cm，ab≠0)，以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式． 【解析】

18、　(1)∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE. ∵EF垂直平分AC，垂足為O，∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF， ∴四邊形AFCE為平行四邊形． 又∵EF⊥AC，∴四邊形AFCE為菱形． 設(shè)菱形的邊長AF＝CF＝x(cm)，如此BF＝(8－x)cm. 在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理，得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5 cm. (第19題解①) (2)①顯然當(dāng)點(diǎn)P在AF上時(shí)，點(diǎn)Q在CD上，此時(shí)A，C，P，Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形； 同理，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，點(diǎn)Q在DE或CE上，也不

19、能構(gòu)成平行四邊形． 因此只有當(dāng)點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)Q在ED上時(shí)，如解圖①，才能構(gòu)成平行四邊形， ∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，PC＝QA. ∵點(diǎn)P的速度為5 cm/s，點(diǎn)Q的速度為4 cm/s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)， ∴PC＝5t－5＋5＝5t，QA＝8－(4t－4)＝12－4t， ∴5t＝12－4t，解得t＝. ∴以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，t＝s. ②由題意得，以A，C，P，Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)P，Q在互相平行的對(duì)應(yīng)邊上． 分三種情況： ⅰ)如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P在AF上，點(diǎn)Q在CE上時(shí)，AP＝CQ，即a＝12－b，得a＋

20、b＝12； ⅱ)如解圖③，當(dāng)點(diǎn)P在BF上，點(diǎn)Q在DE上時(shí)，AQ＝CP，即12－b＝a，得a＋b＝12； ⅲ)如解圖④，當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在CD上時(shí)，AP＝CQ，即12－a＝b，得a＋b＝12. (第19題解) 綜上所述，a與b滿足的數(shù)量關(guān)系式是a＋b＝12(ab≠0)． 20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋2交x軸于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A，拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象過點(diǎn)E(－1，0)，并與直線交于A，B兩點(diǎn)． (第20題) (1)求拋物線的表達(dá)式． (2)過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)． (3)除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB

21、是直角三角形？假如存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說明理由． 【解析】(1)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－x＋2＝2，∴點(diǎn)A(0，2)． 當(dāng)y＝0時(shí)，－x＋2＝0，解得x＝6，∴點(diǎn)P(6，0)． ∵點(diǎn)A(0，2)，E(－1，0)是拋物線y＝－x2＋bx＋c的圖象上的點(diǎn)， ∴解得 ∴拋物線的表達(dá)式是y＝－x2＋x＋2. (2)如解圖①.在△AOC與△POA中， ∵ ∴△AOC∽△POA， ∴＝，∴OC＝＝＝， ∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為. (第20題解①) (3)假設(shè)除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上還存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，分∠AMB＝90°或∠ABM＝90°兩種情況討論： ①在Rt

22、△MAB中，假如∠AMB＝90°，如此M是以AB為直徑的圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，這時(shí)點(diǎn)M會(huì)在x軸的正半軸上或y軸的正半軸上． i．假如交點(diǎn)在y軸的正半軸上(如解圖②)，設(shè)點(diǎn)M(0，m)，如此有m＝y(tǒng)B. (第20題解②) 解得∴點(diǎn)B. 此時(shí)，點(diǎn)M. x軸的正半軸上(如解圖③)，設(shè)點(diǎn)M(n，0)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D， (第20題解③) 如此有△AOM∽△MDB， ∴＝，∴＝， 解得n1＝，n2＝. 此時(shí)，點(diǎn)M或M. ②在Rt△MAB中，假如∠ABM＝90°，如此過點(diǎn)B作BM⊥AP，這時(shí)點(diǎn)M會(huì)在x軸的正半軸上或y軸的負(fù)半軸上． i．假如點(diǎn)M在x軸的正半軸上，如解圖④，設(shè)點(diǎn)M(t，0)，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，如此有△BMD∽△PBD， ∴＝，∴BD2＝PD·MD， (第20題解④) ∴＝，解得t＝. 此時(shí)，點(diǎn)M. M在y軸的負(fù)半軸上，如解圖⑤，設(shè)點(diǎn)M(0，－q)(q>0)，過點(diǎn)B作BF垂直y軸于點(diǎn)F，同上可得BF2＝AF·FM， (第20題解⑤) ∴＝， 解得q＝. 此時(shí)，點(diǎn)M. 綜上所述，除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上還存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是或或或或，共五個(gè)點(diǎn)． 16 / 16