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1、 §4.2應用題 4．2．1★小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣，小倩對小玲說：“你若給我2元，我的錢數(shù)將是你的倍，”小玲對小倩說：“你若給我元，我的錢數(shù)將是你的2倍．”其中為正整數(shù)．求的可能值的個數(shù)． 解析設小倩、小玲分別所擁有的錢數(shù)為元、元，、為非負整數(shù)．于是由題設可得 消去得， ． 所以，3，5，15，得，5，6，11，從而分別為8、3、2、1，分別為14、7、6、7． 4．2．2★甲、乙兩人從相距120千米的兩地同時相對而行，6小時后相遇．如果甲、乙每人各多行2千米，那么相遇地點距前一次相遇的地點3千米，求原來甲、乙的速度． 解析設原來甲、乙的速度分別為千米

2、／時，千米／時，則有 ． 如果甲、乙每人各多行2千米，則有 , 解得或 所以，甲、乙原來的速度分別是13（千米／時）、7（千米／時）；或者7（千米／時）、13（千米／時）． 4．2．3★長90米的列車速度是每小時54千米，它追上并超過長50米的列車用了14秒，如果這兩列火車相向而行，從相遇到完全離開要用多少時間？ 解析 兩列火車的追及問題中，（車速車速2）追及時間兩列火車的長度之和．丙列火車的相向 相遇問題中，（車速車速2）相遇時間兩列火車的長度之和． 設長90米的列車速度為(米/秒)，長50米的列車速度為（米／秒）． 對于追及，則有，解得（米/秒）． 所以，兩列火車相向

3、而行從相遇至完全離開時所用時間為（秒）． 評注對于火車行程問題，首先將火車的運動情況分析清楚，再運用一些常用的數(shù)量關系式來求解即可． 4．2．4★火車通過長82米的鐵橋用了22秒，如果它的速度加快1倍，通過162米長的鐵橋就只用了 16秒，求這列火車原來的速度和它的長度． 解析設這列火車原來的速度為米／秒，它的長度為米．則依題意有 解得．即這列火車原來的速度為8米／秒，它的長度為94米． 4．2．5★某人騎自行車從地到地，途中都是上坡或下坡路，他以每小時12千米的速度下坡，以 每小時4千米的速度上坡．從地到地用了50分鐘，從地返回地用了小時．求、兩地相距多少千米？ 解析設從

4、地到地，上坡路有千米，下坡路有千米，則 解得（千米）． 所以，、兩地相距7千米． 4．2．6★★甲、乙二人騎車在400米環(huán)形跑道上進行萬米比賽．同時出發(fā)后，乙速大于甲速，在第15分鐘時甲加快速度，在第18分鐘時甲追上乙并開始超過乙，在第23分鐘時，甲再次追上乙，而在第23分50秒時，甲到達終點，那么乙到達終點時所用的時間是多少分鐘？ 解析設出發(fā)時甲的速度為米／分，乙的速度為米／分，第15分鐘甲加速后的速度為米／分，依題意得 解得，，. 所以，乙到達終點的時間為（分）． 4．2．7★★甲、乙兩人在圓形跑道上從同一地點出發(fā)，按相反方向跑步．甲速每秒6米，乙速每秒7米，直到它們

5、第一次又在處相遇之前，在途中共相遇多少次？ 解析假設跑道長為，甲、乙第一次又在處相遇時所用時間為，甲、乙相遇一次，則跑過的路程為一圈即． 設甲、乙第一次又在點相遇時共跑了圈，則甲、乙兩人第一次又在點相遇所跑過的路程為，即 ． 甲、乙第一次又在處相遇時，乙比甲多跑了一圈， ， 解得，則途中相遇次數(shù)為（次）． 即他們第一次又在點相遇之前，在途中共相遇12次． 評注因為每圈相遇一次，最后一圈相遇點，故為次（起始點不算在內(nèi)） 4．2．8★★某船往返于甲、乙兩港之間，順水而下需用8小時，逆水而上需要12小時，由于暴雨后水速增加，該船順水而行是逆水而行所花時間的，那么逆水而行需幾小時？

6、 解析 設甲、乙兩港之間距離為，該船在靜水中的速度為千米／時，水速為千米／時，水速增加后為千米／時． 依題意得 解得 ，，． 所以水速增加后，該船逆水而行所需時間為 （小時）． 評注 解流水問題只要抓住基本公式：順水速度船速水速，逆水速度船速水速，則很多該類型 題目都可以通過列方程組迎刃而解，上下坡問題跟流水問題也有類似之處． 4．2．9★★★甲、乙兩人同時從圓形跑道上同一點出發(fā)，沿順時針方向跑步，甲的速度比乙快，過了一段時間，甲第一次從背后追上乙，這時甲立即背轉身子，以原來的速度沿逆時針方向跑去，當兩人再次相遇時，乙恰好跪了4圈，試問甲的速度是乙的幾倍？ 解析 本題是甲

7、、乙兩人跑圓圈，先同向，后反向．就問題的實質來說，跑圓圈和跑直線的思考方法相同．如果設甲的速度為，乙的速度為，跑道一圈的長為．則有，乙跑4圈的速度是，距離為．再設乙跑4圈所用的時間為，于是. 所以，問題轉化為如何根據(jù)已知條件列出關于、、的表示時間的關系式就可以了． 設甲的速度為，乙的速度為，跑道一圈的長為，那么有 ． 由于，所以原方程可化為 ， 即． 本題要求的是甲的速度是乙的多少倍，所以，我們只需求出為某一常數(shù)即可．于是，方程可化為 ， 解得 ，或（舍去）． 所以，甲的速度是乙的倍． 評注 本題中是多設的未知數(shù)，它對于列方程來說起到了橋梁作用，使列方程變得思路簡單，易

8、于理 解，在方程列出后，直接相約（或相消），又立即去掉了多設的未知數(shù)．這種方法稱為設輔助元法． 4．2．10★★小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘迎面駛來一輛18路公交車．假設每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車， 問：發(fā)車間隔的時間是多少分鐘？ 解析 設18路公交車的速度是米／分，小王行走的速度是米／分，同向行駛的相鄰兩車的間距為 米． 每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則 ．① 每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則 ．② 由①，②可得，所以． 即18路公交車息站發(fā)車間隔的時間是4分鐘． 4

9、．2．11★★兩地相距120千米，已知人的步行速度是每小時5千米，摩托車的行駛速度是每小時 50千米，摩托車后座可帶一人．問有三人并配備一輛摩托車從地到地最少需要多少小時？（保留1位小數(shù)） 解析 記此三人為甲、乙和丙，甲開摩托車后座帶乙人，三人同時出發(fā)，甲和乙到地所用時間設為小時，并且放下乙，乙繼續(xù)步行，到達地所用時間設為小時，而甲馬上折返，在地遇到丙后，攜帶丙乘摩托車駛向地，為了與乙同時到達地，和應當滿足如下方程： ①甲和乙到達地時，丙到達地（見下圖）步行的路程是千米； ②之間的距離是千米； ③甲折返與丙在地相遇所用時間是小時； ④丙步行到地，所用時間是小時；從地乘摩托車到所

10、用時間是 小時；而乙乘摩托車到地，所用時間是小時；從地步行到達地所用時 間是小時． 從上述分析，可以列出二元一次方程組 解得，． 所以，有三人并配備一輛摩托車從地到地最少需要小時． 4．2．12★★一工人在定期內(nèi)要制造出一定數(shù)量的同樣零件，若他每天多做10個，則提前天完成， 若他每天少做5個，則要誤期3天．問他要做多少個零件？比定期是多少天？ 解析 設這個工人要做個零件，定期為天，則他每天做個零件．根據(jù)題目條件，若他每天多做10個，則可減少天工期．所以，同理，可列另一個方程．即可得方程組 解得 所以，工人要做1350個零件，此定期為27天． 4．2．13★★某

11、項工程，如果由甲、乙兩隊承包，天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包，天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，天完成，需付160000元．現(xiàn)在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？ 解析 設甲、乙、丙單獨承包各需、、天完成，則 解得 再設甲、乙、丙單獨工作一天，各需付、、元，則 解得 于是，由甲隊單獨承包，費用是 （元）． 由乙隊單獨承包，費用是 （元）． 而丙隊不能在一周內(nèi)完成．所以由乙隊承包費用最少． 4．2．14★★已知甲、乙、丙三人，甲單獨做這件工作所用時間是乙、丙兩人合作做這件工作所用時間的倍，乙單獨做這件工

12、作所用時間是甲、丙兩人合作做這件工作所用時間的倍，求丙單獨工作所用時間是甲、乙兩人合作做這件工作所用時間的幾倍． 解析 甲、乙、丙獨立完成這一工作分別需、、天，再設整個工程是1．于是，乙單獨做一天完成的工作量是，丙是，這樣乙、丙合做一天完成的工作量是，那么乙、丙合作這項工作所用的時間應是天，依題意有 解得 所以 故丙獨立完成這一工作需要的時間是甲、乙兩人合作完成同一工作所需的時間的倍． . 4．2．15★★某商店經(jīng)銷一種商品，由于進貨價降低了，使得利潤率提高了，那么原來經(jīng)銷這種商品的利潤率是多少？ 解析 本題雖然題干很短，但牽涉到的商業(yè)方面的概念及公式還是很豐富的．這里，寫出

13、幾個與利潤有 關的“盈虧”公式： (1)利潤售出價進貨價； (2)利潤率； (3)進貨價． 本題涉及兩種情況，可設原進價為元，銷售價為元，并表示出按原價銷售的利潤率和按新價銷 售的利潤率，再根據(jù)兩者之間的關系，得出與的數(shù)量關系，最后代入求值． 設原進貨價為元，銷售價為元，由公式(2)有 按原價銷售的利潤率為：； 按新價銷售的利潤率為：． 依題意列方程 ． 解方程得. 因此，原來經(jīng)銷這種商品的利潤率 ． 評注 隨著市場經(jīng)濟體制的建立，有關營銷類應用問題已屢見不鮮，對這類問題，學生首先要了解一些 日常的基本常識和有關名詞，如進貨、售出價、利潤、利潤率、盈利、虧本等，

14、同時要掌握好基本關系公式，巧妙地建立關系式． 4．2．16★★現(xiàn)有一塊黃銅和一塊青銅的混合物，其中含有的銅，的鋅和的錫．已知青銅含的銅，的鋅和的錫，而黃銅是銅和鋅的合金．求黃銅含有銅和鋅之比． 解析 設黃銅中含銅，則含鋅．黃銅和青銅的混合物中含黃銅，青銅．則 由①，得，③ 由②，得，④ 由③、④，得． 所以，黃銅含有銅和鋅之比是． 4．2．17★★李明、張斌、王鋼三人去文具店買練習本、圓珠筆和橡皮，李明買了4本練習本、一支圓珠筆和10塊橡皮，共付了11元，張斌買了3本練習本、一支圓珠筆和7塊橡皮，共付了8.9元，王鋼買了一本練習本、一支圓珠筆和一塊橡皮共付了多少錢？ 解析

15、設、、分別表示1本練習本、1支圓珠筆和1塊橡皮的價錢（以角為單位），得方程組 這是一個三個未知數(shù)二個方程的不定方裎，想從中求出、、是很難的，但問題是要我們求的值，故②①得 . 因此，王鋼買1本練習本，1支圓珠筆和1塊橡皮共付了4.7元． 4．2．18★★學校用一筆錢買獎品，若以一支鋼筆和2本日記本為一份獎品，則可買60份獎品；若以1支鋼筆和3本日記本為一份獎品，則可買50份獎品，問這筆錢全部用來買鋼筆或日記本，可買多少？ 解析 由于這筆錢是未知的，若直接依題目要求去設未知數(shù)，則不易列方程．故像這類題目必需間接設 元．設鋼筆元／支，日記本元／本，則這筆錢可表示為：或． 所以．

16、 得． 于是，這筆錢全用于買鋼筆，可買 (支)； 這筆錢全用于買日記本，可買 （本）． 4．2．19★★甲、乙、丙三人共解出100道數(shù)學題，每人都解出了其中的60道題，將其中只有1人解出的題叫做難題，3人都解出的題叫做容易題，試問：難題多還是容易題多？（多的比少的）多幾道題？ 解析設有道難題，道容易題，中等的（兩人解出的）題為道，則由題意可得方程組： ①②，得 . 所以，難題多，難題比容易題多20道． 4．2．20★現(xiàn)有甲、乙、丙三種貨物，若購買甲3件，乙7件，丙1件共需315元；若購買甲4件， 乙10件，丙1件共需420元，問要購買甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解

17、析 設甲、乙、丙三種貨物每件分別為元、元、元．依題意，得 ①②，得 ． 所以，購買甲、乙、丙各一件共需105元． 4．2．21★★甲、乙、丙、丁四人，每三個人的平均年齡加上余下一人的年齡分別為29、23、21和17，這四人中最大年齡與最小年齡的差是多少？ 解析 設四個人的年齡分別為、、、，根據(jù)題意有 由上述四式可知 比較⑤、⑥、⑦、⑧知，最大，最小，⑤⑧得． 所以，即這四個人中最大年齡與最小年齡的差為18. 4．2．22★★★現(xiàn)在父母年齡的和是子女年齡和的6倍；2年前，父母年齡和是子女年齡和的10倍；6年后，父母年齡的和是子女年齡和的3倍，問共有多少子女？ 解

18、析 設現(xiàn)在父母年齡之和為歲，子女年齡之和為歲，子女共有人，由題意得 ① 代入②、③，得 ② 兩式相減，得，所以，子女共有3人． 4．2．23★★★★一次數(shù)學競賽出了、、三道題目，25個學生每人至少能解出一道題目．在這些不能解的學生中，能解的人數(shù)等于能解的二倍；在能解的學生中，至少還能解別的一題的人數(shù)比不能解別的題目的人數(shù)少一個．如果正好能解一道題目的學生中，有一半不能解．問有多少學生正好能解出這道題目？ 解析 由題意可知，本題涉及的量很多，如果采用直接成間接設元都很難列出方程，因此我們可以采用 設輔助未知數(shù)，以此作為橋梁建立等量關系，列出方程．最后，消去輔助未知數(shù)，從而獲得所要

19、的答案． 設，，分別表示正好能解，與，與與的學生人數(shù)，則依題意可得 其中，．，，，，都是非負數(shù)． 由①和③，得 ,⑤ 而②可寫成 ,⑥ 而④可寫成⑦ 由⑤、⑥、⑦得,即 ．⑧ 代入⑥，得.⑨ 因為，，所以由⑧和⑨分別得 ，． 但是是整數(shù)，所以． 所以，有6個學生正好能解出這道題目． §4.3含絕對值的方程組 4．3．1★方程組的解的個數(shù)為（ ）. A．1 B．2 C．3 D．4 解析若，則于是，這不可能． 若，則于是，解得，進而求得． 所以，原方程組的解為(，)（，9），只有1個解．故選A. 4．3．2★如果和是非零實數(shù)，使得和，那

20、么等于（ ）． A．3 B． C． D． 解析 將代入，得． (1)當時，，方程，無實根； (2)當時，，得方程，，解得，正根舍去，從而． 于是． 故． 因此，結論(D)是正確的． 4．2．3★★解方程組 解析 由①得 ． 因為，所以，所以③ 把③代入②，得 ， 即．把代入①，得 ， 即，于是． 由時，得． 故原方程組的解為 4．3．4★★解方程組 解析 由①得或．即或． 可得方程組(①)或（②） 解方程組(①)：由，解得或，再代入，得方程組 （①）的解或 解方程組(②)得或 綜上所述，原方程組的解為 4．3．5

21、★★求方程組在實數(shù)范圍內(nèi)解的組數(shù)． 解析 設．，則原方程組可化為 兩式相減并化為 ， 則或． 由此可得 由第一個方程組解得 (，)(0，0)，(4，4)； 由第二個方程組解得 (，)（，），（，）． 由(，)的第一組解推得(，)(0，0)；其他三組解每組可推得(，)的4組解．所以，原方程組共有13組不同的實數(shù)解． 4．3．6★★★解方程組： 這里、、、是已知的兩兩不同的實數(shù)． 解析因為、、、是兩兩不同的實數(shù)，又方程組中交換下標、的位置方程組不變，所以可先設．此時方程組可寫成 ①②，得 ． ②③，得 . ③④，得 ． 由于、、、兩兩不同，所以 ⑤⑦，得代入⑥式，得.更由⑤式，得，．故 ． 將代入①式，得． 所以在的條件下，已知方程組的解為，． 在一般情況下，設，這里、、、是1、2、3、4的一個排列，則方程組的解是 ，． 14