《高一數(shù)學(xué)下第5章【向量的應(yīng)用】解析與答案解析》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高一數(shù)學(xué)下第5章【向量的應(yīng)用】解析與答案解析（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 高一數(shù)學(xué)下第5章向量的應(yīng)用解析及答案鞏固基礎(chǔ) 一、自主梳理理解向量的幾何、代數(shù)、三角及物理方面的應(yīng)用,能將當(dāng)前的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用向量解決的問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和應(yīng)用能力.二、點(diǎn)擊雙基1.(理)(2005全國(guó)高考卷,理)已知雙曲線x2-=1的焦點(diǎn)F1、F2，點(diǎn)M在雙曲線上且=0，則點(diǎn)M到x軸的距離為( )A. B. C. D.解析：如圖，不妨設(shè)M在右支上，則MF1MF2.設(shè)|MF1|=r1,|MF2|=r2,由定義r1-r2=2a=2. RtMF1F2中，r12+r22=(2c)2=12. 式平方代入后得r1r2=4,SMF1F2=r1r2=2=|F1F2|h=2h.h=.答案：C(文)若O

2、是ABC內(nèi)一點(diǎn),+=0,則O是ABC的( )A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心解析：以、為鄰邊作平行四邊形OBDC,則=+.又+=0, +=-. -=.O為AD的中點(diǎn),且A、O、D共線.又E為OD的中點(diǎn),O是中線AE的三等分點(diǎn),且OA=AE. O是ABC的重心.答案：D2.(2006山東濰坊檢測(cè))已知點(diǎn)A(,1)、B(0,0)、C(,0),設(shè)BAC的平分線AE與BC相交于E,若=,則等于 ( )A.- B. C.-3 D.-解析：由=,得=-=-=-1-=-1-=-1-=-.故選擇A.答案：A3.(2006湖北八校聯(lián)考)(理)已知向量a=(2cos,2cos),b=(3cos,3sin),若a與

3、b的夾角為60,則直線xcos-ysin+=0與圓(x-cos)2+(y+sin)2=的位置關(guān)系是( )A.相交B.相交且過(guò)圓心C.相切D.相離解析：由題意得=, coscos+sinsin=. 圓心為(cos,-sin). 設(shè)圓心到直線的距離為d,則 d=1, 直線和圓相離.故選D.答案：D(文)已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn),且|+|=|-|,其中O為原點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為( )A.2 B.-2 C.2或-2 D.6或-6解析：由|+|=|-|,得=0,OAOB. 聯(lián)立方程組整理得2x2-2ax+(a2-4)=0, 設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),x1+x2=a,x

4、1x2=.y1y2=(a-x1)(a-x2)=a2-a(x1+x2)+x1x2=a2-2.OAOB,x1x2+y1y2=0.+-2=0.a2=4.a=2.又=(-2a)2-8(a2-4)0,a28.a(-2,2),而2(-2,2).故選C.答案：C4.在四邊形ABCD中，=0,=，則四邊形ABCD是_.解析：由=0知.由=知BCAD.四邊形ABCD是矩形.答案：矩形5.若a=(1,-1),b=(-1,3),c=(3,5),使c=xa+yb成立的實(shí)數(shù)x、y取值是_.解析：依題意(3,5)=x(1,-1)+y(-1,3),解得答案：7、4訓(xùn)練思維【例1】 已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5

5、)及=+t，求：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不埽胨得骼磧?解：(1)=+t=(1+3t,2+3t).若P在x軸上，則2+3t=0,t=-;若P在y軸上，只需1+3t=0,t=-;若P在第二象限，則-t0. |a+b|=2cosx. (2)f(x)=cos2x-4cosx,即f(x)=2(cosx-)2-1-22. x0,，0cosx1.當(dāng)1時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)cosx=1時(shí)，f(x)取得最小值1-4.由已知得1-4=-，解得=.這與1相矛盾.綜上所述，=為所求.加強(qiáng)篇8.(2006北京海淀模擬)設(shè)a=(1+co

6、s,sin),b=(1-cos,sin),c=(1,0),其中(0,),(,2),a與c的夾角為1,b與c的夾角為2,且1-2=,求sin的值.解：a=(2cos2,2sincos) =2cos(cos,sin), b=(2sin2,2sincos) =2sin(sin,cos), (0,),(,2), (0,),(,).故|a|=2cos,|b|=2sin, cos1=cos, cos2=sin=cos(-).1=. 0-0),點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，M在x軸上，N為動(dòng)點(diǎn)，且=0,+=0.(1)求點(diǎn)N的軌跡C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F(a,0)的直線l(不與x軸垂直)與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)K(-a

7、,0),與的夾角為，求證：0(2|y1y2|)-2a2=4a2-2a2=0,所以cos=0.所以0.講評(píng)：向量及其運(yùn)算是新課程的新增內(nèi)容，由于向量融數(shù)、形于一體，具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介.本題是將向量與解析幾何、方程、不等式以及三角函數(shù)等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了考試大綱要求的“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處命題”的精神，我們預(yù)測(cè)今年的向量高考題的難度可能上升到壓軸題水平. 一、教學(xué)思路向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，因此在向量的復(fù)習(xí)中要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合.應(yīng)用向量可以

8、解決平面幾何中的一些問(wèn)題，在物理和工程技術(shù)中應(yīng)用也很廣泛，教學(xué)要結(jié)合實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生把向量的相關(guān)知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，滲透向量解決問(wèn)題的高效性.二、注意問(wèn)題與向量相關(guān)的綜合應(yīng)用問(wèn)題類型較多，往往都和幾何圖形或某種類型曲線相關(guān)聯(lián)，這就要求在轉(zhuǎn)化成向量方法或抽象為確定的數(shù)學(xué)模型時(shí)，一定要注意和題意等價(jià)，善于綜合全局，把握轉(zhuǎn)化合理性.三、參考資料【例1】 已知a=(x2,x),b=(x,x-3),x-4,4.(1)求f(x)=ab的表達(dá)式;(2)求f(x)的最小值,并求此時(shí)a與b的夾角.解：(1)f(x)=ab=x2x+x(x-3)=x3+x2-3x,x-4,4.(2)f(x)=x2+2x-3=(x+

9、3)(x-1).列表:x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4f(x)+0-0+f(x)極大值9極小值- 故當(dāng)x=1時(shí),f(x)有最小值為-. 此時(shí)a=(,1),b=(1,-2).設(shè)為a與b的夾角,則cos=-.又由0,得=.【例2】 如圖所示,對(duì)于同一高度(足夠高)的兩個(gè)定滑輪,用一條(足夠長(zhǎng))繩子跨過(guò)它們,并在兩端分別掛有4 kg和2 kg的物體,另在兩個(gè)滑輪中間的一段繩子懸掛另一物體,為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài),此物體的質(zhì)量應(yīng)是多少?(忽略滑輪半徑、繩子的重量)剖析：先進(jìn)行受力分析,列出平衡方程,然后用數(shù)學(xué)方法求解.解：設(shè)所求物體質(zhì)量為m kg時(shí),系統(tǒng)保持平衡,再設(shè)F1與豎直方向的夾

10、角為1,F2與豎直方向的夾角為2,則有(其中g(shù)為重力加速度)由式和式消去2,得m2-8mcos1+12=0,即m=4cos12. cos20,由式知,式中m=4cos1-2不合題意,舍去.又4cos21-30,解得cos11.經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)cos1=時(shí),cos2=0,不合題意,舍去. 2m6.綜上,所求物體的質(zhì)量在2kg到6 kg之間變動(dòng)時(shí),系統(tǒng)可保持平衡.講評(píng)：(1)m的范圍是通過(guò)函數(shù)y=4x+2的單調(diào)性求得的.(2)實(shí)際問(wèn)題的處理要注意變量的實(shí)際意義,本題容易忽略cos20的實(shí)際限制.優(yōu)化測(cè)控一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分，共60分)1.(2006江蘇南京期末)已知向量a=(1,0)

11、,b=(1,1),c=(-1,0),若c=a+b(,R),則,的值分別為( )A.1,0 B.1,1 C.0,1 D.-1,0解析：c=a+b=(1,0)+(1,1)=(+,),而c=(-1,0),故選擇D.答案：D2.有三個(gè)命題：向量與是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反；四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=.其中正確的是( )A.B.C.D.解析：與共線，AB與CD也可以平行.中a與b也可能有0.答案：B3.(2006四川成都檢測(cè))設(shè)向量a=(cos25,sin25),b=(sin20,cos20),若t是實(shí)數(shù),且u=a+t b,則|

12、u|的最小值為( )A. B.1 C. D.解析：|a|=|b|=1,ab=sin20cos25+cos20sin25=sin45=,|u|2=|a+t b|2=a2+2t ab+t2b2=t2+t+1=(t+)2+.|u|.選C.答案：C4.已知|a|=4，|b|=8，且a與2b-a互相垂直，則向量a與b的夾角是( )A.arccosB.-arccosC.D.解析：由a(2b-a),得a(2b-a)=0. 2|a|b|cos-|a|2=0. cos=,=arccos.答案：A5.(2006北京西城模擬)向量=(1,),=(0,1),若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足條件則P(x,y)的變動(dòng)范圍(不含邊界

13、的陰影部分)是( )解析：=(1,),=(0,1).設(shè)P(x,y),則=(x,y),即經(jīng)分析，選A.答案：A6.已知向量=(1,1)，=(1,a)，其中a為實(shí)數(shù)，O為原點(diǎn)，當(dāng)這兩向量的夾角在(0,)變動(dòng)時(shí)，a的取值范圍是( )A.(0,1) B.(,) C.(,1)(1,) D.(1,)解析：只需保證直線AO和OB的夾角為此范圍就行，顯然kOA=1,kOB=a.應(yīng)用夾角公式tan=|,可得選項(xiàng)C.答案：C7.已知向量m與向量n互相垂直且|m|=|n|,若m=(2,1),則n等于( )A.(1,-2) B.(-2,1)C.(-2,1)或(2,-1) D.(1,-2)或(-1,2)解析：設(shè)n=(x

14、,y),由題意設(shè)解得或n=(1,-2)或(-1,2).答案：D8.已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)P在對(duì)角線AC上(不包括端點(diǎn)A、C)，則等于( )A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(-),(0,1) D.(-),(0,)解析：由平行四邊形法則及共線的充要條件容易得到選項(xiàng)A.答案：A9.(2006西安五校聯(lián)考)已知向量a=(3,4)，b=(2，-1)，如果向量a+b與向量-b互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為( )A. B. C.2 D.-解析：a+b=(3,4)+(2,-1)=(3+2,4-),-b=(-2,1),若(a+b)(-b)，則-2(3+2)+4-=0.=-.故選D.答案：D10.若

15、a與b的夾角為60，|b|=4，(a+2b)(a-3b)=-72，則向量a的模是( )A.2 B.4 C.6 D.12解析：由題意知a2-ab-6b2=-7a,把|b|=4,cos60=代入得|a|2-2|a|-24=0.|a|=6或|a|=-4(舍).答案：C11.命題p:ABC及點(diǎn)G滿足+=0；命題q：G是ABC的重心，則p是q的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分又不必要條件解析：若G是ABC的重心，由課本例題可知，+=0成立.若+=0，則+=-，可證CG必經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn).答案：C12.在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，=a,=b，對(duì)任意一點(diǎn)M，它關(guān)于A的對(duì)

16、稱點(diǎn)為S，S關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為N，則用a、b表示為( )A.2(b-a) B.(a-b) C.a+b D.(a+b)解析：=+=2+2=2-2(四邊形OASB是平行四邊形).答案：A二、填空題(本大題共4小題,每小題4分，共16分)13.=3e1,=3e2,且=,則=_.解析：=3e2-3e1,=e2-e1,=+=2e1+e2.答案：2e1+e214.(2006北京海淀模擬)若向量a=(3,2),b=(0,-1),則向量2a-b的坐標(biāo)是_；ab=_.解析：a=(3,2),b=(0,-1),2a-b=(6,4)-(0,-1)=(6,5),ab=30+2(-1)=-2.答案：(6,5) -215.

17、若對(duì)n個(gè)向量a1,a2,an存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1,k2,kn,使得k1a1+k2a2+knan=0成立，則稱向量a1,a2,an為“線性相關(guān)”.依此規(guī)定，能說(shuō)明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1、k2、k3依次可以取_(寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況).解析：設(shè)k1a1+k2a2+k3a3=0,即k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=(0,0). k1=-4k3,k2=2k3.取k3=1得一組k1、k2、k3依次為-4、2、1.答案：-4、2、116.(2006江蘇南京期末)若|a|=1,|b|=2,c=a-b,且ca,則向量a與

18、b的夾角為_.解析：c=a-b且ca,ca=0,即(a-b)a=0,a2=ab=1,cosa,b=.a,b=.答案：三、解答題(本大題共6小題，共74分)17.(本小題滿分12分)已知向量a=(3，-4)，求：(1)與a平行的單位向量b；(2)與a垂直的單位向量c；(3)將a繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到的向量e的坐標(biāo).解：(1)設(shè)b=a,則|b|=1，b=(,-)或b=(-,). (2)由ac，a=(3,-4),可設(shè)c=(4,3),求得c=(,)或c=(-,-). (3)設(shè)e=(x,y),則x2+y2=25. 又ae=3x-4y=|a|e|cos45,即3x-4y=,由上面關(guān)系求得e=(,-)

19、或e=(-,-). 而向量e由a繞原點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45得到，故e=(,-).18.(本小題滿分12分)已知a、b、c分別是ABC三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,(1)若ABC面積為,c=2,A=60,求a、b的值；(2)若acosA=bcosB，試判斷ABC的形狀，證明你的結(jié)論.解：(1)由已知得=bcsinA=bsin60, b=1. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA=3, a=. (2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,2RsinAcosA=2RsinBcosB,即sin2A=sin2B.由已知A、B為三角形內(nèi)角，A+B=90或A=B. 故ABC為直角三角形或等腰三角形

20、.19.(本小題滿分12分)向量a=(1,cos2),b=(2,1),c=(4sin,1),d=(sin,1),其中(0,).(1)求ab-cd的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)=|x-1|,判斷f(ab)與f(cd)的大小，并說(shuō)明理由.解：(1)ab=2+cos2,cd=2sin2+1=2-cos2, ab-cd=2cos2, 0.02. 0cos21.02cos22. ab-cd的取值范圍是(0,2). (2)f(ab)=|2+cos2-1| =|1+cos2|=2cos2, f(ab)=|2-cos2-1|=|1-cos2|=2sin2, 于是有f(ab)-f(cd)=2(cos2-sin

21、2)=2cos2. 0,020. f(ab)f(cd).20.(本小題滿分12分)ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿足下列條件：(1)AB0).(1)用k表示ab;(2)求ab的最小值，并求此時(shí)a與b夾角的大小.解：(1)將|ka+b|=|a-kb|兩邊平方得 ab=. (2)(k-1)20,又k0,=,即ab,cos=.又0180，故a與b的夾角為60.22.(本小題滿分14分)已知平面向量a=(，-1)，b=(,),(1)證明ab；(2)若存在不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t，使x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且xy，試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);(3)據(jù)(2)的結(jié)論，確定函數(shù)k=f(t)的單調(diào)區(qū)間.(1)證明：ab=(,-1)(,)=-=0,ab.(2)解：xy,xy=0且ab=0,a2=4,b2=1. 整理得-4k+t(t2-3)=0. k=t(t2-3).(3)解：記f(t)=(t3-3t), f(t)=t2-. 令f(t)0,得t1. 因此，當(dāng)t(-,-1)時(shí)，f(t)是增函數(shù)； 當(dāng)t(1,+)時(shí)，f(t)也是增函數(shù). 再令f(t)0得-1t1,故t(-1,1)時(shí)，f(t)是減函數(shù).15 / 15