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1、 南通、泰州、揚(yáng)州、徐州、淮安、宿遷、連云港 2019屆高三第二次調(diào)研測(cè)試 數(shù)學(xué)試題 你有能力拿到的分?jǐn)?shù)1——13，15—17，18（1）（2），19（1），(2) 20.(1)(2),共計(jì) 133分 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分． 1、已知集合，．若，則實(shí)數(shù)a的值為 ▲ ． 【答案】4 【解析】因?yàn)?，所以，則a＝4. 2、復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的實(shí)部為 ． 【答案】 【解析】，所以實(shí)部為 3、某單位普通職工和行政人員共280人．為了解他們?cè)凇皩W(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”APP平臺(tái)上的學(xué)習(xí)情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職員中抽取容量為56的樣本．已

2、知從普通職工中抽取的人數(shù)為49，則該單位行政人員的人數(shù)為 ▲ ． 【答案】35 【解析】抽取的比例為：，所以普通職工的人數(shù)為：49×5＝245，則 行政人員的人數(shù)為：280－245＝35 4、從甲、乙、丙、丁這4名學(xué)生中隨機(jī)選派2人參加植樹活動(dòng)，則甲、乙兩人中恰有1人被選中的概率為 ． 【答案】 【解析】隨機(jī)選派2人，共有：甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6種， 甲、乙兩人中恰有1人被選中的有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，4種 所以所求事件的概率為P= 5、執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的S的值為 ▲ ． 【答案】30 【解析】第1步：；第2步：

3、S＝6，i＝3+2=5； 第3步：S＝30，i＝5+2=7，退出循環(huán)，所以輸出S＝30. 【解后總結(jié)】處理流程圖問(wèn)題，關(guān)鍵在于遵循按部就班的原則，寫出每次循環(huán)時(shí)的S和i值，同時(shí)要注意對(duì)循環(huán)條件的判定. 6、函數(shù)的定義域?yàn)? ． 【答案】 【解析】由－16≥0，得≥16＝42，解得x≥2，所以函數(shù)的定義域?yàn)? 7、將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象，則的值為 ▲ ． 【答案】 【解析1原解稱為解析1 】由題意可知：，所以 。 【解析2】根據(jù)圖象平移前后的關(guān)系，的值應(yīng)和中時(shí)值相等，所以．此處增加解析2 誤區(qū)警示：圖象的平移變換要按照“左加右減”的原則，

4、若x前面有系數(shù)，需要提取系數(shù). 而解析2則可能避開可能在這方面犯的錯(cuò)誤．誤區(qū)警示增加一話 8、在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的右頂點(diǎn)到漸近線的 距離為，則b的值為 ． 【答案】 【解析】因?yàn)殡p曲線的右頂點(diǎn)為A（2,0），所以a＝2， 雙曲線的漸近線的方程為，即，因?yàn)橛翼旤c(diǎn)到漸近線的 距離為，則有，即，解得：b＝2. 9、 在△ABC中，已知C ＝ 120°，sinB ＝2 sinA，且△ABC的面積為，則AB的長(zhǎng)為 ▲ ． 【答案】 【解析】設(shè)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.因?yàn)閟inB ＝2 sinA，由正弦定理得b＝2a，因?yàn)椤鰽BC的

5、面積為，所以S＝，解得：a＝2，所以b＝4，則AB＝c＝. 10、設(shè)P，A，B，C為球O表面上的四個(gè)點(diǎn)，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA = 2 m，PB = 3 m，PC = 4 m，則球O的表面積為 m2． 【答案】 【解析】根據(jù)題意，可知三棱錐P-ABC是長(zhǎng)方體的一個(gè)角，如圖所示，該長(zhǎng)方體的外接球就是經(jīng)過(guò)P，A，B，C四點(diǎn)的球 ，因?yàn)榇颂幱煞?hào)必為漢字 PA＝2，PB＝3，PC＝4， 所以此處由符號(hào)改為漢字 ，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為即外接球的直徑2R＝，可得R＝，因此外接球的表面積為S＝4πR2＝4π×＝29π 【解后反思】幾何體的內(nèi)接球問(wèn)題，關(guān)鍵要

6、找到球心所在的位置，進(jìn)而確定半徑的值，本題，抓住PA，PB，PC兩兩垂直，將其補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，從而轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體的外接球的問(wèn)題，這一類題在各類考題中常有出現(xiàn)，同學(xué)們一定要掌握其方法. 11、定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上， 則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 ▲ ． 【答案】5 【解析】因?yàn)椋傻檬侵芷跒?的奇函數(shù)，先畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4，可以畫出f(x)在R上的圖象，由＝0，得，分別畫出和的圖象，如下圖，由f(5)=f(1)=1,而, 而可以得到兩個(gè)圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5. 【解后反思】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，以及函數(shù)的奇偶性和

7、周期性，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的零數(shù)問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)處理，其中能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖象并能靈活地運(yùn)用圖象，找到臨界問(wèn)題是解題的關(guān)鍵也是難點(diǎn). 12．已知關(guān)于的不等式( a，b，cR ) 的解集為{ x | 3 < x < 4}，則的最小值為 ． 【思路分析】 先根據(jù)一元二次不等式的解集，確定a<0,以及a,b,c的關(guān)系，再將所求運(yùn)用消元法，統(tǒng)一成單變量a的函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用基本不等式求最值. 【答案】 【解析】依題意得：，且3和4方程的兩根，即：，則， 所以＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以所求最小值為. 【誤區(qū)警示】 運(yùn)用基本不等式求最

8、值要注意“一正、二定、三相等”，這里a<0，要轉(zhuǎn)化為正數(shù)，再求最值. 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A，B在圓上，且，點(diǎn)P（3，-1），，設(shè)的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x0，則x0的所有值為 ▲ ． 【思路分析】 設(shè)出M坐標(biāo)為（x0，y0）,由弦長(zhǎng)求得OM，條件通過(guò)向量的線性運(yùn)算轉(zhuǎn)化為，通過(guò)上述兩個(gè)條件，建立方程組，解得x0的值. 【答案】 【解析】設(shè)M（x0，y0），由AB＝2，得： ， 又， 所以， 由，解得：x0＝1或. 所以x0的所有值為 【解后反思】 1.直線與圓相交的問(wèn)題，要能充分利用好圓的幾何性質(zhì)，垂徑定理是最常見(jiàn)的性質(zhì)；圓心距是核心問(wèn)題，通

9、過(guò)圓心距可以求出弦長(zhǎng)，而給出弦長(zhǎng)，要能第一時(shí)間求出圓心距. 2.解析幾何中的向量問(wèn)題，往往是向量的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理，但往往需要先通過(guò)線性運(yùn)算后轉(zhuǎn)化，再通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)處理。 14．已知集合，從集合中取出個(gè)不同元 素，其和記為；從集合中取出個(gè)不同元素，其和記為．若，則的最大值為 ． 【解后反思】 由于，要使足夠大，則A要取第1項(xiàng)到第m項(xiàng)，B中要取第1項(xiàng)到第n項(xiàng)，從而得到,再運(yùn)用基本不等式求最值. 【答案】44 【解析】由于，則要使足夠大，則A要取第1項(xiàng)到第m項(xiàng)，B中要取第1項(xiàng)到第n項(xiàng)，則有=1+3+5+…+（2m-1）+0+8+…+8（n-1）=,即，根據(jù)基本不等式可

10、得 ，此時(shí),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)n不是整數(shù)，故不成立，由于m,n為正整數(shù)，當(dāng)m=22,n=11時(shí)，滿足題意，此時(shí)m+2n=44,故的最小值為44. 【解后反思】 1. 本題得到m，n的不等式關(guān)系式后配方得到，運(yùn)用基本不等式得到m+2n-1的最小值為44，進(jìn)而得到m+2n的最小值為45，但等號(hào)驗(yàn)證不成立，由于m,n為正整數(shù)，可以考慮m+2n能否取到44，通過(guò)驗(yàn)證不難得到結(jié)論. 2. 運(yùn)用基本不等式求最值，不僅要掌握課本上的基本不等式，對(duì)其變形式，也要能靈活運(yùn)用，本題正是運(yùn)用了該不等式，才使得問(wèn)題得以解決，值得注意的是一定要驗(yàn)證等號(hào)成否成立,否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤. 二、解答題：本大題共6小題，共

11、計(jì)90分． 15. (本小題滿分14分) 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)向量a =，b = ，其中． （1）若a∥b，求的值； （2）若，求的值． 【解】（1）因?yàn)閍∥b， 所以，……………………………………………2分 所以． …………………………………………………………………4分 因?yàn)?，所以? 于是 解得． ………………………………………………………6分 （2）因?yàn)?，所以，又，故? 因?yàn)椋裕? 又， 解得．……………………………………………………10分 因此， …………………………12分 ． ……………………………………14分 16. (本小題滿

12、分14分) A B C A1 B1 C1 E D （第16題） 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1為正方形，A1B1⊥B1C1．設(shè)A1C與AC1交于 點(diǎn)D，B1C與BC1交于點(diǎn)E． 求證：（1）DE∥平面ABB1A1； （2）BC1⊥平面A1B1C． 【證明】（1）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱， 所以側(cè)面ACC1 A1為平行四邊形． 又A1C與AC1交于點(diǎn)D，所以D為AC1的中點(diǎn)， 同理，E為BC1的中點(diǎn)．所以DE∥AB．………………3分 又ABì平面ABB1 A1，DE?平面ABB1 A1， 所以DE∥

13、平面ABB1A1． …………………………………………………………6分 （2）因?yàn)槿庵鵄BC-A1B1C1為直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1． 又因?yàn)锳1B1ì平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1． ……………………………………8分 又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1ì平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1， 所以A1B1⊥平面BCC1B1． ………………………………………………………10分 又因?yàn)锽C1ì平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．……………………………………12分 又因?yàn)閭?cè)面BCC1B1為正方形，所以BC1⊥B1C． 又A1B1∩B1C

14、 = B1，A1B1，B1C ì平面A1B1C， 所以BC1⊥平面A1B1C．…………………………………………………………14分 17. (本小題滿分14分) 圖①是一棟新農(nóng)村別墅，它由上部屋頂和下部主體兩部分組成．如圖②，屋頂由四坡屋面構(gòu)成，其中前后兩坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，左右兩坡屋面EAD和FBC是全等的三角形．點(diǎn)F在平面ABCD和BC上的射影分別為H，M．已知HM = 5 m，BC = 10 m，梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍．設(shè)∠FMH = ． （1）求屋頂面積S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式； （2）已知上部屋頂造價(jià)與屋頂面積成正比，比例系數(shù)為k（

15、k為正的常數(shù)），下部主體造價(jià)與其高度成正比，比例系數(shù)為16 k．現(xiàn)欲造一棟上、下總高度為6 m的別墅，試問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí)，總造價(jià)最低？ 17.【思路分析】 （1）先通過(guò)線面垂直得到FHHM,放在直角Rt△FHM中，求出FM,根據(jù)三角形的面積公式求出△FBC的面積，根據(jù)已知條件就可以得到所求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式; (2)先求出主體高度，進(jìn)而建立出別墅總造價(jià)y關(guān)于的函數(shù)的關(guān)系式，再通過(guò)導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最小值. A B C D E F H M θ 【解】（1）由題意FH⊥平面ABCD，F(xiàn)M⊥BC， 又因?yàn)镠M ì平面ABCD，得FH⊥HM． …………2分 在

16、Rt△FHM中，HM = 5，， 所以．……………………………………4分 因此△FBC的面積為． 從而屋頂面積． 所以S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為()． ………………………………6分 （2）在Rt△FHM中，，所以主體高度為． ……………8分 所以別墅總造價(jià)為 …………………………………………10分 記，， 所以， 令，得，又，所以．………………………………12分 - 0 + 列表： 所以當(dāng)時(shí)，有最小值． 答：當(dāng)為時(shí)該別墅總造價(jià)最低． …………………………………………………14分 【解后反思】 理解題意，建

17、立出函數(shù)的關(guān)系式，是處理最優(yōu)解類型應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵，第（1）問(wèn)，抓住條件 ”梯形ABFE的面積是△FBC面積的2.2倍”,只要用表示△FBC面積，即可得到屋頂面積；第（2）問(wèn)，需要先設(shè)出總造價(jià)為y元，抓住已知條件，求出主體高度并結(jié)合第（1）問(wèn)中求得的屋頂面積，就可以建立函數(shù)關(guān)系式. 18．（本小題滿分16分） P A B （第18題） x y O 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，橢圓C2：， C2與C1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比為∶1，離心率相同． （1）求橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)點(diǎn)為橢圓C2上一點(diǎn)． ① 射線與橢圓C1依次交于點(diǎn)，求證

18、：為定值； ② 過(guò)點(diǎn)作兩條斜率分別為的直線，且直線與橢圓C1均有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：為定值． 【思路分析】 （1） 根據(jù)已知條件，求出a,b的值，得到橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2） ①對(duì)直線OP斜率分不存在和存在兩種情況討論，當(dāng)OP斜率存在時(shí)，設(shè)直線OP的方程為，并與橢圓C1的方程聯(lián)立，解得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，同理求得A點(diǎn)橫坐標(biāo)， 再通過(guò)弦長(zhǎng)公式，求出的表達(dá)式，化簡(jiǎn)整理得到定值； ②設(shè)，寫出直線的方程，并與橢圓C1聯(lián)立，得到x的一元二次方程，根據(jù)直線與橢圓C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，得到方程只有一解，即，整理得，同理得到，從而說(shuō)明是一元二次方程的兩個(gè)根，運(yùn)用韋達(dá)定理，證得定值.

19、 【解】（1）設(shè)橢圓C2的焦距為2c，由題意，，，， 解得，因此橢圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為． ……………………………3分 （2）①1°當(dāng)直線OP斜率不存在時(shí)， ，，則． ……………………………4分 2°當(dāng)直線OP斜率存在時(shí)，設(shè)直線OP的方程為， 代入橢圓C1的方程，消去y，得， 所以，同理．………6分 所以，由題意，同號(hào)，所以， 從而． 所以為定值． …………………………………………………………8分 ②設(shè)，所以直線的方程為，即， 記，則的方程為， 代入橢圓C1的方程，消去y，得， 因?yàn)橹本€與橢圓C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以，即， 將代入上式，整理得，， ………

20、……12分 同理可得，， 所以為關(guān)于k的方程的兩根， 從而．……………………………………………………………14分 又點(diǎn)在橢圓C2：上，所以， 所以為定值． ………………………………………………16分 【解后反思】 （1） 求時(shí)，只要計(jì)算橫坐標(biāo)之差即可，把斜線段之比轉(zhuǎn)化為平行于x軸的線段之比，體現(xiàn)了化斜為直的思想. 從變換的角度看，本題是兩個(gè)同心圓壓縮成橢圓得到，壓縮前后對(duì)應(yīng)線段比值不變，放在圓中很容易得到答案.增加解后反思 （2） 證明為定值，運(yùn)用了方程的思想，得到的一元二次方程的兩個(gè)根， 巧妙地運(yùn)用了韋達(dá)定理。值得注意的是本題變量比較多，計(jì)算也比較復(fù)雜，這里我

21、們通過(guò)換元，令，代入計(jì)算，最后再回代，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算的過(guò)程.同樣，如果將橢圓拉伸為圓，不難看出，原兩條切線就是互相垂直的直線，壓縮成橢圓后斜率之積變?yōu)槎ㄖ盗?增加解后反思 19．（本小題滿分16分） 已知函數(shù)． （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值； （2）設(shè)函數(shù)在處的切線方程為，若函數(shù)是上 的單調(diào)增函數(shù)，求的值； （3） 是否存在一條直線與函數(shù)的圖象相切于兩個(gè)不同的點(diǎn)？并說(shuō)明理由． 【思路分析】 （1） 求導(dǎo)后通分，令，得到函數(shù)的的極值點(diǎn)，通過(guò)列表，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值; （2）先求出函數(shù)f(x)在處的切線方程，將是上 的單調(diào)增函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)大于或等于0

22、恒成立，通過(guò)兩種方法處理恒成立問(wèn)題， 方法一：轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立，結(jié)合函數(shù)圖象，得到，確定的值； 方法二：分離出變量，轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值問(wèn)題，運(yùn)用基本不等式求得函數(shù)的最小值，從而得到的不等式，解得的值。 （3）假設(shè)存在，設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)坐標(biāo)，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及同一切線，得到的方程組，消去得到的方程，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有兩解的問(wèn)題，通過(guò)導(dǎo)數(shù)法得到函數(shù)單調(diào)遞增，否定兩個(gè)解，從而得到所求切線不存在. 【解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)椋? 則， 令得，或． ………………………………………………………2分 1 2 + 0 - 0 +

23、 ↗ 極大值 ↘ 極小值 ↗ 列表： 所以函數(shù)的極大值為；極小值為． ………………4分 （2）依題意，切線方程為， 從而， 記， 則在上為單調(diào)增函數(shù)， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． …………………………………8分 法一：變形得在上恒成立 ， 所以，又，所以． ……………………………………………10分 法二：變形得在上恒成立 ， 因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）， 所以，從而，所以．……………………………10分 法3：此處增加法3 由在上恒成立知在時(shí)取最小值， 而，其導(dǎo)函數(shù)， 所以當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值

24、也是最小值， 所以. ……………………………10分 （3）假設(shè)存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)，， 不妨，則處切線的方程為：， 處切線的方程為：． 因?yàn)?，為同一直線，所以……………………12分 即 整理得，上一個(gè)式子中多了一個(gè)逗號(hào)，已刪除 ………………………………………………14分 消去得，． 令，由與，得， 記，則， 所以為上的單調(diào)減函數(shù)，所以． 從而式不可能成立，所以假設(shè)不成立，從而不存在一條直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的切點(diǎn)． ……………………………………16分 【解后反思】 第3問(wèn)的論證運(yùn)用了反證法，假設(shè)存在兩個(gè)不同的切點(diǎn)，解

25、題的難點(diǎn)在于導(dǎo)出矛盾，根據(jù)已知條件，得到方程解的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到方程最多一解，從而與假設(shè)矛盾，證得結(jié)論. 20．（本小題滿分16分） 已知數(shù)列的各項(xiàng)均不為零．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，且． （1）求的值；原稿此處有錯(cuò)誤 （2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列； （3）若原稿這里有錯(cuò)誤 對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的所有值． 【思路分析】 （1） 對(duì)令n=1,2得到方程，解得的值； （2） 對(duì)n賦值，作差消去Tn，再對(duì)n賦值作差，消去，從而得到 ，證得數(shù)列是等比數(shù)列； （3） 先求出，由恒成立，確定適合,再運(yùn)用反證法證

26、明和不成立. 【解】（1）因?yàn)?，? 令，得，因?yàn)?，所以? 令，得，即， 因?yàn)?，所以．…………………………………………………………?分 （2）解法1：原解稱為“解法1” 因?yàn)椋? ① 所以， ② ②①得，， 因?yàn)?，所以，? …………………………………5分 所以， ④ 當(dāng)時(shí)，③④得，，即， 因?yàn)?，所以? 又由（1）知，，，所以， 所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． …………………………8分 解法2：此處增加解法2 因?yàn)椋? ① 所以， ② ②①得，， 因?yàn)?，所以? 所以，………………

27、…………………5分 整理為，又， 所以，得， 當(dāng)時(shí)，，而也適合此式， 所以，所以 所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列． …………………………8分 （3）解法1：原解稱為解法1 由（2）知，． 因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立， 所以的值介于和之間． 因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，所以適合． ……………10分 若，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，從而有 記，因?yàn)椋? 所以，即，所以（*）， 從而當(dāng)時(shí)，有，所以不符． ………………………13分 若，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，從而有恒成立． 由（*）式知，當(dāng)時(shí)，有，所以不符． 綜上，實(shí)數(shù)的所有值為0． …………………………………………………16分 解法2

28、：此處增加解法2 由（2）知，，故， 　所以當(dāng)時(shí)，即，對(duì)任意的成立，符合題意； 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………10分 　　　因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立， 　　　所以對(duì)任意的大于3的偶數(shù)，即成立， 　亦即對(duì)任意的大于3的偶數(shù)，成立，………………13分 　先證，當(dāng)時(shí)，， 　記，因?yàn)椋? 　所以，即，所以（*）， 　所以對(duì)任意的大于3的偶數(shù)，成立， 　但若，當(dāng)時(shí)，，所以不合題意， 　綜上，實(shí)數(shù)的所有值為0． …………………………………………………16分 【解后反思】 （1） 對(duì)于和的遞推關(guān)系式，通常運(yùn)用賦值作差法，消去，從而得到的遞推關(guān)系式，也

29、可消去，得到的關(guān)系式，此處增加解題反思 特別要注意下標(biāo)n的范圍的確定. （2） 第（3）?問(wèn)中，根據(jù)極限的理論可知當(dāng),,由不等式恒成立，不難得到,但由于是解答題需要進(jìn)行嚴(yán)格論證，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造數(shù)列，通過(guò)作差法研究p(n)的單調(diào)性，得到不等式，從而得到當(dāng)時(shí)，有，導(dǎo)出矛盾，否定，同理可證不成立；而解法2，則是對(duì)解法1的改進(jìn)，若對(duì)任意的恒成立的必要條件是對(duì)任意的大于3的偶數(shù)，成立，這樣避開了對(duì)實(shí)數(shù)符號(hào)的討論.增加解后反思　 21．【選做題】 A．[選修4-2：矩陣與變換]（本小題滿分10分） 已知m，n∈R，向量是矩陣的屬于特征值3的一個(gè)特征向量，求矩陣M及另一個(gè)特征值． 【

30、解】由題意得，即 所以即矩陣. ………………………………………………5分 矩陣的特征多項(xiàng)式， 解得矩陣的另一個(gè)特征值為.…………………………………10分 B．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線的參數(shù)方程為( t為參數(shù))，橢圓C的參數(shù)方程為.設(shè)直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長(zhǎng)． 【解】法1：原解稱為法1 由題意得，直線的普通方程為．① 橢圓C的普通方程為．② ……………………………………………4分 由①②聯(lián)立，解得A，B， ………………………………………8分 所以．…………………………………………………10

31、分 法2：此處增加法2 令消去，得， 解得或，　　　　　　　……………………………………………5分 取，得交點(diǎn)，取，得交點(diǎn)， 所以．……………………………………………10分 C．[選修4-5：不等式選講]（本小題滿分10分） 已知x，y，z均是正實(shí)數(shù)，且求證：． 【證】由柯西不等式得， ……………5分 因?yàn)?，所? 所以，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)． …………………………10分 【必做題】第22題、第23題，每小題10分，共計(jì)20分． 22.（本小題滿分10分） 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，AB = 1，AP = AD = 2. （1）求直線與平面所成角

32、的正弦值； （2）若點(diǎn)M，N分別在AB，PC上，且平面，試確定點(diǎn)M，N的位置． 【解】（1）由題意知，AB，AD，AP兩兩垂直． 以為正交基底，建立如圖所示的空間 （第22題） A B C D P z x y 直角坐標(biāo)系，則 從而 設(shè)平面PCD的法向量 則即 不妨取則． 所以平面PCD的一個(gè)法向量為． …………………………………3分 設(shè)直線PB與平面PCD所成角為所以 即直線PB與平面PCD所成角的正弦值為．……………………………5分 （2）設(shè)則 設(shè)則而 所以． ……………………………………8分 由（1）知，平面PCD的一個(gè)法向量為

33、， 因?yàn)槠矫鍼CD，所以∥． 所以解得，． 所以M為AB的中點(diǎn)，N為PC的中點(diǎn)． …………………………………10分 23.（本小題滿分10分） 已知均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且． 證明：（1）當(dāng)時(shí)，； (2)對(duì)于任意的，． 證明：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，…，均為非?fù)實(shí)數(shù)，且， 所以………………………2分 ．………………………………………………………………4分 （2）①當(dāng)時(shí)，由（1）可知，命題成立； ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立， 即對(duì)于任意的，若，，…，均為非負(fù)實(shí)數(shù)，且， 則． 則當(dāng)時(shí)，設(shè)，并不妨設(shè)． 令，則． 由歸納假設(shè)，知．………………………………………8分 因?yàn)榫鶠榉秦?fù)實(shí)數(shù)，且， 所以 ． 所以， 即， 也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)命題也成立． 所以，由①②可知，對(duì)于任意的，．…………10分 【解后反思】 第（2）問(wèn)的證明，運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法，證明的關(guān)鍵在于對(duì)n=k+1?的論證，是將n=k的結(jié)論，當(dāng)做條件來(lái)使用，本題取，這樣變成k個(gè)數(shù)，得到，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明此處原稿有錯(cuò)誤，已改正 （注：可編輯下載，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正，謝謝!） .