《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第1課時(shí) 等腰三角形講解篇》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第四章 基本圖形(一)第19講 特殊三角形 第1課時(shí) 等腰三角形講解篇（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第19講特殊三角形第1課時(shí)等腰三角形1等腰三角形考試內(nèi)容考試要求概念有兩條邊的三角形是等腰三角形a性質(zhì)1.等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，一般有條對(duì)稱軸2性質(zhì)1：等腰三角形的兩底角(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)”)3性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的、底邊上的相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)c判定1.有兩邊相等的三角形是等腰三角形；2有兩角相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)”)的三角形是等腰三角形2.等邊三角形考試內(nèi)容考試要求概念有條邊相等的三角形叫做等邊三角形a性質(zhì)1.具有一般等腰三角形的所有性質(zhì)；2等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都于；3等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，共有條對(duì)稱軸c判定1.三條邊相等的三角形是等邊三角形；2

2、三個(gè)角都的三角形是等邊三角形；3有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形拓展S等邊ABCaha2，ha，其中a為邊長(zhǎng)，h為高考試內(nèi)容考試要求基本方法求等腰三角形腰上的高，在所給條件不確定的條件下，應(yīng)按頂角為銳角和鈍角兩種情況來考慮：(1)當(dāng)頂角為銳角時(shí)，腰上的高在三角形內(nèi)部；(2)當(dāng)頂角為鈍角時(shí)，腰上的高在三角形外部c1 (2017臺(tái)州)如圖，已知等腰三角形ABC，ABAC，若以點(diǎn)B為圓心，BC長(zhǎng)為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是()AAEEC BAEBE CEBCBAC DEBCABE2(2017麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100，則頂角的度數(shù)是_3(2015義烏)由于木質(zhì)衣架沒有

3、柔性，在掛置衣服的時(shí)候不太方便操作小敏設(shè)計(jì)了一種衣架，在使用時(shí)能輕易收攏，然后套進(jìn)衣服后松開即可如圖1，衣架桿OAOB18cm，若衣架收攏時(shí)，AOB60，如圖2，則此時(shí)A，B兩點(diǎn)之間的距離是_cm.【問題】如圖，在ABC中，ABAC，BAC120，AEBE，D為EC中點(diǎn)(1)你能從圖中得到哪些信息？(2)求CAE的度數(shù)；(3)求證：ADE是等邊三角形【歸納】通過開放式問題，歸納、疏理等腰三角形、等邊三角形的有關(guān)知識(shí)類型一等腰三角形的性質(zhì)與判定如圖，在ABC中，BC，點(diǎn)D在BC上(1)若頂角40，則一個(gè)底角的度數(shù)為_；(2)若一個(gè)內(nèi)角50，則頂角的度數(shù)為_；(3)若一個(gè)外角為100，則頂角的度數(shù)

4、為_；(4)若ADBC，AB6，CD4，則ABC的周長(zhǎng)是_(5)若BDDC，B50，則DAC_(6)若ABC的兩條邊長(zhǎng)為7cm和14cm，則它的底邊為_cm.【解后感悟】解答此類問題時(shí)要注意角的指代明確性：頂角還是底角、內(nèi)角還是外角；對(duì)于(4)(5)沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況分類討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答1 (1)(2016泰安)如圖，在PAB中，PAPB，M，N，K分別是PA，PB，AB上的點(diǎn)，且AMBK，BNAK，若MKN44，則P的度數(shù)為()A44 B66 C88 D92(2) (2017紹興模擬)如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，今以B、M為圓心，

5、分別以BC長(zhǎng)、MC長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于P點(diǎn)若PBC70，則MPC的度數(shù)為()A20 B35 C40 D55(3) (2016濱州)如圖，ABC中，D為AB上一點(diǎn)，E為BC上一點(diǎn)，且ACCDBDBE，A50，則CDE的度數(shù)為()A50 B51 C51.5 D52.5(4) (2017溫州模擬)如圖，等腰ABC中，ABAC，AD平分BAC，點(diǎn)E是線段BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)AE，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，若DE10cm，則ABBD cm.類型二等邊三角形的性質(zhì)與判定(1)等邊ABC中，AB4，則它的高為_，ABC的面積為_；(2) 如圖1，等邊ABC中，CD是ACB的平分線，過D作DEBC交AC

6、于E，ABC的邊長(zhǎng)為a，則ADE的周長(zhǎng)是_；(3) 如圖2，等邊ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CECD，則E的度數(shù)為_；(4) 如圖3，等邊ABC中，點(diǎn)D為BC邊上的點(diǎn)，DEBC交AB于E，DFAC于F，則EDF的度數(shù)為_【解后感悟】解題的關(guān)鍵是利用現(xiàn)有圖形或畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)及勾股定理，揭示圖形之間的數(shù)量關(guān)系來解決問題2 (1)(2016本溪模擬)如圖，在正方形ABCD的外側(cè)，作等邊ADE，則BED的度數(shù)是.(2) (2017上海模擬)如圖，以ABC的三邊為邊分別作等邊ACD、ABE、BCF，則下列結(jié)論：EBFDFC；四邊形AEFD為平行四邊形；當(dāng)ABAC，BA

7、C120時(shí)，四邊形AEFD是正方形其中正確的結(jié)論是.(請(qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào))3(2017河北模擬)如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BDAE，AD與CE交于點(diǎn)F.(1)求證：ADCE；(2)求DFC的度數(shù)類型三等腰三角形構(gòu)造的分類討論(2016黃岡模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2，2)，點(diǎn)Q在坐標(biāo)軸上，PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有_個(gè)【解后感悟】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是如何確定點(diǎn)Q(即分類討論)，以及利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)4 (1)(2017西寧模擬)如圖，等腰直角三角形BDC的頂點(diǎn)D在等邊三角形ABC的內(nèi)部

8、，BDC90，連結(jié)AD，過點(diǎn)D作一條直線將ABD分割成兩個(gè)等腰三角形，則分割出的這兩個(gè)等腰三角形的頂角分別是_度(2) (2016丹東模擬)如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，BP4，PBC60，點(diǎn)Q為正方形邊上一動(dòng)點(diǎn)，且PBQ是等腰三角形，則符合條件的Q點(diǎn)有 個(gè)類型四等腰三角形的探究問題(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1，ACB和DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連結(jié)BE.填空：AEB的度數(shù)為_；線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是_(2)拓展探究如圖2，ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為DCE中DE邊上的高，連結(jié)BE.請(qǐng)判斷AEB的度數(shù)及

9、線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由(3)解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD.若點(diǎn)P滿足PD1，且BPD90，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A到BP的距離【解后感悟】本題主要考查了運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)解決問題的能力，而通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線從而能用(2)中的結(jié)論解決問題是解決第(3)題的關(guān)鍵它是中考的熱點(diǎn)題型5 (2016江西模擬)有一三角形紙片ABC，A80，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，沿BD方向剪開三角形紙片后，發(fā)現(xiàn)所得兩紙片均為等腰三角形，則C的度數(shù)可以是.類型五等腰三角形的綜合運(yùn)用(2016石家莊模擬)如圖，點(diǎn)O是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB110，BOC，將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，

10、連結(jié)OD.(1)求證：COD是等邊三角形；(2)當(dāng)150時(shí)，試判斷AOD的形狀，并說明理由；(3)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，AOD是等腰三角形？【解后感悟】本題以“空間與圖形”中的核心知識(shí)(如等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與證明、直角三角形的判定、多邊形內(nèi)角和等)為載體，內(nèi)容由淺入深，層層遞進(jìn)，試題中幾何演繹推理的難度適宜，蘊(yùn)含著豐富的思想方法(如運(yùn)動(dòng)變化、數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想等)6(2016河南)(1)發(fā)現(xiàn)如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BCa，ABb.填空：當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為.(用含a，b的式子表示)(2)應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC3，AB1.

11、如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連結(jié)CD，BE.請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值 圖1 圖2(3)拓展如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，0)，點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn)，且PA2，PMPB，BPM90.請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)【探索研究題】(2016菏澤)如圖，ACB和DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同一直線上，連結(jié)BE.(1)如圖1，若CABCBACDECED50.求證：ADBE；求AEB的度數(shù)(2)如圖2，若ACBDCE120，CM為DCE中DE邊上的高，BN為

12、ABE中AE邊上的高，試證明：AE2CMBN.【方法與對(duì)策】(1)通過角的計(jì)算找出ACDBCE，再結(jié)合ACB和DCE均為等腰三角形可得出“ACBC，DCEC”，利用全等三角形的判定(SAS)即可證出ACDBCE，由此即可得出結(jié)論ADBE；結(jié)合中的ACDBCE可得出ADCBEC，再通過角的計(jì)算即可算出AEB的度數(shù)；(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用(1)的結(jié)論，通過解直角三角形即可求出線段AD、DE的長(zhǎng)度，二者相加即可證出結(jié)論這類探究性問題，往往從特殊到一般，積累經(jīng)驗(yàn)，利用前小題的結(jié)論或方法解決問題這類問題是中考的熱點(diǎn)題型【忽視等腰三角形腰的高線不明確】(2015

13、西寧)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角的度數(shù)為20，則頂角的度數(shù)是.參考答案第19講特殊三角形第1課時(shí)等腰三角形【考點(diǎn)概要】1相等一相等等角中線高等邊2.三60三相等60【考題體驗(yàn)】1C2.1003.18【知識(shí)引擎】【解析】(1)從角、邊、對(duì)稱性、圖形的形狀角度去考慮，并注意之間的相關(guān)性 (2)根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出B30，BAEB30，CAE1203090； (3)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出ADECEDDC，得出DACC30，EAD60，ADE是等邊三角形【例題精析】例1(1)70(2)80或50(3)80或20(4)20(5)40(6)7例2(1)2；4；(2)a；(3)3

14、0；(4)60例3P(2，2)，OP2，當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，2)，(0，2)，(0，4)，(0，2)；當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí)，Q點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)，(2，0)，(4，0)，(2，0)所以共有8個(gè)故答案為：8.例4(1) 60ADBE；(2)AEB90；AE2CMBE.理由：ACB和DCE均為等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，ACBDCBDCEDCB，即ACDBCE，ACDBCE，ADBE，BECADC135.AEBBECCED1354590.在等腰RtDCE中，CM為斜邊DE上的高，CMDMME，DE2CM.AEDEAD2CMBE.(3)或.PD1，BP

15、D90，BP是以點(diǎn)D為圓心、以1為半徑的D的切線，點(diǎn)P為切點(diǎn)第一種情況：如圖1，過點(diǎn)A作AP的垂線，交BP于點(diǎn)P，可證APDAPB，PDPB1，CD，BD2，BP，AMPP(PBBP).第二種情況如圖2，可得AMPP(PBBP).例5(1)將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，COCD，OCD60，COD是等邊三角形(2)當(dāng)150時(shí)，AOD是直角三角形理由是：將BOC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60得ADC，BOCADC，ADCBOC150，又COD是等邊三角形，ODC60，ADOADCODC90，150，AOB110，COD60，AOD360AOBCOD3601501106040，AOD不是

16、等腰直角三角形，即AOD是直角三角形(3)要使AOAD，需AODADO，AOD36011060190，ADO60，19060，125；要使OAOD，需OADADO.OAD180(AODADO)180(19060)50，6050，110；要使ODAD，需OADAOD.AOD36011060190，OAD120，190120，解得140.綜上所述：當(dāng)?shù)亩葦?shù)為125或110或140時(shí)，AOD是等腰三角形【變式拓展】1 (1)D(2)B(3)D(4)102.(1)45(2)3.(1)略(2)60.4.(1)120和150(2)55.25或40或106.(1)CB的延長(zhǎng)線上ab(2)DCBE，理由如下：

17、ABD和ACE為等邊三角形，ADAB，ACAE，BADCAE60，BADBACCAEBAC，即CADEAB，CADEAB.DCBE.BE的最大值是4. (3)AM長(zhǎng)的最大值是32，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，)【熱點(diǎn)題型】【分析與解】(1)CABCBACDECED50，ACBDCE18025080.ACBACDDCB，DCEDCBBCE，ACDBCE.ACB和DCE均為等腰三角形，ACBC，DCEC.在ACD和BCE中，ACBC，ACDBCE，DCEC，ACDBCE(SAS)，ADBE.ACDBCE，ADCBEC.點(diǎn)A，D，E在同一直線上，且CDE50，ADC180CDE130，BEC130.BECCE

18、DAEB，且CED50，AEBBECCED1305080. (2)ACB和DCE均為等腰三角形，且ACBDCE120，CDMCEM(180120)30.CMDE，CMD90，DMEM.在RtCMD中，CMD90，CDM30，DE2DM22CM.BECADC18030150，BECCEMAEB，AEBBECCEM15030120，BEN18012060.在RtBNE中，BNE90，BEN60，BEBN.ADBE，AEADDE，AEBEDE2CMBN.【錯(cuò)誤警示】當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘氢g角時(shí)，腰上的高在外部即可求得頂角是9020110；當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀鞘卿J角時(shí)，腰上的高在其內(nèi)部，故頂角是902070.故答案為：110或70.13