《高中數學《矩陣與變換》全部課件和學案(共29套)蘇教版選修4－22.5特征值與特征向量》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學《矩陣與變換》全部課件和學案(共29套)蘇教版選修4－22.5特征值與特征向量（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、特征值與特征向量特征值與特征向量10010a 【探究探究】1 1、計算下列結果：、計算下列結果：10001b 0,0ab 以上的計算結果與以上的計算結果與 的關系是怎樣的？的關系是怎樣的？2 2、計算下列結果：、計算下列結果：0,0ab 以上的計算結果與以上的計算結果與 的關系是怎樣的？的關系是怎樣的？10020a 10002b 0a 0b0a 02b例題分析例題分析10102.MABCOx矩陣表示一個壓縮變換，它把下圖中的正方形沿 軸垂直壓縮為原來的一半10111100002M . 10向量和變換后分別與它們的原象共線01100001111022M M lll l為矩陣為矩陣M的特征值的特征

2、值, 為矩陣為矩陣M的屬于特的屬于特征值征值 l l的特征向量。的特征向量。特征值及特征向量的定義特征值及特征向量的定義10111100002M 100001111022M 建構數學建構數學a bc d設矩陣設矩陣A ，如果對于實數，如果對于實數l l，存在一個存在一個非零向量非零向量 ，使得，使得A = l l ，則稱，則稱l l是矩陣是矩陣A的一個的一個特征值特征值。 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值l l的一個的一個特征向量特征向量。 從幾何上看，特征向量的方向經過變換矩從幾何上看，特征向量的方向經過變換矩陣陣A的作用后，保持在同一條直線上。的作用后，保持在同一條直線上。這時，特征

3、向量或者這時，特征向量或者方向不變方向不變(l l0)， 或者或者方向相反方向相反(l l0).特別地，當特別地，當l l=0時，特征向量被變換成了時，特征向量被變換成了0向量向量.a bc d 設設l l是矩陣是矩陣A= 的一個特征值，它的一個的一個特征值，它的一個xy 特征向量為特征向量為則則xxAyyl 即即 滿足方程組滿足方程組xy axbyxcxdyyll()0(*)()0a xbycxd yll故故因因l l0 0，所以，所以x, ,y不全為不全為0 0，此時此時Dx=0、Dy=0. .則則D=0 0即即0abcdll建構數學建構數學a bc d設矩陣設矩陣A ，l lR，我們把行

4、列式我們把行列式稱為稱為A的的特征多項式特征多項式。2( )()abfadadbccdlllll分析表明，如果分析表明，如果l l是矩陣是矩陣A A的特征值，則的特征值，則f (l)0 (l)0此時，將此時，將l l代入方程組代入方程組( (* *) )，得到一組非零解，得到一組非零解00 xy即即 為矩陣為矩陣A的屬于的屬于l l的一個特征向量的一個特征向量. .00 xy數學運用數學運用例例1、求出矩陣、求出矩陣A= 的特征值和特征向量的特征值和特征向量1001 能否從幾何變換的角度直接觀察出能否從幾何變換的角度直接觀察出矩陣矩陣A的特征向量？的特征向量？思考：思考：總結總結求二階矩陣特征

5、值與特征向量的求二階矩陣特征值與特征向量的步驟步驟：其幾何意義是什么？其幾何意義是什么？ 如果如果 是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值l l的一個特征向的一個特征向量，則對任意的非零常數量，則對任意的非零常數t，t 也是矩陣也是矩陣A的屬于的屬于特征值特征值l l的特征向量。的特征向量。【定理定理1 1】屬于矩陣的同一個特征值的特征向量屬于矩陣的同一個特征值的特征向量共線共線.屬于矩陣的不同特征值的特征向量屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線不共線?！径ɡ矶ɡ? 2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量有何關系？屬于矩陣的不同特征值的特征向量有何關系？思考：思考：探究：探究：1、矩陣、矩陣A=

6、的特征向量是什么？的特征向量是什么？1002怎樣從幾何角度加以解釋？怎樣從幾何角度加以解釋？2、從幾何角度解釋、從幾何角度解釋13221322的特征向量。的特征向量。特征向量。的特征值和練習：求投影變換矩陣1000M22112121,1eeaaeellll使，有且只有一對實數內的任一向量那么對于這一平面內兩個不共線的向量，是同一平面如果、平面向量基本定理：21212211.,2yyxxyxyx則、向量知識回顧知識回顧.,10,013112121nemenmee使求實數，、已知向量2、自學課本、自學課本68至至69頁內容，總結求頁內容，總結求nM的步驟。的步驟。新課講解新課講解建構數學建構數學建構數學建構數學任意向量都可以用特征向量來表示。任意向量都可以用特征向量來表示。501212MM.217 例 、已知， ，試計算數學運用數學運用12111001103A,.0121(1)AA.(2)A3,AA.ijxyll 例 、若矩陣 有特征向量和且它們所對應的特征值分別為 ， 求矩陣 及其逆矩陣求逆矩陣的特征值和特征向量；（ ）對任意向量 求及20A01-110A201