《2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 能被3整除的數(shù)的特征上一講我們講了能被2，5整除的數(shù)的特征，根據(jù)這些特征，很容易就能判別出一個數(shù)是否能被2或5整除。同學(xué)們自然會問，有沒有類似的簡便方法，直接判斷一個數(shù)能否被3整除？我們先具體觀察一些能被3整除的整數(shù)：18，345，4737，2567418能被3整除，1+8=9也能被3整除；345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除；4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。怎么這么巧？我們再試一個：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不

2、用再試了，同學(xué)們可能已經(jīng)在想：“是不是所有能被3整除的數(shù)的各位數(shù)字的和都能被3整除？”結(jié)論是肯定的。它的一般性證明這里無法介紹，我們用一個具體的數(shù)來說明一般性的證明方法。由99和9都能被3整除，推知(799+49)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。因此，判斷一個整數(shù)能否被3整除的簡便方法是：如果整數(shù)的各位數(shù)字之和能被3整除，那么此整數(shù)能被3整除。如果整數(shù)的各位數(shù)字之和不能被3整除，那么此整數(shù)不能被3整除。例1判斷下列各數(shù)是否能被3整除：2574，38974，587931。解：因為2+5+7+4=18，18能被

3、3整除，所以2574能被3整除；因為3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；因為5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。為了今后使用方便，我們介紹一個表示多位數(shù)的方法。當(dāng)一個多位數(shù)中有一個或幾個數(shù)字用字母來表示時，為防止理解錯誤，就在這個多位數(shù)的上面劃一線段來表示這個多位數(shù)。例如，表示這個三位數(shù)的百、十、個位依次是3，a，5；又如，表示這個四位數(shù)的千、百、十、個位依次是a，b，c，d。例2六位數(shù)能被3整除，數(shù)字a=？解：2+5+7+a+3+8=25+a，要使25+a能被3整除，數(shù)字a只能是2，5或8。即符合題意的a是2，5或8。

4、例3由1，3，5，7這四個數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個能被3整除？解：在1，3，5，7這四個數(shù)中，任取三個，共有4組：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7。其中，1+3+5和3+5+7能被3整除，所以，由1，3，5或3，5，7寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)能被3整除。由1，3，5可寫成135，153，315，351，513，531六個三位數(shù)；同理，由3，5，7也能寫成6個三位數(shù)。所以，符合題意的三位數(shù)有62=12(個)。例4被2，3，5除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？解：除1以外，被2除余1的所有整數(shù)是3，5，7，9，11，27，29，31，33，被3除余1的所有整數(shù)是4，7

5、，10，13，16，19，22，25，28，31，被5除余1的所有整數(shù)是6，11，16，21，26，31，36，上面三列數(shù)中，第一個同時出現(xiàn)的數(shù)是31，所以31是同時滿足被2，3，5除均余1且不等于1的最小數(shù)。例4中使用的方法是解這類題型的基本方法，但不夠簡捷。一個較簡捷的方法是：因為5大于2和3，所以先從被5除余1的數(shù)1，6，11，16，21，26，31，36，中找出第一個(1除外)同時滿足被2和3除都余1的數(shù)31，就為所求。到五年級學(xué)了更多的知識后，還可直接由235+1=31得到所求數(shù)。例5同時能被2，3，5整除的最小三位數(shù)是幾？解：能被5整除的三位數(shù)是100，105，110，115，12

6、0，125，其中，第一個能同時被2，3整除的數(shù)是120(它是偶數(shù)，且1+2+0=3)，故120為所求。 練習(xí)1.直接判斷25874和978651能否被3整除。3.由2，3，4，5這四個數(shù)字寫成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，有幾個能被3整除？4.(1)被2，3除余1且不等于1的最小整數(shù)是幾？(2)被3，5除余2且不等于2的最小整數(shù)是幾？5.同時能被2，3，5整除的最小自然數(shù)是幾？6.同時能被2，3，5整除的最大三位數(shù)是幾？7.一根鐵絲長125厘米，要把它剪成長2厘米、3厘米、5厘米的三種不同規(guī)格的小段。最多能剪成多少段？附送：2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 趣題巧解為了考考同學(xué)們的智力和靈

7、氣，先提幾個問題：一張長方形的紙，用剪刀剪掉一個角，還剩幾個角？把一根毛線對折兩次后剪一刀，毛線被剪成了幾段？一樹枝上有10只鳥，用汽槍打中了一只，樹枝上還剩幾只鳥？這類智力問題很有趣，但回答時要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正確地解答這類題目，一是要全面考慮各種情況，二是要充分運用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，再就是還需要些思考問題的靈氣和非常規(guī)的思考方法。例1一張長方形紙片有四個角，用剪刀沿直線剪掉一個角后，還剩幾個角？分析：由于已知“剪掉一個角”，但沒有限制如何剪，所以必須對這個已知條件中的“剪法”有一個全面的考慮。否則，不加思索地順口答出“還剩3個角”，答案就不全面了。當(dāng)我們仔細考慮“剪法

8、”的各種可能性后，再根據(jù)角的定義，就會得到全面而正確的答案。解：由于剪掉長方形紙片的一個角有下頁圖所示的三種不同剪法(圖中陰影部分為剪掉的角)，所以，可能還有5個角、4個角或3個角。答：還剩5個角、4個角或3個角。例2 37個同學(xué)要坐船過河，渡口處只有一只能載5人的小船(無船工)。他們要全部渡過河去，至少要使用這只小船渡河多少次？分析：如果由375=72，得出7+1=8次，那么就錯了。因為忽視了至少要有1個人將小船劃回來這個特定的要求。實際情況是：小船前面的每一個來回至多只能渡4個人過河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5個人過河。解：因為除最后一次可以渡5個人外，前面若干個來回每個來回只能渡

9、過4個人，每個來回是2次渡河，所以至少渡河(37-5)42+1=17(次)。答：至少要渡河17次。例3(1)右圖是10枚硬幣，移動其中1枚硬幣，使每一行上都有6枚硬幣。(2)用12根火柴拼出6個邊長為1根火柴的正方形。分析與解：(1)10枚硬幣擺兩行，一般來說每行有102=5(枚)。圖中的兩行卻是一行5枚一行6枚，原因是中間有1枚在兩行的交叉點上，所以出現(xiàn)了5+610。由于題中并沒有規(guī)定每個位置上只準(zhǔn)放一枚，所以，只要使其中1枚硬幣在兩直行的交叉點上再“重復(fù)”一下，即在兩行的交叉點上重疊地放2枚硬幣(見右上圖)，就可達到目的。(2)一個正方形需要4根火柴才能拼出，12根火柴只能拼出3個正方形，

10、即使如左下圖所示，也只能拼出4個正方形。如果我們放棄“在平面上拼”這種平常的思路，而改為在“立體空間中去拼”的新思路，那么就可能“柳暗花明”。當(dāng)思路轉(zhuǎn)向立體空間后，自然會聯(lián)想到正方體圖形。因為它有六個正方形表面，而且正方體的棱恰好是12條，所以完全符合題意。拼法如右上圖所示。例3的解法說明，“換一個角度”或“換一個方向”去思考問題，往往能收到“奇效”！本題(2)如果把思路始終局限在平面上那么就絕無出路。事實上，題目中并沒有這樣的限制，而是習(xí)慣的思維方式把我們限制了。一旦轉(zhuǎn)到立體空間去思考，問題就迎刃而解了。例4一群動物在一起玩疊羅漢游戲。每只動物的重量都是整千克數(shù)，其中，最輕的重1千克，最重的

11、重60千克。疊羅漢規(guī)定每只動物上面的總重量不能超過自己的重量。在重160千克的動物都有的情況下，它們最多能疊幾層？(疊一個動物算一層)分析與解：由于要求疊的層數(shù)盡量多，所以應(yīng)該想到：最上一層應(yīng)是最輕的動物；每只動物上面的總重量盡量等于自己的重量(也滿足“不超過”自己的重量要求)。按這兩條原則疊羅漢，能很容易找出各層的動物重量，從上到下，它們依次為：第1層 第2層 第3層 第4層 第5層 第6層 第7層 第8層1 2 36 12 24 48 96因為9660，所以這群動物最多只能疊七層羅漢。(疊法不唯一)如果只有重1，3，5，7，9，11，21千克的七個動物，按例4中的要求疊羅漢，那么最多能疊幾

12、層？它是由哪些重量的動物疊出來的？(答案： 5層；由重1， 3， 5， 9， 21千克的動物疊出)例5(1)小麗家里的鬧鐘每天早晨6點半準(zhǔn)時響鈴，提醒小麗起床，準(zhǔn)備上學(xué)。有一次，小麗第二天要6點鐘起床到學(xué)校去大掃除，她在頭天晚上9點時把鬧鐘鐘面時間調(diào)到8點半還是調(diào)到9點半，才能使鬧鐘第二天早晨6點鐘響鈴？(2)小明和小強約定10點鐘在學(xué)校門口碰面，小明的表慢5分鐘，而他卻以為慢10分鐘；小強的表慢10分鐘，而他卻以為快5分鐘。他倆會面時，誰遲到了？先到者等了多少時間才見到遲到者？分析與解：解決這兩個問題的關(guān)鍵是弄清“正確時間”和“鐘面時間”的含意。(1)要使鬧鈴6點鐘響，即比平常提前半小時響，

13、此時的鐘面時間是6點半，它比正確時間多半小時。所以，在頭天晚上9點調(diào)時針時，必須使鐘面時間比正確時間多半小時，即應(yīng)調(diào)到9點半。(2)以正確時間為準(zhǔn)。小明以為他的表慢10分，所以，他比鐘面時間提早10分到達，實際上他的鐘面時間只比正確時間慢5分，所以小明提前了10-5=5(分)；小強以為他的表快5分，所以，他比鐘面時間晚到5分，實際上他的鐘面時間比正確時間慢10分，小強遲到了10+5=15(分)。會面時，小強遲到了，小明等了小強5+15=20(分)。例6(1)三個小朋友三分鐘削三支鉛筆，照此效率，六個小朋友幾分鐘削六支鉛筆？(2)三只貓三天吃三只老鼠，照此效率，六只貓六天吃幾只老鼠？分析與解：這

14、兩個問題用來訓(xùn)練對倍數(shù)關(guān)系的準(zhǔn)確理解。(1)中小朋友個數(shù)變成2倍，削的鉛筆也變成2倍，所以，完成的時間應(yīng)不變，即3分鐘。如果具體分析，那么由已知條件推知，一個小朋友削一支鉛筆需3分鐘，所以，六個小朋友削六支鉛筆還是需3分鐘。(2)中貓的只數(shù)變成2倍，天數(shù)也變成2倍，所以，吃的老鼠只數(shù)就變成了22=4(倍)，即吃了34=12(只)。具體分析，由已知條件推知，一只貓三天吃一只老鼠，所以，當(dāng)貓變成6倍(六只)，而天數(shù)不變時，就有六只貓三天吃16=6(只)老鼠。進而，當(dāng)貓不變(六只)，而天數(shù)變?yōu)?倍(六天)時，就有六只貓六天吃老鼠62=12(只)。 練習(xí)1.畫三條線段，能構(gòu)成幾個角？2.用6根長短、粗

15、細一樣的火柴棍拼出四個等邊三角形(即三邊相等的三角形)，如何拼？3.一只掛鐘，1點整敲1下，2點整敲2下12點整敲12下，每半點整敲1下。一晝夜(24時)一共要敲多少下？4.打靶時，小林和小峰各打了三槍，環(huán)數(shù)為1，2，4，5，7，9環(huán)。已知小林的總環(huán)數(shù)比小峰的總環(huán)數(shù)多6環(huán)。哪幾環(huán)是小峰打的？5.五個小朋友圍坐在一個大圓桌邊，按順時針方向依次編為1，2，3，4，5號。老師給1，2，3，4，5號小朋友分別發(fā)1，2，3，4，5個蘋果。從5號小朋友開始，依次按順時針方向看，若鄰坐的蘋果比自己少，則送給對方一個；若鄰坐的蘋果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈為止，他們每人手中各有多少個蘋果？6.球場休息時，保管員慌忙中把甲、乙、丙三個運動員先前交給他的水瓶都遞送錯了，結(jié)果甲喝的是丙的。乙、丙各喝的是誰的？7.有一個臺稱，只能稱40千克以上的重量，甲、乙、丙三個小朋友的體重都在2039千克之間，他們都想知道自己的體重。用這臺稱怎樣才能知道他們各自的體重？8.(1)三個小朋友三分鐘削三支鉛筆，九個小朋友六分鐘削幾支鉛筆？(2)三只貓三天吃三只老鼠，六只貓幾天吃18只老鼠？