《高等數(shù)學(xué)：第7章 第五節(jié) 、可降階方程》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第7章 第五節(jié) 、可降階方程（24頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、) 1ln2(47.xxxxycossin 答答A第五節(jié)第五節(jié) 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程)()(xfyn ),( yxfy ),( yxfy 一、 型的微分方程兩邊積分一次兩邊積分一次1)()(Cxdxfxdyn 兩邊再積分一次兩邊再積分一次21CxC 2)1(Cxdxdyn 1)(Cxdxf )2(ny)()(xfyn 注意：注意：)1()( nnyxdy所以有所以有1)1()(Cxdxfyn xdxf )( xd依此繼續(xù)進(jìn)行，連續(xù)積分依此繼續(xù)進(jìn)行，連續(xù)積分 n 次即可次即可例例1：解微分方程解微分方程xeyxcos

2、 2 解：對(duì)所給方程連積分兩次解：對(duì)所給方程連積分兩次12)cos( cxdxexdyx y12sin21cxex 212)sin21(cxdcxexdyx yxe241xcos 21cxc tFO,00tx例例2. 質(zhì)量為 m 的質(zhì)點(diǎn)受力F 的作用沿 ox 軸作直線運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),在開(kāi)始時(shí)刻在開(kāi)始時(shí)刻,)0(0FF隨著時(shí)間的增大隨著時(shí)間的增大 , 此力此力 F 均勻地減均勻地減直到直到 t = T 時(shí)時(shí) F(T) = 0 .如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn)如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)在原點(diǎn), 解解: 據(jù)題意有據(jù)題意有)(dd22tFtxm0dd0ttx)1(0TtFt = 0 時(shí)時(shí)設(shè)力設(shè)力 F 僅是時(shí)間僅是時(shí)間 t 的函數(shù)

3、的函數(shù): F = F (t) . 小小,求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 初速度為初速度為0, 且且對(duì)方程兩邊積分對(duì)方程兩邊積分, 得得 )(tF)1(dd022TtmFtx0FT120)2(ddCTttmFtx利用初始條件利用初始條件, 01C得于是于是)2(dd20TttmFtx兩邊再積分得兩邊再積分得2320)62(CTttmFx再利用再利用00tx, 02C得故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為故所求質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為)3(2320TttmFx0dd0ttx),( yxfy 所以所以),(pxfxdpd 這是以這是以 p 為未知函數(shù)，為未知函數(shù)，x 為自變量的一階微分方程為自變量的一階微分方程 。設(shè)其通

4、解為：設(shè)其通解為：),(1Cxp 即即),(1Cxy 兩邊求不定積分，即得方程的通解為兩邊求不定積分，即得方程的通解為21),(CxdCxy ,pxdyd 令令, xdpdy 則則二、 型的微分方程特點(diǎn)：方程中不顯含未知函數(shù)特點(diǎn)：方程中不顯含未知函數(shù) y 。例例1：解微分方程解微分方程xexyxy 1 解：解： 令令 y = p ， 則則 y = p , 所以所以,1xexpxp ,1xexpxp )()()(cxdexqeyxdxpxdxp )1( xdxep)()()(cxdexqeyxdxpxdxp )(1cexx ,)(1cexyx 21)(cxdcexyx 21cxdxcxdexyx

5、 xedx 2212)1(cxcexyx 212xc 2c )1(cxdeexxdxx 212(1 )xxeC xC例例2：求微分方程求微分方程2 )1(2yxyx 滿足初始條件滿足初始條件,1|0 xy3| 0 xy的特解的特解解：令解：令pxxdpdx2)1(2 代入原方程得代入原方程得這是以這是以 p 為未知函數(shù)的可分離變量方程為未知函數(shù)的可分離變量方程,122xdxxppd ,pxdyd ,22xdpdxdyd 則則 1212cxdxxppd |ln p,11122 cxdx |ln p12)1(lncx |ln p,11122 cxdx |ln p12)1(lncx )1(2xcp

6、)(1cec 又又,pxdyd ,1|0 xy3| 0 xy, )01(3 c得得,3 c所以所以, )1(32xxdyd 22)1(3cxdxy ,323cxxy 由由,1|0 xy得得,12 c所以所以133 xxy特點(diǎn)：特點(diǎn)：方程中不顯含自變量方程中不顯含自變量 x 。),( yyfy 所以所以方程中出現(xiàn)了方程中出現(xiàn)了 x , p , y 三個(gè)變量。三個(gè)變量。,pxdyd 令令,pxdyd 令令,22xdpdxdyd 則則),(pyfxdpd xdydydpd ydpdp ),(pyfydpdp xdpdxdyd 22則則代入原方程得代入原方程得三、 型的微分方程 這是以這是以 y 為自

7、變量，為自變量，p 為未知函數(shù)的一階微分方程，為未知函數(shù)的一階微分方程，),(1cyp 由于由于xdydp 所以所以),(1cyxdyd ,),(1xdcyyd 21),(cxdcyyd ),(pyfydpdp 代入原方程得代入原方程得 這是以這是以 x 為自變量，為自變量，y 為未知函數(shù)的可分離變量方程為未知函數(shù)的可分離變量方程設(shè)其通解為設(shè)其通解為故所求通解一般表示為故所求通解一般表示為21),(cxcyyd 例例1：解微分方程解微分方程223 yy 滿足初始條件滿足初始條件 的特解的特解,1|3 xy1| 3 xy解：解：所以所以223yydpdp 或或ydypdp232 1232cydy

8、pdp 132cyp ,pxdyd 令令xdydydpd ydpdp xdpdxdyd 22則則由初始條件由初始條件 得得,1|3 xy1| 3 xy01 c所以有所以有,32yp ,3yp 即即,3yxdyd 由由 知應(yīng)取正號(hào)知應(yīng)取正號(hào)1| 3 xy所以所以,23xdydy 223cxdydy 1232cydypdp 132cyp 由初始條件由初始條件 得得,1|3 xy1| 3 xy01 c3yxdyd 分離變量得分離變量得212 y2cx 由由 得得1|3 xy52 c212 y5 x2)5(4 xy,23xdydy 223cxdydy 212 y2cx 所以所以化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得例例2：解微

9、分方程解微分方程) ( 3yyy 解：本題即不顯含解：本題即不顯含 x , 又不顯含又不顯含 y ,pxdyd 令令方法一方法一:三型三型 xdydydpd ydpdp xdpdxdyd 22則則所以所以ppydpdp 3情形一：情形一：0 p,12 pydpd則有則有,12ydppd 121cydppd P329,1(10)情形一：情形一：0 p,12 pydpd則有則有,12ydppd 121cydppd ,arctan1cyp ,)(tan1cyp 又又,pxdyd 所以所以,)(tan1cyxdyd ,)(tan1xdcyyd 21)(tancxdcyyd | )(sin|ln1cy

10、cxxxd |sin|lntan,2cx | )(sin|1cy ,2cxe )(sin1cy ,2xeC )(22ceC )(sin1cy ,2xeC )(22ceC y12)(arcsinCeCx )(11cC 情形二：情形二：0 p則由于則由于,pxdyd 所以所以,0 xdyd,cy 此解恰好對(duì)應(yīng)上述通解中的此解恰好對(duì)應(yīng)上述通解中的02 C故所求通解為故所求通解為 y12)(arcsinCeCx 其中其中21CC 和和為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。為包括零在內(nèi)的任意常數(shù)。例例2：解微分方程解微分方程) ( 3yyy 解：本題即不顯含解：本題即不顯含 x , 又不顯含又不顯含 y 所以所以,p

11、xdyd 令令, xdpdy 則則,3ppxdpd ,3xdpppd 則則,)1(12cxdpppd 方法二：方法二： ,0: p情情形形一一,)11(12cxddpppp 例例2：解微分方程解微分方程) ( 3yyy 解：本題即不顯含解：本題即不顯含 x , 又不顯含又不顯含 y ,)11(12cxddpppp ,)1ln(21|ln12cxpp ,1|ln12cxpp ,)(12xxCeeCp )(1ceC ,)(12xxCeeCdxdy ,)(112 CdxCeeCyxx,)(arcsin1CCeyx 同理同理 p = 0 時(shí)對(duì)應(yīng)上式中的時(shí)對(duì)應(yīng)上式中的 C = 0 故所求通解為故所求通解

12、為例例1：課練：課練. 解初值問(wèn)題解解: 令0e2 yy,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 則代入方程得代入方程得yppyded2積分得積分得1221221eCpy利用初始條件利用初始條件, 0100 xyyp, 01C得根據(jù)根據(jù)ypxyedd積分得積分得,e2Cxy, 00 xy再由12C得故所求特解為故所求特解為xye1得得為曲邊的曲邊梯形面積為曲邊的曲邊梯形面積上述兩直線與上述兩直線與 x 軸圍成的三角形面軸圍成的三角形面例例2.課練課練. )0()(xxy設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)二階可導(dǎo), 且且, 0)( xy)(xyy 過(guò)曲線上任一點(diǎn)上任一點(diǎn) P(x, y) 作該曲線的作該曲線

13、的切線及切線及 x 軸的垂線軸的垂線,1S區(qū)間區(qū)間 0, x 上以上以,2S記為)(xy, 1221 SS且)(xyy 求解解:, 0)(, 1)0(xyy因?yàn)? 0)(xy所以于是于是cot2121yS yy222S)(xyy 設(shè)曲線在點(diǎn)在點(diǎn) P(x, y) 處的切線傾角為處的切線傾角為 ,滿足的方程滿足的方程 ., 1)0(y積記為積記為( 1999 考研考研 )ttySxd)(02Pxy1S1yxO再利用再利用 y (0) = 1 得得利用利用,1221 SS得得xttyyy021d)(兩邊對(duì)兩邊對(duì) x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得2)( yyy 定解條件為定解條件為)0(, 1)0(yy),(ypy 令方程化為方程化為,ddyppy 則yyppdd,1yCp 解得利用定解條件得利用定解條件得,11C, yy 再解得得,e2xCy , 12C故所求曲線方程為故所求曲線方程為xye2ddpyppy12SPxy1S1yxOyyS221ttySxd)(02第第7章：作業(yè)章：作業(yè)課練課練:習(xí)題7 5: 1( 3，5, 8），2（1，3 ) 習(xí)題75：P328，1(1,2,4,6,7)，2(2), 3