《2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題24 相似三角形判定與性質(zhì)（含解析）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題24 相似三角形判定與性質(zhì)（含解析）（28頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題24 相似三角形判定與性質(zhì) 專題知識(shí)回顧 1相似三角形：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。2三角形相似的判定方法:（1）定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊延長線）相交，構(gòu)成的三角形與原三角形相似。（3）判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。（4）判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)相等，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形

2、相似。（5）判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似，可簡述為三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。3直角三角形相似判定定理:以上各種判定方法均適用定理：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。垂直法：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。4相似三角形的性質(zhì):（1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例（2）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比（3）相似三角形周長的比等于相似比（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方。專題典型題考法及解析

3、【例題1】（2019海南?。┤鐖D，在RtABC中，C90，AB5，BC4點(diǎn)P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQAB交BC于點(diǎn)Q，D為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)BD平分ABC時(shí)，AP的長度為（）A.BCD【答案】B【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到QBDBDQ，得到QBQD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可C90，AB5，BC4，AC3，PQAB，ABDBDQ，又ABDQBD，QBDBDQ，QBQD，QP2QB，PQAB，CPQCAB，即，解得，CP，APCACP【例題2】（2019四川

4、省涼山州）在ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，且點(diǎn)E將AD分為2：3的兩部分，連接BE、AC相交于F，則SAEF：SCBF是 【答案】4：25或9：25【解析】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵分AE：ED2：3、AE：ED3：2兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可當(dāng)AE：ED2：3時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，AE：BC2：5，AEFCBF，SAEF：SCBF（）24：25；當(dāng)AE：ED3：2時(shí)，同理可得，SAEF：SCBF（）29：25?！纠}3】（2019湖北省荊門市）如圖，為了測量一棟樓的高度OE，小明同學(xué)先

5、在操場上A處放一面鏡子，向后退到B處，恰好在鏡子中看到樓的頂部E；再將鏡子放到C處，然后后退到D處，恰好再次在鏡子中看到樓的頂部E（O，A，B，C，D在同一條直線上），測得AC2m，BD2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG為1.6m，試確定樓的高度OE【答案】樓的高度OE為32米【解析】設(shè)E關(guān)于O的對(duì)稱點(diǎn)為M，由光的反射定律知，延長GC、FA相交于點(diǎn)M，連接GF并延長交OE于點(diǎn)H，GFAC，MACMFG，即：，OE32【例題4】（2019年廣西梧州市）如圖，在矩形ABCD中，AB4，BC3，AF平分DAC，分別交DC，BC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)；連接DF，過點(diǎn)A作AHDF，分別交BD，BF于

6、點(diǎn)G，H（1）求DE的長；（2）求證：1DFC【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了矩形的相關(guān)證明與計(jì)算，熟練掌握矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵（1）由ADCF，AF平分DAC，可得FACAFC，得出ACCF5，可證出ADEFCE，則，可求出DE長；矩形ABCD中，ADCF，DAFACF，AF平分DAC，DAFCAF，F(xiàn)ACAFC，ACCF，AB4，BC3，5，CF5，ADCF，ADEFCE，設(shè)DEx，則，解得x；（2）由ADGHBG，可求出DG，則，可得EGBC，則1AHC，根據(jù)DFAH，可得AHCDFC，結(jié)論得證ADFH，AFDH，四邊形ADFH是平行四

7、邊形，ADFH3，CH2，BH5，ADBH，ADGHBG，DG，DE，EGBC，1AHC，又DFAH，AHCDFC，1DFC【例題5】（2019年湖南省張家界市）如圖，在平行四邊形ABCD中，連接對(duì)角線AC，延長AB至點(diǎn)E，使BEAB，連接DE，分別交BC，AC交于點(diǎn)F，G（1）求證：BFCF；（2）若BC6，DG4，求FG的長【答案】見解析?！窘馕觥扛鶕?jù)平行四邊形的性質(zhì)得到ADCD，ADBC，得到EBFEAD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證明即可；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADCD，ADBC，EBFEAD，BFADBC，BFCF；（2）四邊形ABCD是平

8、行四邊形，ADCD，F(xiàn)GCDGA，即，解得，F(xiàn)G2 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題1.（2019年廣西玉林市）如圖，ABEFDC，ADBC，EF與AC交于點(diǎn)G，則是相似三角形共有（）A3對(duì)B5對(duì)C6對(duì)D8對(duì)【答案】C 【解析】圖中三角形有：AEG，ADC，CFG，CBA，ABEFDC，ADBCAEGADCCFGCBA共有6個(gè)組合分別為：AEGADC，AEGCFG，AEGCBA，ADCCFG，ADCCBA，CFGCBA2.（2019年內(nèi)蒙古赤峰市）如圖，D、E分別是ABC邊AB，AC上的點(diǎn)，ADEACB，若AD2，AB6，AC4，則AE的長是（）A1B2C3D4【答案】C 【解析】證明ADEACB，

9、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可ADEACB，AA，ADEACB，即，解得，AE33.（2019廣西賀州）如圖，在ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，DEBC，若AD2，AB3，DE4，則BC等于（）A5B6C7D8【答案】B 【解析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形相似得出對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵由平行線得出ADEABC，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出結(jié)果DEBC，ADEABC，即，解得：BC64.（2019廣西貴港）如圖，在ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DEBC，ACDB，若AD2BD，BC6，則線段CD的長為（）A2B3C2D5【答案】C【解析】設(shè)AD2x

10、，BDx，所以AB3x，易證ADEABC，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DE的長度，以及，再證明ADEACD，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出得出，從而可求出CD的長度設(shè)AD2x，BDx，AB3x，DEBC，ADEABC，DE4，ACDB，ADEB，ADEACD，AA，ADEACD，設(shè)AE2y，AC3y，ADy，CD25.（2019黑龍江哈爾濱）如圖，在ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，EMAD，交AB于點(diǎn)M，ENAB，交AD于點(diǎn)N，則下列式子一定正確的是（）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)在ABCD中，EMAD易證四邊形AMEN為平行四邊形易證BEMBADEND，A項(xiàng)

11、錯(cuò)誤，B項(xiàng)錯(cuò)誤，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確。6. （2019江蘇蘇州）如圖，在中，點(diǎn)為邊上的一點(diǎn)，且，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，若，則的面積為（ ）ABCD【答案】B 【解析】考察相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的高，中等題型易證即由題得解得的高易得：7.（2019山東棗莊）如圖，將ABC沿BC邊上的中線AD平移到ABC的位置已知ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9若AA1，則AD等于（）A2B3C4D【答案】B 【解析】本題主要平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)由SABC16.SAEF9且AD為BC邊的中線知SADESAEF，SABDS

12、ABC8，根據(jù)DAEDAB知（）2，據(jù)此求解可得SABC16.SAEF9，且AD為BC邊的中線，SADESAEF，SABDSABC8，將ABC沿BC邊上的中線AD平移得到ABC，AEAB，DAEDAB，則（）2，即（）2，解得AD3或AD（舍）。8.（2019四川巴中）如圖ABCD，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，延長AD至E，使DE：AD1：3，連結(jié)EF交DC于點(diǎn)G，則SDEG：SCFG（）A2：3B3：2C9：4D4：9【答案】D【解析】先設(shè)出DEx，進(jìn)而得出AD3x，再用平行四邊形的性質(zhì)得出BC3x，進(jìn)而求出CF，最后用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論設(shè)DEx，DE：AD1：3，AD3x，四邊形ABCD是平行

13、四邊形，ADBC，BCAD3x，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CFBCx，ADBC，DEGCFG，（）2（）29.（2019年四川省遂寧市）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，BPC是等邊三角形，連接DP并延長交CB的延長線于點(diǎn)H，連接BD交PC于點(diǎn)Q，下列結(jié)論：BPD135；BDPHDB；DQ：BQ1：2；SBDP其中正確的有（）ABCD【答案】D【解析】由等邊三角形及正方形的性質(zhì)求出CPDCDP75、PCBCPB60，從而判斷；證DBPDPB135可判斷；作QECD，設(shè)QEDEx，則QDx，CQ2QE2x，CEx，由CE+DECD求出x，從而求得DQ、BQ的長，據(jù)此可判斷，證DPDQ，根據(jù)SBDP

14、BDPDsinBDP求解可判斷PBC是等邊三角形，四邊形ABCD是正方形，PCBCPB60，PCD30，BCPCCD，CPDCDP75，則BPDBPC+CPD135，故正確；CBDCDB45，DBPDPB135，又PDBBDH，BDPHDB，故正確；如圖，過點(diǎn)Q作QECD于E，設(shè)QEDEx，則QDx，CQ2QE2x，CEx，由CE+DECD知x+x1，解得x，QDx，BD，BQBDDQ，則DQ：BQ：1：2，故錯(cuò)誤；CDP75，CDQ45，PDQ30，又CPD75，DPQDQP75，DPDQ，SBDPBDPDsinBDP，故正確。二、填空題10.（2019浙江寧波）如圖所示，RtABC中，C9

15、0，AC12，點(diǎn)D在邊BC上，CD5，BD13點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)半徑為6的P與ABC的一邊相切時(shí)，AP的長為【答案】6.5或3【解析】在RtABC中，C90，AC12，BD+CD18，AB6，在RtADC中，C90，AC12，CD5，AD13，當(dāng)P于BC相切時(shí)，點(diǎn)P到BC的距離6，過P作PHBC于H，則PH6，C90，ACBC，PHAC，DPHDAC，PD6.5，AP6.5；當(dāng)P于AB相切時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離6，過P作PGAB于G，則PG6，ADBD13，PAGB，AGPC90，AGPBCA，AP3，CD56，半徑為6的P不與ABC的AC邊相切，綜上所述，AP的長為6.5或3，故答案為

16、：6.5或311. 2019黑龍江省龍東地區(qū)） 一張直角三角形紙片ABC，ACB90，AB10，AC6，點(diǎn)D為BC邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)BDE是直角三角形時(shí)，則CD的長為_【答案】3或.【解析】在BDE中，B是銳角，有兩種可能，DEB或EDB是直角，由此畫出示意圖，逐步求解即可.如圖1，DEB是直角時(shí)，ACB90，AB10，AC6，BC=8,設(shè)CD=x，則BD=8-x，由折疊知CD=ED=x，ACBDEB=90，BEDBCA，即，解得x=3;如圖2，EDB是直角時(shí)，EDAC，BEDBAC，,即，解得x=，綜上，CD的長為3或.圖1圖212（20

17、19山東泰安）如圖，矩形ABCD中，AB3，BC12，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，將AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落到CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是 【答案】2【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是能夠作出適當(dāng)?shù)妮o助線，連接CE，構(gòu)造相似三角形，最終利用相似的性質(zhì)求出結(jié)果連接EC，利用矩形的性質(zhì)，求出EG，DE的長度，證明EC平分DCF，再證FEC90，最后證FECEDC，利用相似的性質(zhì)即可求出EF的長度如圖，連接EC，四邊形ABCD為矩形，AD90，BCAD12，DCAB3，E為AD中點(diǎn)，AEDEAD6由翻折知，AEFGEF，AEGE6，AEFGE

18、F，EGFEAF90D，GEDE，EC平分DCG，DCEGCE，GEC90GCE，DEC90DCE，GECDEC，F(xiàn)ECFEG+GEC18090，F(xiàn)ECD90，又DCEGCE，F(xiàn)ECEDC，EC3，F(xiàn)E213.（2019江蘇常州）如圖，在矩形ABCD中，AD3AB3點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE2BE，點(diǎn)M、N在線段BD上若PMN是等腰三角形且底角與DEC相等，則MN_【答案】6【解析】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)等幾何知識(shí)點(diǎn)首先由勾股定理，求得BD10，然后由“AD3AB3點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC上，CE2BE”，求得PD，

19、CE2，這樣由tanDEC；第四步過點(diǎn)P作PHBD于點(diǎn)H，在BD上依次取點(diǎn)M、N，使MHNH2PH，于是因此PMN是所求符合條件的圖形；第五步由DPHDBA，得，即，得PH，于是MN4PH6，本題答案為614.（2019山東省濱州市）如圖，ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，CE平分BCD交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且ABC60，AB2BC，連接OE下列結(jié)論：EOAC；SAOD4SOCF；AC：BD：7；FB2OFDF其中正確的結(jié)論有 （填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】【解析】本題考查，平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決

20、問題，屬于填空題中的壓軸題正確只要證明ECEABC，推出ACB90，再利用三角形中位線定理即可判斷錯(cuò)誤想辦法證明BF2OF，推出SBOC3SOCF即可判斷正確設(shè)BCBEECa，求出AC，BD即可判斷正確求出BF，OF，DF（用a表示），通過計(jì)算證明即可四邊形ABCD是平行四邊形，CDAB，ODOB，OAOC，DCB+ABC180，ABC60，DCB120，EC平分DCB，ECBDCB60，EBCBCECEB60，ECB是等邊三角形，EBBC，AB2BC，EAEBEC，ACB90，OAOC，EAEB，OEBC，AOEACB90，EOAC，故正確，OEBC，OEFBCF，OFOB，SAODSBOC

21、3SOCF，故錯(cuò)誤，設(shè)BCBEECa，則AB2a，ACa，ODOBa，BDa，AC：BDa：a：7，故正確，OFOBa，BFa，BF2a2，OFDFa（a+a）a2，BF2OFDF，故正確，故答案為15.（2019四川瀘州）如圖，在等腰RtABC中，C90，AC15，點(diǎn)E在邊CB上，CE2EB，點(diǎn)D在邊AB上，CDAE，垂足為F，則AD的長為 【答案】92【解析】過D作DHAC于H，在等腰RtABC中，C90，AC15，ACBC15，CAD45，AHDH，CH15DH，CFAE，DHADFA90，HAFHDF，ACEDHC，DHAC=CHCE，CE2EB，CE10，DH15=15-DH10，D

22、H9，AD92，故答案為：92三、解答題16.（2019四川省涼山州）如圖，ABDBCD90，DB平分ADC，過點(diǎn)B作BMCD交AD于M連接CM交DB于N（1）求證：BD2ADCD；（2）若CD6，AD8，求MN的長【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求MC的長度是本題的關(guān)鍵證明：（1）通過證明ABDBCD，可得，可得結(jié)論；DB平分ADC，ADBCDB，且ABDBCD90，ABDBCDBD2ADCD（2）由平行線的性質(zhì)可證MBDBDC，即可證AMMDMB4，由BD2ADCD和勾股定理可求MC的長，通過證明MNBCND，可得，即可求MN的長BMC

23、DMBDBDCADBMBD，且ABD90BMMD，MABMBABMMDAM4BD2ADCD，且CD6，AD8，BD248，BC2BD2CD212MC2MB2+BC228MC2BMCDMNBCND，且MC2MN17（2019山東泰安）在矩形ABCD中，AEBD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是邊AD上一點(diǎn)（1）若BP平分ABD，交AE于點(diǎn)G，PFBD于點(diǎn)F，如圖，證明四邊形AGFP是菱形；（2）若PEEC，如圖，求證：AEABDEAP；（3）在（2）的條件下，若AB1，BC2，求AP的長【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相

24、似三角形解決問題，屬于中考?？碱}型（1）想辦法證明AGPF，AGPF，推出四邊形AGFP是平行四邊形，再證明PAPF即可解決問題證明：如圖中，四邊形ABCD是矩形，BAD90，AEBD，AED90，BAE+EAD90，EAD+ADE90，BAEADE，AGPBAG+ABG，APDADE+PBD，ABGPBD，AGPAPG，APAG，PAAB，PFBD，BP平分ABD，PAPF，PFAG，AEBD，PFBD，PFAG，四邊形AGFP是平行四邊形，PAPF，四邊形AGFP是菱形（2）證明AEPDEC，可得，由此即可解決問題證明：如圖中，AEBD，PEEC，AEDPEC90，AEPDEC，EAD+A

25、DE90，ADE+CDE90，EAPEDC，AEPDEC，ABCD，AEABDEAP；（3）利用（2）中結(jié)論求出DE，AE即可解：四邊形ABCD是矩形，BCAD2，BAD90，BD，AEBD，SABDBDAEABAD，AE，DE，AEABDEAP；AP18(2019安徽)如圖，RtABC中，ACB90，ACBC，P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且APBBPC135（1）求證：PABPBC；（2）求證：PA2PC；（3）若點(diǎn)P到三角形的邊AB，BC，CA的距離分別為h1，h2，h3，求證h12h2h3【答案】見解析。【解析】此題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷出EAPPCD是解本

26、題的關(guān)鍵（1）ACB90，ABBC，ABC45PBA+PBC又APB135，PAB+PBA45PBCPAB又APBBPC135，PABPBC（2）PABPBC在RtABC中，ABAC，PA2PC（3）如圖，過點(diǎn)P作PDBC，PEAC交BC.AC于點(diǎn)D，E，PFh1，PDh2，PEh3，CPB+APB135+135270APC90，EAP+ACP90，又ACBACP+PCD90EAPPCD，RtAEPRtCDP，即，h32h2PABPBC，即：h12h2h319.（2019年湖南省株洲市）如圖所示，已知正方形OEFG的頂點(diǎn)O為正方形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，連接CE、DG（1）求證：DOG

27、COE；（2）若DGBD，正方形ABCD的邊長為2，線段AD與線段OG相交于點(diǎn)M，AM，求正方形OEFG的邊長【答案】見解析?！窘馕觥坑烧叫蜛BCD與正方形OEFG，對(duì)角線AC、BD，可得DOADOC90，GOE90，即可證得GODCOE，因DOOC，GOEO，則可利用“邊角邊”即可證兩三角形全等；過點(diǎn)M作MHDO交DO于點(diǎn)H，由于MDB45，由可得DH，MH 長，從而求得HO，即可求得MO，再通過MHDG，易證得OHMODG，則有，求得GO即為正方形OEFG的邊長（1）正方形ABCD與正方形OEFG，對(duì)角線AC、BDDOOCDBAC，DOADOC90GOE90GOD+DOEDOE+COE90GODCOEGOOE在DOG和COE中DOGCOE（SAS）（2）如圖，過點(diǎn)M作MHDO交DO于點(diǎn)HAM，DA2DMMDB45MHDHsin45DM，DOcos45DAHODODH在RtMHO中，由勾股定理得MODGBD，MHDOMHDG易證OHMODG，得GO2則正方形OEFG的邊長為228