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1、 課時訓練(二十六)　與圓有關的計算 (限時:50分鐘) |夯實基礎| 1.120°的圓心角所對的弧長是6π,則此弧所在圓的半徑是 (　　) A.3 B.4 C.9 D.18 2.[2018·黃石] 如圖K26-1,AB是☉O的直徑,點D為☉O上一點,且∠ABD=30°,BO=4,則BD的長為 (　　) 圖K26-1 A.23π B.43π C.2π D.83π 3.[2018·臺灣] 如圖K26-2,△ABC中,D為BC的中點,以D為圓心,BD長為半徑畫弧交AC于E點,若∠A=60°,∠ABC=100°,BC=4,則扇形BD

2、E的面積為 (　　) 圖K26-2 A.13π B.23π C.49π D.59π 4.[2018·天門] 一個圓錐的側面積是底面積的2倍,則該圓錐側面展開圖的圓心角的度數是 (　　) A.120° B.180° C.240° D.300° 5.如圖K26-3,在5×5的正方形網格中,每個小正方形的邊長都為1,點A,B,C均為格點,則扇形ABC中BC的長等于 (　　) 圖K26-3 A.2π B.3π C.4π D.172π 6. [2018·綿陽] 蒙古包可近似地看作由圓錐和圓柱組成,若用毛氈搭建一個底面圓面積為25π m2

3、,圓柱高為3 m,圓錐高為 2 m的蒙古包,則需要毛氈的面積是 (　　) A.(30+529)π m2 B.40π m2 C.(30+521)π m2 D.55π m2 7.[2018·廣安] 如圖K26-4,已知☉O的半徑是2,點A,B,C在☉O上,若四邊形OABC為菱形,則圖中陰影部分面積為 (　　) 圖K26-4 A.23π-23 B.23π-3 C.43π-23 D.43π-3 8.如圖K26-5,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=3,矩形ABCD在直線l上繞其右下角的頂點B向右旋轉90°至圖①位置,再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋

4、轉90°至圖②位置……以此類推,這樣連續(xù)旋轉2017次后,頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是 (　　) 圖K26-5 A.2017π B.3019.5π C.3024π D.3026π 9.[2018·昆明] 如圖K26-6,正六邊形ABCDEF的邊長為1,以點A為圓心,AB的長為半徑,作扇形ABF,則圖中陰影部分的面積為　　　　(結果保留根號和π).? 圖K26-6 10.[2018·鹽城] 如圖K26-7,圖①是由若干個相同的圖形(圖②)組成的美麗圖案的一部分,圖②中,圖形的相關數據:半徑OA=2 cm,∠AOB=120°.則圖②的周長為　　

5、　　cm(結果保留π).? 圖K26-7 11.[2018·梧州] 如圖K26-8,圓錐側面展開得到扇形,此扇形半徑CA=6,圓心角∠ACB=120°,則此圓錐高OC的長度是　　　　.? 圖K26-8 12.[2018·云南] 如圖K26-9,已知AB是☉O的直徑,C是☉O上的點,點D在AB的延長線上,∠BCD=∠BAC. 圖K26-9 (1)求證:CD是☉O的切線; (2)若∠D=30°,BD=2,求圖中陰影部分的面積. 13.[2018·滄州模擬] 如圖K26-10,半圓O的直徑AB=6,弦CD的長為3,點C,D在

6、AB上運動,D點在AC上且不與A點重合,但C點可與B點重合. 圖K26-10 (1)當AD的長=34π時,求BC的長; (2)取CD的中點M,在CD運動的過程中,求點M到AB的距離的最大值. |拓展提升| 14.[2018·安順] 如圖K26-11,C為半圓內一點,O為圓心,直徑AB長為2 cm,∠BOC=60°,∠BCO=90°,將△BOC繞圓心O逆時針旋轉至△B'OC',點C'在OA上,則邊BC掃過區(qū)域(圖中陰影部分)的面積為　　　　cm2.? 圖K26-11 15.[2018·濰坊] 如圖K26-12,點A1的坐標為(2,0),過點A1作

7、x軸的垂線交直線l:y=3x于點B1,以原點O為圓心,OB1的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A2;再過點A2作x軸的垂線交直線l于點B2,以原點O為圓心,OB2的長為半徑畫弧交x軸正半軸于點A3;….按此作法進行下去,則的長是　　　　.? 圖K26-12 16.[2018·襄陽] 如圖K26-13,AB是☉O的直徑,AM和BN是☉O的兩條切線,E為☉O上一點,過點E作直線DC分別交AM,BN于點D,C,且CB=CE. 圖K26-13 (1)求證:DA=DE; (2)若AB=6,CD=43,求圖中陰影部分的面積. 17.[2016·河北25題

8、節(jié)選] 如圖K26-14,半圓O的直徑AB=4,以長為2的弦PQ為直徑,向點O方向作半圓M,其中P點在AQ上且不與A點重合,但Q點可與B點重合. 發(fā)現(xiàn):AP的長與QB的長之和為定值l,求l. 探究:當半圓M與AB相切時,求AP的長. 注:結果保留π,cos35°=63,cos55°=33 圖K26-14 參考答案 1.C 2.D 3.C　[解析] ∵∠A=60°,∠ABC=100°,∴∠C=180°-60°-100°=20°. ∵DE=DC,∴∠DEC=∠C=20°,∴∠BDE=∠C+∠DEC=40°,∴S扇形DBE=40·π·22360=49π. 故選

9、C. 4.B　[解析] 設母線長為R,底面半徑為r,∴底面周長=2πr,底面面積=πr2,側面面積=πrR,∵側面積是底面積的2倍,∴2πr2=πrR,∴R=2r,設圓心角為n,則nπR180=2πr=πR,解得n=180°,故選B. 5.D　[解析] 在△ACE與△BAD中,CE=AD=4,∠E=∠D=90°,AE=BD=1,∴△ACE≌△BAD(SAS),∴∠ECA=∠BAD,∵∠ECA+∠CAE=90°,∴∠CAE+∠BAD=90°,∴∠CAB=90°, ∵AC=AB=42+12=17,∴扇形ABC中BC的長=90π×17180=172π,故選D. 6.A　[解析] 設底面圓

10、的半徑為R,則πR2=25π,解得R=5,圓錐的母線長=22+52=29, 所以圓錐的側面積=π×5×29=529π;圓柱的側面積=2π×5×3=30π, 所以需要毛氈的面積=(30π+529π)m2.故選A. 7.C　[解析] 連接OB和AC交于點D,如圖所示. ∵圓的半徑為2,∴OB=OA=OC=2,又四邊形OABC是菱形,∴OB⊥AC,OD=12OB=1, 在Rt△COD中利用勾股定理可知: CD=22-12=3,∴AC=2CD=23, ∵sin∠COD=CDOC=32, ∴∠COD=60°,∠AOC=2∠COD=120°, ∴S菱形ABCO=12OB·AC=12×

11、2×23=23,S扇形AOC=120·π·22360=4π3, 則圖中陰影部分面積為S扇形AOC-S菱形ABCO=43π-23,故選C. 8.D　[解析] 第一次旋轉點A經過的路程是90π×4180=2π,第二次旋轉點A經過的路程是90π×5180=52π,第三次旋轉點A經過的路程是90π×3180=32π,第四次旋轉點A經過的路程是0,第五次旋轉點A經過的路程是90π×4180=2π,…,以此類推,每旋轉四次一循環(huán),頂點A旋轉四次經過的路程為2π+52π+32π=6π,而2017÷4=504……1,∴這樣連續(xù)旋轉2017次后,頂點A在整個旋轉過程中所經過的路程之和是6π×504+2π

12、=3026π.故選D. 9.332-13π　[解析] 由于正六邊形的每一個內角的度數=(6-2)×180°6=120°,所以S陰影=S正六邊形ABCDEF-S扇形ABF=6×34×12-120360×π×12=332-13π. 10.8π3　[解析] ∵半徑OA=2 cm,∠AOB=120°,∴AB的長=120·π·2180=4π3,AO的長+OB的長=4π3,∴題圖②的周長=4π3+4π3=8π3(cm). 11.42　[解析] 設圓錐底面圓的半徑為r,∵AC=6,∠ACB=120°,∴l(xiāng)AB=120π×6180=2πr,∴r=2,即OA=2,在Rt△AOC中,OA=2,AC=6,根據

13、勾股定理得,OC=AC2-OA2=42,故答案為42. 12.[解析] (1)連接OC,證明OC⊥CD.(2)先計算出扇形OAC的面積以及△OAC的面積,再利用S陰影=S扇形OAC-S△OAC求解. 解:(1)證明:連接OC. ∵AB是☉O的直徑, ∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°. ∵OA=OC, ∴∠ACO=∠A. ∵∠BCD=∠A, ∴∠ACO=∠BCD, ∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°, ∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切線. (2)∵∠D=30°,∠OCD=90°, ∴∠BOC=60°,OD=2OC, ∴∠AOC=120

14、°,∠A=30°. 設☉O的半徑為x,則OB=OC=x, ∴x+2=2x,解得x=2. 過點O作OE⊥AC,垂足為點E,則AE=CE, 在Rt△OEA中,OE=12OA=1,AE=AO2-OE2=22-12=3, ∴AC=23, ∴S陰影=S扇形OAC-S△OAC=120×π×22360-12×23×1=43π-3. 13.解:(1)連接OD,OC, ∵CD=OC=OD=3,∴△CDO是等邊三角形, ∴∠COD=60°, ∴CD的長=60π×3180=π. 又∵半圓弧的長度為:12×6π=3π, ∴BC的長=3π-π-3π4=5π4. (2)過點M作ME⊥AB于點E,

15、連接OM, 在CD運動的過程中,CD=3, 由垂徑定理可知:DM=32, 由勾股定理可知:OM=OD2-DM2=332, 由勾股定理可知:ME2=OM2-OE2, 若ME取最大值,則只需要OE最小即可,令OE=0,此時ME=OM=332, 即點M到AB的距離的最大值為332. 14.14π　[解析] ∵∠BOC=60°,△B'OC'是△BOC繞圓心O逆時針旋轉得到的, ∴∠B'OC'=60°,△B'C'O≌△BCO, ∴∠B'OC=60°,∠C'B'O=30°,∴∠B'OB=120°, ∵AB=2 cm,∴OB=1 cm,OC'=12 cm,∴B'C'=32 cm,∴S

16、扇形B'OB=120π×12360=13π,S扇形C'OC=120π×14360=π12,∴陰影部分面積=S扇形B'OB+S△B'C'O-S△BCO-S扇形C'OC=S扇形B'OB-S扇形C'OC=13π-π12=14π.故答案為:14π. 15.22019π3　[解析] 由題意可知點B1的坐標為(2,23),∵以原點O為圓心,OB1長為半徑畫弧交x軸于點A2,∴OA2=OB1,∴OA2=22+(23)2=4,點A2的坐標為(4,0),同理可求得B2的坐標為(4,43),故點A3的坐標為(8,0),B3(8,83),以此類推便可求出點A2019的坐標為(22019,0),則A2019B201

17、8的長是60×π×22019180=22019π3. 16.解:(1)證明:連接OE,OC, ∵BN切☉O于點B,∴∠OBN=90°. ∵OE=OB,OC=OC,CE=CB, ∴△OEC≌△OBC,∴∠OEC=∠OBC=90°, ∴CD是☉O的切線. ∵AD切☉O于點A,∴DA=DE. (2)過點D作DF⊥BC于點F,則四邊形ABFD是矩形, ∴AD=BF,DF=AB=6.∴DC=BC+AD=43. ∵FC=DC2-DF2=23,∴BC-AD=23, ∴BC=33. 在Rt△OBC中,tan∠BOC=BCBO=3, ∴∠BOC=60°. ∵△OEC≌△OBC,∴∠

18、BOE=2∠BOC=120°. ∴S陰影部分=S四邊形BCEO-S扇形OBE=2×12BC·OB-120360×π·OB2=93-3π. 17.解:發(fā)現(xiàn):如圖①,連接OP,OQ, ∵AB=4,∴OP=OQ=2, ∵PQ=2,∴△OPQ是等邊三角形, ∴∠POQ=60°,∴PQ的長=60π×2180=23π, 又∵AB的長為:12π×4=2π, ∴AP的長+QB的長=2π-23π=43π,∴l(xiāng)=43π. 探究:設切點為C,當半圓M與AB相切時,此時,MC=1, 如圖②,當點C在線段OA上時,連接OM,OP,MC, 在Rt△POM中,OM=OP2-PM2=3. 在Rt△OCM中,由勾股定理可求得:OC=2, ∴cos∠AOM=OCOM=63,∴∠AOM=35°. ∵∠POM=30°,∴∠AOP=∠AOM-∠POM=5°, ∴AP的長=5π×2180=π18; 如圖③,當點C在線段OB上時,連接OQ,OM,OP,MC, 此時,∠BOM=35°,∵∠POM=30°, ∴∠AOP=180°-∠POM-∠BOM=115°, ∴AP的長=115π×2180=2318π. 綜上所述,當半圓M與AB相切時,AP的長為π18或2318π. 13