《同濟六版高數(shù)練習(xí)冊答案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《同濟六版高數(shù)練習(xí)冊答案第八章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 §1極限與連續(xù) 1． 求下列極限： （1）； 解：初等函數(shù)在其定義域內(nèi)連續(xù)。== （2） （3） （4）= （5） 2．證明下列極限不存在 （1）； 解令則 ，不同的路徑極限不同，故極限不存在。 （2）. 當(dāng)時 當(dāng)時，不同的路徑極限不同，故極限不存在 3． 用定義證明：. 解：由，故對取，當(dāng)時，故 §2 偏導(dǎo)數(shù) 1． 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)： （1）； （2） 解：， （3） （4） 解：關(guān)于是冪函數(shù)故：， 關(guān)于是冪指函數(shù)，將其寫成指數(shù)函數(shù)，故： （5） 關(guān)于是冪函數(shù)故， 關(guān)于是冪

2、函數(shù)故，關(guān)于是指數(shù)函數(shù)。（6） 2．填空 （1）曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角為 解 法一：由偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義知：函數(shù)在點關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)就為 曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角（記為）的正切，即： ，得，故。 解 法二：求曲線在點處的切向量，將曲線參數(shù)化為，在的切向量為，故曲線在點處的切向量為，若記它與軸正向所成的傾角為，則，故曲線在點處的切線與軸正向所成的傾角為 （2）設(shè)，則= 法一：，故 法二故 （3）設(shè)，則= . 由，，有 3．設(shè) 用定義證明：在處連續(xù)，且偏導(dǎo)數(shù)存在. 證明（1）用定義證明在處連續(xù)： 由， 故，故在處連續(xù)

3、 （2） 4．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)： （1） ， （2） , , 4． 驗證滿足： 證明：， 同理可得，， 故 5． 設(shè)，求 ，， §3 全微分 1． 判斷 （1）若函數(shù)在點可微，則函數(shù)在點偏導(dǎo)數(shù)存在.（ T ） （2）偏導(dǎo)數(shù)存在是可微的充分條件.（ F ）(必要條件) （3）可微必連續(xù).（ T ） （4）連續(xù)必可微.（ F ） （5）若函數(shù)在一點偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點一定可微.（ T ） 2．求下列函數(shù)的全微分： （1）； 法一：， 法二 （2）； ， （

4、3）. ,, = 3．利用微分的形式不變性求函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，并求的值. , 4．討論函數(shù)在點的可微性. 分析用定義去證明函數(shù)在可微性，（1）首先考察在的可導(dǎo)性，若不可導(dǎo)，則不可微。（2）若可導(dǎo)求出，，算出全增量，和偏增量，（3）考察全增量與偏增量之差是否是的高階無窮小，即極限是否為零。若為零則可微，否則不可微。 解：首先考察在的可導(dǎo)性， （無窮小乘有界函數(shù)為無窮小） 全增量 偏增量 （無窮小乘有界函數(shù)為無窮?。? 故函數(shù)在點的可微。 5．計算的近似值. 解：令，由于函數(shù)是初等函數(shù)故在可微 ， 即，故： §4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 1． 求解

5、下列各題： （1），求； （2），求； 注意不要寫成 （3），求； 法一：令則。 法二：關(guān)于是冪指函數(shù)轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù) 則 法三：取對數(shù)得，，兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 ， （4），求； （5），求； （6），求. , 2．求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(需要注意的是復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)以后仍然是復(fù)合函數(shù)，求高階導(dǎo)時仍然要用鏈?zhǔn)椒▌t) （1），求。 ，（注意到為 （2），求； （注意到分別為） （3），求； （注意到分別為） （若有二階連續(xù)偏導(dǎo)則，則） （4），求 ，（注意到分別為） 3已知， ，求。

6、 分析兩種方式求導(dǎo)：直接求導(dǎo)，視為復(fù)合函數(shù)用鏈?zhǔn)椒▌t求 解：，又再由得 4．設(shè)函數(shù)滿足方程，令，求證：. 分析：視為以為中間變量，為最終變量的復(fù)合函數(shù)。即 證明1：(視為中間變量，為最終變量) 由得，， 故， 又，得。 證明2：(視為中間變量，為最終變量;不妨設(shè)此時） ， §5 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 1． 求解下列各題： （1），求； 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù)，則， 故 （2），求； 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：，得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù)， 則，故 ， （3），可微，求； 法一：（隱函數(shù)

7、法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)：得 法二：（公式法）令函數(shù) 則， 故 。 （4），求. 法一：兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 （1） （2） 得 （3） （4） （1） 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 即： ，（5） 聯(lián)立（3）（4）（5）得 法二：求得， （1） （注意是以為自變量的函數(shù)） 求得（2），聯(lián)立（1）（2）得 2．若由方程組 確定，求. 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 由克萊姆法則得， 法二：（公式法）令函數(shù)， ， 3． 設(shè)，求. 法一：（隱函數(shù)法）兩邊關(guān)于求導(dǎo)得： 由克萊姆法則得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 由克萊姆法則得 法二：（公式法）令函數(shù)，

8、 4．設(shè)滿足方程，都有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). 證明： 證明：由方程組確定隱函數(shù)。 故由得，解得 又方程確定，故， 則 6． 設(shè)，函數(shù)由方程確定，若都可微， 為連續(xù)函數(shù)，證明： 證明：由得，。 方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，即 方程兩邊關(guān)于求導(dǎo)得，，即 故 §6 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 1． 求下列曲線在指定點處的切線方程和法平面方程： （1）在點； 解，在點處， 故點處切向量為即，故： 切線：，法平面：； （2）在點處； 解，在點處，在點處切向量為 切線：，法平面： （3）在點處. 法一：令， 則，，， 故在點處切向量為 即 切線：，法

9、平面：. 法二：令，，則 ，，，，`， 故曲面在處法向量為 即為 在處法向量，故 故在點處切向量為 切線：，法平面： （注：曲線在處的切向量為曲面， 在處法向量的向量積） 2．求曲線上的點，使該點的切線平行于平面. 解：在點處曲線的切向量為，又平面的法向量為，故 ，即，解得。 故在及點處的切線平行于平面 3．證明：螺旋線上任何點處的切線與軸成定角. 證明：切向量為， 故切線與軸所成角的余弦為 故任何點處的切線與軸成定角 4．求下列曲面在指定點處的切平面方程和法線方程： （1），在處； 令則 ，，， 故在處法向量為，即 故切平面：，法線：或

10、 （2），在處. 令則，， 故在處法向量為，即 故切平面：，法線：. 5．在曲面上求一點，使該點處的法線垂直于平面 解：設(shè)滿足題意的點為， 令，則在點的法向量為， 平面的法向量為。 點處的法線垂直于平面，只需要點的法向量與平面的法向量平行。 這只需，得，又得， 故滿足題意的點為（-3，-1，3） 7． 證明曲面上任一點處切平面與各坐標(biāo)面所圍成的四面體體積為定值 證明：易知任意一點處的法向量為， 則切平面方程為， 即（注） 所以截距分別為，，， 故四面體體積為，為定值。 8． 試證曲面上任何點處的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為 證明：易知任意一點處的法向量為

11、 則切平面方程為， 即（注） 所以截距分別為 截距和 §7 方向?qū)?shù)與梯 1． 求下列函數(shù)在指定點處沿指定方向的方向?qū)?shù) （1）在處沿從到方向； 解：方向， 故， 又， （2）在點，沿的方向?qū)?shù)； 由得，， ，， （3）求函數(shù)在球面上點沿球面在該點的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù). 分析：一般來說球面上點法線可以為即，也可以為，但該題要求內(nèi)法線方向（即法線指向球內(nèi)），在點內(nèi)法線方從軸來看就是朝下，故點沿球面在該點的內(nèi)法線方向為。思考在沿球面在該點的內(nèi)法線方向為？[] 解點沿球面在該點的內(nèi)法線，故 ，， ，， 2．求函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。求的值，使

12、函數(shù)在該點的方向?qū)?shù)有： （1）最大值；（2）最小值；（3）等于零. 解：，， 又方向， ，故 ，故 （1）；（2）；（3） 3．求函數(shù)在點的梯度和方向?qū)?shù)的最大值. 解：，，，故。 的方向?qū)?shù)的最大值為 4．求在點處方向?qū)?shù)的最大值. 解：，， ，故 在點處方向?qū)?shù)的最大值 5．已知函數(shù)由方程所確定，求使grad的點. 解由，，有， 若grad當(dāng)且僅當(dāng) 6．設(shè)二元函數(shù)都可微，證明： （1） （2） 證明：（1） （2） §8 極值與最值 1． 判斷題： （1）梯度的方向是函數(shù)值變化最快的方向.（√） （2）函數(shù)在某一點的方向?qū)?shù)的最大值

13、等于函數(shù)在該點處的梯度的模.（√） （3）函數(shù)在駐點處沿軸正向的方向?qū)?shù)等于零.（√） （注：函數(shù)沿軸正向的方向?qū)?shù)等于右偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)等于左偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)） （4）函數(shù)在駐點處沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)也等于零.（√） 注：函數(shù)沿軸正向的方向?qū)?shù)等于右偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)沿軸負(fù)向的方向?qū)?shù)等于左偏導(dǎo)數(shù)的相反數(shù)） （5）極值點一定是駐點.（×）（極值點可能是不可導(dǎo)點） （6）駐點一定是極值點.（×）（例在處） （7）最大值點一定是極大值點.（× ）（極值點是內(nèi)點，但最值點可能不是內(nèi)點而是邊界點） （8）最小值點一定是極小值點.（ ×） 2．求下列函數(shù)的極值： （1）； 解

14、：無不可導(dǎo)點；由得駐點。 ，， ，故， 且，所以（-1，1）處有極大值 （2）； 解：在無不可導(dǎo)點；由得駐點。 ，， ，故， 且，所以（5，2）處有極小值 （3）求由方程： 確定的函數(shù)的極值 解：由得駐點。此時，即。 在，， ，故，且，故是極大值 在，， ，故，且，故是極小值。 （注：令，，由于方程確定的是函數(shù)，故，即，故不予考慮） 3．求下列函數(shù)在指定閉區(qū)域的最大值與最小值. （1），是以，和為頂點的三角形； 解：由得，不是閉區(qū)域的駐點。 記： （1）在上 ，此時 計算易得在上最小值為最大值為 （2）在上 ，此時 計算易得在上最小值

15、為最大值為 （3）在上 ， 此時 計算易得在上最小值為最大值為 故在閉區(qū)域上最大值為11，最小值為2； （2）在區(qū)域 解 由得，在閉區(qū)域上由駐點，計算 在閉區(qū)域的邊界上 則在邊界上最大值為25，最小值21 故在閉區(qū)域上最大值為25，最小值為9 4．從斜邊為的所有直角三角形中，求有最大周長者 解：設(shè)直角邊為，則問題為在約束條件求的最大值。 令 由是唯一駐點。 故時， 5．將周長為的矩形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)，問矩形各邊為多少時，所得圓柱體體積最大？ 解：設(shè)轉(zhuǎn)軸所在邊長為另一邊為，則問題為在約束條件即下的最大值。 令 由是唯一駐點。 故當(dāng)矩形的邊長為及時，繞短邊旋

16、轉(zhuǎn)所得圓柱體的體積最大 6．求橢球面第一卦限上的一點，使得此點處的切平面與三坐標(biāo)面所圍成的體積最小 解：橢球面在點處法線為， 故在點切平面為即 （因為） 故切平面與三坐標(biāo)軸的截距為 則問題為在約束條件下的最小值。 易知在約束條件下的最小值點為在約束條件下的最大值點 令 得 由得，又得 唯一駐點，故 7．求內(nèi)接于半徑為的球的具有最大體積的長方體 解：設(shè)內(nèi)接于半徑為的球的長方體長寬高分別為，則問題為在約束條件下的最大值。 令 由 故長方體各邊長均為時，內(nèi)接長方體的體積最大 9． 求直線上的點M0，使M0到點的距離最短 解：設(shè)所求點為，則問題為在約束條件和求最

17、小值。 在約束條件和求最小值點是在約束條件和求最小值點。 令 由 故所求點為 10． 欲建一個無蓋的長方體容器。已知底部造價為每平方米3元，側(cè)面造價為每平方米1元，現(xiàn)用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸 解；設(shè)長寬高分別為米， 則問題為在約束條件求最大值。 令 由得又 得。故所求長，寬，高 第八章自測題 1．填空題 （1）函數(shù)在點 （可多選） （A） 連續(xù)；（B）偏導(dǎo)數(shù)存在；（C）可微； （D）以上答案都不對. 對 當(dāng)時不同時不同，故不存在，故不連續(xù) 故偏導(dǎo)數(shù)存在。 不連續(xù)自然不可微 2）設(shè)，其中，，則 （3）設(shè)，其中

18、具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則=. (4)函數(shù)在曲線的點處，沿曲線在 該點的切線正方向（對應(yīng)于增大的方向）的方向?qū)?shù)為 . 曲線在點的切線正方向， 方向?qū)?shù)為 （5）設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由方程=0所確定.則= 兩邊關(guān)于求導(dǎo) 得 兩邊關(guān)于求導(dǎo)得 得 2．求在條件下的極值. 解：令由 故極小值 2． 求曲面上同時垂直于平面與平面的切平面方程 解：曲面在處的法向量為，平面與平面的法向量分別為， 由切平面方程同時垂直于平面與平面得 即， 又得或 在點的法向量為此切平面為 在點的法向量為此切平面為 4．證明：曲面上任意點處的切平面在各坐標(biāo)軸上截距的平方和等于常數(shù). 證明：：曲面在點處法線為， 故在點切平面為即 （因為） 故切平面在各坐標(biāo)軸上截距分別為， 5．在橢球面上求一點，使函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大 解：故 問題為在約束條件求最大值 令 由得 即橢球面在函數(shù)在該點沿方向的方向?qū)?shù)最大。 6．已知三角形的周長為，求出這樣的三角形，當(dāng)繞著自己的一邊旋轉(zhuǎn)時，所構(gòu)成的體積最大？。h x 解：設(shè)旋轉(zhuǎn)邊長為，另外兩邊為,則三角形面積為 則，故旋轉(zhuǎn)時，所構(gòu)成的體積， 問題為在約束條件求最大值 令 故三邊長為，且繞邊長為的一邊旋轉(zhuǎn)時，有最大體積