2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列同步練習 文.doc
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2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列同步練習 文1了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)2了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關系分類遞增數(shù)列an1an其中nN*遞減數(shù)列an11,兩式相減可得:2n52(n1)52,an2n1,n1,nN*.當n1時,7,a114,綜上可知,數(shù)列an的通項公式為:an故選B答案:B4數(shù)列an的前n項和記為Sn,a11,an12Sn1(n1,nN),則數(shù)列an的通項公式是_解析:由an12Sn1,可得an2Sn11(n2),兩式相減,得an1an2an,an13an(n2)a22S113,a23a1,故數(shù)列an是首項為1,公比為3的等比數(shù)列an3n1.故填an3n1(n1,且nN)答案:an3n1(n1,且nN)已知數(shù)列an的前n項和Sn,求數(shù)列的通項公式,其求解過程分為三步:(1)先利用a1S1求出a1;(2)用n1替換Sn中的n得到一個新的關系,利用anSnSn1(n2)便可求出當n2時an的表達式;(3)對n1時的結果進行檢驗,看是否符合n2時an的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分n1與n2兩段來寫由遞推關系式求數(shù)列的通項公式根據下列條件,確定數(shù)列an的通項公式:(1)a12,an1ann1;(2)a11,anan1(n2);(3)a11,an13an2.解析:(1)由題意得,當n2時,ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121,符合上式,因此an1.(2)anan1(n2),an1an2,a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.當n1時,a11,上式也成立an.(3)an13an2,an113(an1),3,數(shù)列an1 為等比數(shù)列,公比q3,又a112,an123n1,an23n11.根據下列條件,確定數(shù)列an 的通項公式:(1)a11,an1an2n.(2)a11,an12nan.解析:(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2212n1.(2)由于2n,故21,22,2n1,將這n1個等式疊乘,得212(n1)2,故an2.由數(shù)列遞推式求通項公式常用方法有:累加法、累積法、構造法形如anpan1m(p、m為常數(shù),p1,m0)時,構造等比數(shù)列;形如anan1f(n)(f(n)可求和)時,用累加法求解;形如f(n)(f(n)可求積)時,用累積法求解A級基礎訓練1下列數(shù)列中,既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是()A1,B1,2,3,4,C1,D1,解析:根據定義,屬于無窮數(shù)列的是選項A、B、C(用省略號),屬于遞增數(shù)列的是選項C、D,故同時滿足要求的是選項C答案:C2數(shù)列an的前n項積為n2,那么當n2時,an()A2n1Bn2CD解析:設數(shù)列an的前n項積為Tn,則Tnn2,當n2時,an.答案:D3數(shù)列an滿足anan1(nN*),a22,Sn是數(shù)列an的前n項和,則S21為()A5BCD解析:anan1,a22,anS2111102.故選B答案:B4(xx吉林普通中學摸底)已知數(shù)列an,an2n2n,若該數(shù)列是遞減數(shù)列, 則實數(shù)的取值范圍是()A(,6B(,4C(,5D(,3解析:數(shù)列an的通項公式是關于n(nN*)的二次函數(shù),若數(shù)列是遞減數(shù)列, 則,即6.答案:A5(xx安徽合肥二檢)數(shù)列an滿足a12,an,其前n項積為Tn,則T2 014()ABC6D6解析:由an,得an1,而a12,則有a23,a3,a4,a52,故數(shù)列an是以4為周期的周期數(shù)列,且a1a2a3a41,所以T2 014(a1a2a3a4)503a1a215032(3)6.故選D答案:D6(xx海南三亞一模)在數(shù)列1,2,中,2是這個數(shù)列的第_項解析:因為a11,a22,a3,a4,a5,所以an.令an2,得n26.答案:267(xx天津六校第三次聯(lián)考)數(shù)列an中, 已知a11,a22,an1anan2(nN*),則a7_.解析:由已知an1anan2,a11,a22,能夠計算出a31,a41,a52,a61,a71.答案:18數(shù)列an的前n項和為Sn,且a11,Snnan,則an_.解析:當n2時,anSnSn1nan(n1)an1,anan1(n2)又a11,an1.答案:19數(shù)列an的通項公式是ann27n6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少?(2)150是不是這個數(shù)列的項?若是這個數(shù)列的項,它是第幾項?(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)?解析:(1)當n4時,a4424766.(2)令an150,即n27n6150,解得n16或n9(舍去),即150是這個數(shù)列的第16項(3)令ann27n60,解得n6或n1(舍)從第7項起各項都是正數(shù)10已知數(shù)列an的前n項和Sn2n22n,數(shù)列bn的前n項和Tn2bn.求數(shù)列an與bn的通項公式解析:當n2時,anSnSn1(2n22n)2(n1)22(n1)4n,當n1時,a1S14也適合,an的通項公式是an4n(nN*)Tn2bn,當n1時,b12b1,b11.當n2時,bnTnTn1(2bn)(2bn1),2bnbn1.數(shù)列bn是公比為,首項為1的等比數(shù)列bnn1.B級能力提升1定義:稱為n個正數(shù)P1,P2,Pn的“均倒數(shù)”若數(shù)列an的前n項的“均倒數(shù)”為,則數(shù)列an的通項公式為()Aan2n1Ban4n1Can4n3Dan4n5解析:,2n1,a1a2an(2n1)n;a1a2an1(2n3)(n1)(n2),當n2時,an(2n1)n(2n3)(n1)4n3;a11也適合此等式,an4n3.答案:C2下列關于星星的圖案構成一個數(shù)列,該數(shù)列的一個通項公式是_解析:從題圖中可觀察星星的構成規(guī)律,n1時,有1個;n2時,有3個;n3時,有6個;n4時,有10個;an1234n.答案:an3已知數(shù)列an滿足前n項和Snn21,數(shù)列bn滿足bn,且前n項和為Tn,設cnT2n1Tn.(1)求數(shù)列bn的通項公式;(2)判斷數(shù)列cn的增減性解析:(1)a12,anSnSn12n1(n2)anbn.(2)cnbn1bn2b2n1,cn1cn0,cn是遞減數(shù)列4已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Snan1(nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)在數(shù)列bn中,b15,bn1bnan,求數(shù)列bn的通項公式解析:(1)當n1時,S1a1a11,所以a12.由Snan1,可知當n2時,Sn1an11,得an,所以an3an1,又a10,故an10,所以3,故數(shù)列an是首項為2,公比為3的等比數(shù)列,所以an23n1.(2)由(1)知bn1bn23n1.當n2時,bnbn123n2,b3b2231,b2b1230,將以上n1個式子相加并整理,得bnb12(3n23130)523n14.當n1時,31145b1,所以bn3n14(nN*)第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和1理解等差數(shù)列的概念2掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式3能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關系,并能用有關知識解決相應的問題4了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關系1等差數(shù)列的有關概念(1)定義:如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列符號表示為an1and(nN*,d為常數(shù))(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A,其中A叫做a,b的等差中項2等差數(shù)列的有關公式(1)通項公式:ana1(n1)d.(2)前n項和公式:Snna1d.1等差數(shù)列的性質已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是其前n項和(1)通項公式的推廣:anam(nm)d(n,mN*)(2)若klmn(k,l,m,nN*),則akalaman.(3)若an的公差為d,則a2n也是等差數(shù)列,公差為2d.(4)若bn是等差數(shù)列,則panqbn也是等差數(shù)列(5)數(shù)列Sm,S2mSm,S3mS2m,構成等差數(shù)列2等差數(shù)列的四種判斷方法(1)定義法:an1and(d是常數(shù))an是等差數(shù)列(2)等差中項法:2an1anan2(nN*)an是等差數(shù)列(3)通項公式:anpnq(p,q為常數(shù))an是等差數(shù)列(4)前n項和公式:SnAn2Bn(A、B為常數(shù))an是等差數(shù)列1判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列()(2)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an1anan2.()(3)等差數(shù)列an的單調性是由公差d決定的()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)()(5)數(shù)列an滿足an1ann,則數(shù)列an是等差數(shù)列()(6)已知數(shù)列an的通項公式是anpnq(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知在等差數(shù)列an中,a27,a415,則前10項和S10()A100B210C380D400解析:因為a27,a415,所以d4,a13,故S101031094210.答案:B3(xx北京海淀區(qū)期末)若數(shù)列an滿足:a119,an1an3(nN*),則數(shù)列an的前n項和數(shù)值最大時,n的值為()A6B7C8D9解析:a119,an1an3,數(shù)列an是以19為首項,3為公差的等差數(shù)列,an19(n1)(3)223n.答案:B4(xx重慶卷)若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則ca_.解析:設公差為d,2,a,b,c,9成等差數(shù)列,924d,d.又ca2d,ca2.答案:5在等差數(shù)列40,37,34,中,第一個負數(shù)項是_解析:a140,d37403,an40(n1)(3)3n43,令an0,即3n430,解得n,故第一個負數(shù)項是第15項,即a15315432.答案:2等差數(shù)列的基本運算1(xx福建卷)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a12,S312,則a6等于()A8B10C12D14解析:因為S33a1d32d12,所以d2.所以a6a1(61)d25212.故選C答案:C2(xx天津卷)設an是首項為a1,公差為1的等差數(shù)列,Sn為其前n項和若S1,S2,S4成等比數(shù)列,則a1的值為_解析:由已知得S1a1,S2a1a22a11,S44a1(1)4a16,而S1,S2,S4成等比數(shù)列,所以(2a11)2a1(4a16),整理得2a110,解得a1.答案:3(xx福建福州一模)已知等差數(shù)列an,其中a1,a2a54,an33,則n的值為_解析:在等差數(shù)列an中,a2a52a15d5d4,所以d,又an(n1)33,解得n50.答案:504已知an2n27,則a1a4a7a3n2_.解析:由an2n27,知a3n26n31,故a3n2是首項為25,公差為6的等差數(shù)列從而a1a4a7a3n2(a1a3n2)(6n56)3n228n.答案:3n228n等差數(shù)列基本運算的通性通法(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉化為方程(組)求解(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個,體現(xiàn)了方程的思想等差數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an滿足:a12,an13an3n12n.設bn.證明:數(shù)列bn為等差數(shù)列,并求an的通項公式證明:bn1bn1,bn為等差數(shù)列,又b10.bnn1,an(n1)3n2n.1已知數(shù)列an中,a12,an2(n2,nN*)設bn(nN*),求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列證明:an2,an12.bn1bn1,bn是首項為b11,公差為1的等差數(shù)列2在數(shù)列an中,a11,3anan1anan10(n2)(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式解析:(1)證明:將 3anan1anan10(n2)整理得3(n2)所以數(shù)列是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列(2)由(1)可得13(n1)3n2,所以an.3(xx新課標全國卷)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù)(1)證明:an2an;(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由解析:(1)證明:由題設知anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.(2)由題設知a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列an為等差數(shù)列等差數(shù)列的判定方法大全(1)等差數(shù)列的判定通常有兩種方法:第一種是定義法,anan1d(常數(shù))(n2);第二種方法是利用等差中項,即2anan1an1(n2)(2)解答選擇題和填空題時也可以用通項公式與前n項和公式直接判定(3)若判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列,則只需要說明某連續(xù)3項(如前三項)不是等差數(shù)列即可等差數(shù)列的性質(1)設數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列,且a125,b175,a2b2100,則a37b37等于()A0B37C100D37(2)(xx北京卷)若等差數(shù)列an滿足a7a8a90,a7a100,即a80;而a7a10a8a90,故a9aaaaa6),則數(shù)列an的項數(shù)n_.解析:由題意知a1a2a636,anan1an2an5180,得(a1an)(a2an1)(a6an5)6(a1an)216,a1an36,又Sn324,18n324,n18.答案:184在等差數(shù)列an中,已知a120,前n項和為Sn,且S10S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值解析:法一:a120,S10S15,1020d1520d,d.an20(n1)n.a130.即當n12時,an0,n14時,an60n800?若存在,求n的最小值;若不存在,說明理由解析:(1)設等差數(shù)列an的公差為d.a1,a2,a5成等比數(shù)列,aa1a5,即(a1d)2a1(a14d),解得d0或d4.an2或an4n2.(2)當an2時,Sn2n.由2n60n800及nN*得n無解;當an4n2時,Sn2n2,由2n260n800得n40.nN*,n的最小值為41.B級能力提升1數(shù)列an滿足a11,an1ranr(nN*,rR且r0),則“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件解析:當r1時,易知數(shù)列an為等差數(shù)列;由題意易知a22r,a32r2r,當數(shù)列an是等差數(shù)列時,a2a1a3a2,即2r12r2r,解得r或r1,當r時,an1,故“r1”是“數(shù)列an為等差數(shù)列”的充分不必要條件,選A答案:A2已知數(shù)列an是首項為a,公差為1的等差數(shù)列,bn,若對任意的nN*,都有bnb8成立,則實數(shù)a的取值范圍為_解析:依題意得bn1,對任意的nN*,都有bnb8,即數(shù)列bn的最小項是第8項,于是有.又數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列,因此有,即,由此解得8a0),q2,S7127.答案:C3(xx重慶卷)對任意等比數(shù)列an,下列說法一定正確的是()Aa1,a3,a9成等比數(shù)列Ba2,a3,a6成等比數(shù)列Ca2,a4,a8成等比數(shù)列Da3,a6,a9成等比數(shù)列解析:設等比數(shù)列的公比為q,因為q3,即aa3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列故選D答案:D4在等比數(shù)列an中,已知a7a125,則a8a9a10a11_.解析:a7a125,a8a9a10a11(a8a11)(a9a10)(a7a12)225.答案:255設Sn為等比數(shù)列an的前n項和,8a2a50,則_.解析:8a2a50,8a2a5,即8.q38,q2.11.答案:11等比數(shù)列的基本運算1(xx北京朝陽一模)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,a12,a2a312,則該數(shù)列的前4項和為_解析:設等比數(shù)列an的公比為q,由a12,a2a312,則a1qa1q212,解得q2,故S430.答案:302(xx揚州中學期中測試)設等比數(shù)列an的各項均為正數(shù),其前n項和為Sn,若a11,a34,Sk63,則k_.解析:設等比數(shù)列an公比為q,由已知a11,a34,得q24.又an的各項均為正數(shù),q2.而Sk63,2k163,解得k6.答案:63已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列,且aa10,2(anan2)5an1,則數(shù)列an的通項公式an_.解析:設數(shù)列an的首項為a1,公比為q,aa10,2(anan2)5an1,由得a1q,由知q2或q,又數(shù)列an為遞增數(shù)列,a1q2,從而an2n.答案:2n4設等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a26,6a1a330,求an和Sn.解析:設an的公比為q,由題意得解得或,當a13,q2時,an32n1,Sn3(2n1);當a12,q3時,an23n1,Sn3n1.1.等比數(shù)列基本運算方法(1)使用兩個公式,即通項公式和前n項和公式(2)使用通項公式的變形:anamqnm(m,nN*)2等比數(shù)列前n項和公式的應用在使用等比數(shù)列前n項和公式時,應首先判斷公比q能否為1,若能,應分q1與q1兩種情況求解等比數(shù)列的判定與證明已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且anSnn.(1)設cnan1,求證:cn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式解析:(1)證明:anSnn,an1Sn1n1.得an1anan11,2an1an1,2(an11)an1,.首項c1a11,又a1a11,a1,c1.又cnan1,故cn是以為首項,為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知cnn1nan1n.1已知數(shù)列an的首項a15,前n項和為Sn,且Sn12Snn5(nN*)證明數(shù)列an1是等比數(shù)列證明:由已知Sn12Snn5(nN*)可得當n2時,Sn2Sn1n4,兩式相減得Sn1Sn2(SnSn1)1,即an12an1,從而an112(an1),當n1時,S22S115,即a2a12a16,又a15,所以a211,從而a212(a11)故an112(an1),對nN*恒成立,又a15,a110,從而2.所以數(shù)列an1是等比數(shù)列2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a21,S1133.(1)求an的通項公式;(2)設bnan,求證:bn是等比數(shù)列,并求其前n項和Tn.解析:(1)依題意有解得,an.(2)證明:bnn,為常數(shù)bn是以為首項,為公比的等比數(shù)列,Tn1n.3已知數(shù)列an和bn滿足a1,an1ann4,bn(1)n(an3n21),其中為實數(shù),n為正整數(shù)(1)證明:對任意實數(shù),數(shù)列an不是等比數(shù)列;(2)證明:當18時,數(shù)列bn是等比數(shù)列證明:(1)假設存在一個實數(shù),使an是等比數(shù)列,則有aa1a3,即22492490,矛盾所以an不是等比數(shù)列(2)bn1(1)n1an13(n1)21(1)n1(1)n(an3n21)bn.又18,所以b1(18)0.由上式知bn0,所以(nN*)故當18時,數(shù)列bn是以(18)為首項,為公比的等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法(1)定義法:若q(q為非零常數(shù),nN*)或q(q為非零常數(shù),且n2,nN*),則an是等比數(shù)列;(2)中項公式法:若數(shù)列an中,an0,且aanan2(nN*),則數(shù)列an是等比數(shù)列;(3)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列,則只需判定某連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可等比數(shù)列的性質(1)(xx山東淄博期末)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù),且a3a92a,a22,則a1()ABCD2(2)(xx廣東珠海質量監(jiān)測)等比數(shù)列an共有奇數(shù)項,所有奇數(shù)項和S奇255,所有偶數(shù)項和S偶126,末項是192,則首項a1()A1B2C3D4解析:(1)由等比數(shù)列的性質得a3a9a2a,q0,a6a5,q,a1,故選C(2)設等比數(shù)列an共有2k1(kN*)項,則a2k1192,則S奇a1a3a2k1a2k1(a2a4a2k)a2k1S偶a2k1192255,解得q2,而S奇255,解得a13,故選C答案:(1)C(2)C1(xx北京豐臺一模)已知等比數(shù)列an中,a2a31,a4a52,則a6a7等于()A2B2C4D4解析:因為a2a3,a4a5,a6a7成等比數(shù)列,a2a31,a4a52,所以(a4a5)2(a2a3)(a6a7),解得a6a74.答案:C2(xx鄭州模擬)在正項等比數(shù)列an中,已知a1a2a34,a4a5a612,an1anan1324,則n()A12B13C14D15解析:設數(shù)列an的公比為q,由a1a2a34aq3與a4a5a612aq12,可得q93,an1anan1aq3n3324,因此q3n68134q36,所以n14,故選C答案:C等比數(shù)列常見性質的應用等比數(shù)列的性質可以分為三類:通項公式的變形;等比中項的變形;前n項和公式的變形,根據題目條件,認真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口A級基礎訓練1(xx北京海淀一模)在數(shù)列an中,“an2an1,n2,3,4,”是“an是公比為2的等比數(shù)列”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析:當an0時,滿足an2an1,n2,3,4,但a n是等差數(shù)列,不是等比數(shù)列,故充分性不成立;又當an是公比為2的等比數(shù)列時,有2,n2,3,4,即an2an1,n2,3,4,所以必要性成立,故選B答案:B2(xx河北衡水中學五調)已知等比數(shù)列an的公比q2,且2a4,a6,48成等差數(shù)列,則an的前8項和為()A127B255C511D1 023解析:2a4,a6,48成等差數(shù)列,2a62a448,2a1q52a1q348,又q2,a11,S8255.答案:B3(xx遼寧沈陽模擬)已知數(shù)列an滿足log3an1log3an1(nN*)且a2a4a69,則log(a5a7a9)的值是()A5BC5D解析:由l- 配套講稿:
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- 2019-2020年高考數(shù)學大一輪復習 第五章 數(shù)列同步練習 2019 2020 年高 數(shù)學 一輪 復習 第五 數(shù)列 同步 練習
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