《貴州省貴陽市花溪第二中學(xué)九年級數(shù)學(xué)競賽講座 第三講 充滿活力的韋達(dá)定理(含答案)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《貴州省貴陽市花溪第二中學(xué)九年級數(shù)學(xué)競賽講座 第三講 充滿活力的韋達(dá)定理(含答案)(7頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第三講 充滿活力的韋達(dá)定理 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,通常也稱為韋達(dá)定理,這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的 韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用廣泛,主要表達(dá)在: 運(yùn)用韋達(dá)定理,求方程中參數(shù)的值; 運(yùn)用韋達(dá)定理,求代數(shù)式的值; 利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式,討論根的符號特征; 利用韋達(dá)定理逆定理,構(gòu)造一元二次方程輔助解題等 韋達(dá)定理具有對稱性,設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的根本思路韋達(dá)定理,充滿活力,它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合,生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題,而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】 、是方程的兩個實(shí)數(shù)根,那
2、么代數(shù)式的值為 思路點(diǎn)撥 所求代數(shù)式為、的非對稱式,通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù),且,那么的值為( ) A B或2 C D或2思路點(diǎn)撥 可將兩個等式相減,得到、的關(guān)系,由于兩個等式結(jié)構(gòu)相同,可視、為方程的兩實(shí)根,這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注:應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值,一般是關(guān)于、的對稱式,這類問題可通過變形用+、表示求解,而非對稱式的求值常用到以下技巧:(1)恰當(dāng)組合;(2)根據(jù)根的定義降次;(3)構(gòu)造對稱式【例3】 關(guān)于的方程: (1)求證:無論m取什么實(shí)數(shù)值,這個方程總有兩個相異實(shí)根 (2)假設(shè)這個方程的兩個實(shí)根、滿足,求m的值及相應(yīng)的、思路點(diǎn)
3、撥 對于(2),先判定、的符號特征,并從分類討論入手【例4】 設(shè)、是方程的兩個實(shí)數(shù)根,當(dāng)m為何值時,有最小值?并求出這個最小值 思路點(diǎn)撥 利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示,再從配方法入手,應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(0)進(jìn)行的注:應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根,即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時,須滿足判別式0這一條件,轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法,但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價性【例5】 :四邊形ABCD中,ABCD,且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)當(dāng)m2和m2時,四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由(2)假設(shè)M、N分別是AD、BC的中點(diǎn),線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P,Q,PQ1,且ABBC)的長是關(guān)于的方程的兩個根(1)求rn的值;2假設(shè)E是AB上的一點(diǎn),CFDE于F,求BE為何值時,CEF的面積是CED的面積的,請說明理由 16設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù),使得關(guān)于的方程工有兩個不相等的實(shí)數(shù)根、(1) 假設(shè),求m的值(2) 求的最大值 17如圖,在ABC中,ACB=90,過C作CDAB于D,且ADm,BD=n,AC2:BC22:1;又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192,求整數(shù)m、n的值18設(shè)、為三個不同的實(shí)數(shù),使得方程和和有一個相同的實(shí)數(shù)根,并且使方程和也有一個相同的實(shí)數(shù)根,試求的值 參考答案