高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強(qiáng)化提升:4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用
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一、選擇題1一輛卡車寬1.6m,要經(jīng)過一個半圓形隧道(半徑為3.6m)則這輛卡車的平頂車篷篷頂距地面高度不得超過()A1.4m B3.5mC3.6m D2.0m答案B解析圓半徑OA3.6,卡車寬1.6,AB0.8,弦心距OB3.5.2與圓x2y2ax2y10關(guān)于直線xy10對稱的圓的方程是x2y24x30,則a()A0 B1C2 D3答案C解析x2y24x30化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x2)2y21,圓心為(2,0),(2,0)關(guān)于直線xy10對稱的點(diǎn)為(1,1),x2y2ax2y10的圓心為(1,1)x2y2ax2y10,即為(x)2(y1)2,圓心為(,1),1,即a2.3直線2xy0與圓C:(x2)2(y1)29交于A、B兩點(diǎn),則ABC(C為圓心)的面積等于()A2 B2C4 D4答案A解析圓心到直線的距離d,|AB|24,SABC42.4點(diǎn)P是直線2xy100上的動點(diǎn),直線PA、PB分別與圓x2y24相切于A、B兩點(diǎn),則四邊形PAOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積的最小值等于()A24 B16C8 D4答案C解析四邊形PAOB的面積S2|PA|OA|22,當(dāng)直線OP垂直直線2xy100時,其面積S最小5若直線axby1與圓x2y21相交,則點(diǎn)P(a,b)的位置是()A在圓上 B在圓外C在圓內(nèi) D以上都不對答案B解析由1.6(2008年山東高考題)已知圓的方程為x2y26x8y0.設(shè)該圓過點(diǎn)(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為()A10 B20C30 D40答案B解析圓心坐標(biāo)是(3,4),半徑是5,圓心到點(diǎn)(3,5)的距離為1,根據(jù)題意最短弦BD和最長弦(即圓的直徑)AC垂直,故最短弦的長為24,所以四邊形ABCD的面積為ACBD10420.7方程kx2有唯一解,則實(shí)數(shù)k的范圍是()AkBk(2,2)Ck2Dk2或k3答案D解析由題意知,直線ykx2與半圓x2y21(y0只有一個交點(diǎn)結(jié)合圖形易得k2或k.8(拔高題)臺風(fēng)中心從A地以每小時20 km的速度向東北方向移動,離臺風(fēng)中心30 km內(nèi)的地區(qū)為危險地區(qū),城市B在A的正東40 km外,B城市處于危險區(qū)內(nèi)的時間為()A0.5 h B1 hC1.5 h D2 h答案B解析建系后寫出直線和圓的方程,求得弦長為20千米,故處于危險區(qū)內(nèi)的時間為1(h)二、填空題9已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2y24x10.則xy的最大值和最小值分別是_和_的最大值和最小值分別是_和_x2y2的最大值和最小值分別是_和_答案2,2;1,1;74,74解析(1)設(shè)xyb則yxb與圓x2y24x10有公共點(diǎn),即,2b2故xy最大值為2,最小值為2(2)設(shè)k,則ykx與x2y24x10有公共點(diǎn),即k,故最大值為,最小值為(3)圓心(2,0)到原點(diǎn)距離為2,半徑r故(2)2x2y2(2)2由此x2y2最大值為74,最小值為74.10如下圖所示,一座圓拱橋,當(dāng)水面在某位置時,拱頂離水面2 m,水面寬12 m,當(dāng)水面下降1 m后,水面寬為_m.答案2解析如下圖所示,以圓拱拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn),以過拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知得A(6,2),B(6,2)設(shè)圓的半徑為r,則C(0,r),即圓的方程為x2(yr)2r2.將點(diǎn)A的坐標(biāo)(6,2)代入方程,解得r10.圓的方程為x2(y10)2100.當(dāng)水面下降1 m后,可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,3)(x00),將A的坐標(biāo)(x0,3)代入方程,求得x0.所以,水面下降1 m后,水面寬為2x02.11已知直線x2y30與圓(x2)2(y3)29相交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),圓心為點(diǎn)C,則CEF的面積等于_答案2解析圓心C(2,3)到直線的距離為d,又R3,|EF|24.SCEF|EF|d2.12若點(diǎn)P在直線l1:xy30上,過點(diǎn)P的直線l2與曲線C:(x5)2y216相切于點(diǎn)M,則|PM|的最小值_答案4解析曲線C:(x5)2y216是圓心為C(5,0),半徑為4的圓,連接CP,CM,則在MPC中,CMPM,則|PM|,當(dāng)|PM|取最小值時,|CP|取最小值,又點(diǎn)P在直線l1上,則|CP|的最小值是點(diǎn)C到直線l1的距離,即|CP|的最小值為d4,則|PM|的最小值為4.三、解答題13如圖所示,已知直線l的解析式是yx4,并且與x軸、y軸分別交于A,B兩點(diǎn)一個半徑為1.5的圓C,圓心C從點(diǎn)(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動,當(dāng)圓C與直線l相切時,求該圓運(yùn)動的時間解析設(shè)運(yùn)動的時間為t s,則t s后圓心的坐標(biāo)為(0,1.50.5t)圓C與直線l:yx4,即4x3y120相切,1.5.解得t6或16.即該圓運(yùn)動的時間為6 s或16 s.14設(shè)有一個半徑為3 km的圓形村落,甲、乙兩人同時從村落中心出發(fā),甲向東,而乙向北前進(jìn),甲出村后不久,改變前進(jìn)方向沿著相切于村落邊界的方向前進(jìn),后來恰好與乙相遇,設(shè)甲、乙兩人的速度都一定,其比為3:1,此二人在何處相遇?解析如圖,以村落中心為坐標(biāo)原點(diǎn),以東西方向?yàn)閤軸,南北方向?yàn)閥軸建立直角坐標(biāo)系設(shè)甲向東走到D轉(zhuǎn)向到C恰好與乙相遇設(shè)D,C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(a,0),(0,b),其中a3,b3,則CD方程為1.設(shè)乙的速度為v,則甲的速度為3v.依題意,得解得乙向北走3.75 km時兩人相遇15某圓拱橋的示意圖如下圖所示,該圓拱的跨度AB是36 m,拱高OP是6 m,在建造時,每隔3 m需用一個支柱支撐,求支柱A2P2的長(精確到0.01 m)分析建系求點(diǎn)的坐標(biāo)求圓的方程求A2P2的長解析如圖,以線段AB所在的直線為x軸,線段AB的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,那么點(diǎn)A,B,P的坐標(biāo)分別為(18,0),(18,0),(0,6)設(shè)圓拱所在的圓的方程是x2y2DxEyF0.因?yàn)锳,B,P在此圓上,故有解得故圓拱所在的圓的方程是x2y248y3240.將點(diǎn)P2的橫坐標(biāo)x6代入上式,解得y2412.答:支柱A2P2的長約為1224.點(diǎn)評在實(shí)際問題中,遇到有關(guān)直線和圓的問題,通常建立坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法解決建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循三點(diǎn):若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸;常選特殊點(diǎn)作為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);盡量使已知點(diǎn)位于坐標(biāo)軸上建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,會簡化運(yùn)算過程16如圖,直角ABC的斜邊長為定值2m,以斜邊的中點(diǎn)O為圓心作半徑為n的圓,直線BC交圓于P、Q兩點(diǎn),求證:|AP|2|AQ|2|PQ|2為定值證明如上圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以直線BC為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,于是有B(m,0),C(m,0),P(n,0),Q(n,0)設(shè)A(x,y),由已知,點(diǎn)A在圓x2y2m2上|AP|2|AQ|2|PQ|2(xn)2y2(xn)2y24n22x22y26n22m26n2(定值)- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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