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1、 ...wd... 第5講 割補(bǔ)法巧算面積 四年級(jí)寒假 知識(shí)點(diǎn) 一、 割補(bǔ)法巧算面積〔四下〕 備注 課堂例題 一、 常規(guī)割補(bǔ)法 1、圖中的數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長度，試求這個(gè)多邊形的面積是__________．〔單位：厘米〕 1 2 2 3 4 5 【答案】 32平方厘米 【解析】 如以以下列圖，如果沿著豎線分割，延長BC、ED分別交HG于K、L．由厘米，厘米，可得長方形ABKH的面積是平方厘米；由厘米，厘米，可得長方形CDLK的面

2、積是平方厘米；由厘米，厘米，可得長方形EFGL的面積是平方厘米．所以所求圖形的面積是平方厘米． 1 2 2 3 4 5 A B C D E F G L H K 2、如以以下列圖，在正方形ABCD內(nèi)部有一個(gè)長方形EFGH．正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AH都等于2厘米，求長方形EFGH的面積=__________． A B C D E H F G 【答案】 16平方厘米 【解析】 由AE、AH都等于2厘米，可得等腰Rt△AEH的面積是平方厘米． 由△AEH是等腰三角形，推出∠AEH是45．又因?yàn)椤螰EH是90，所以

3、．因?yàn)椤鰾EF是直角三角形，所以，因此△BEF是等腰三角形．如以以下列圖所示： A B C D E H F G 45° 45° 45° 45° 由厘米，可得等腰Rt△BEF的面積是平方厘米．同理，得等腰Rt△CFG和等腰Rt△DGH的面積分別是2平方厘米和8平方厘米．長方形EFGH的面積等于大正方形ABCD的面積減去角上四個(gè)等腰直角三角形的面積，為平方厘米． 3、〔2011年金帆五升六〕右圖中，， ， ， ，則四邊形的面積是_____平方厘米． 【答案】 46 【解析】 連結(jié)．，， ． 4、如圖，直角三角形ABC的三邊長分別為分米，分米，分米，ED垂

4、直于AC，且厘米．問正方形BFEG的邊長是多少厘米 A B C D F E G 圖14-30 【答案】 35厘米 【解析】 把AE、BE、CE連接起來，把直角△ABC分成了三局部：△ACE、△ABE和△CBE．直角△ABC的面積就是平方分米． 而△ACE的底邊分米，高分米〔95厘米〕，它的面積是平方分米，那么△ABE和△CBE之和就是平方分米． 在△ABE和△CBE中，底邊分別是AB和BC，高都是正方形的邊長．利用乘法分配律，它們的面積之和為．于是它們的高為分米． 因此正方形邊長為3.5分米，即35厘米． A B C D F E G 二、

5、分割為假設(shè)干塊全等圖形 5、如以以下列圖，大正方形的邊長為10厘米，連接大正方形的各邊中點(diǎn)得到一個(gè)小正方形，將小正方形每邊三等分，再將三等分點(diǎn)與大正方形的中心和一個(gè)頂點(diǎn)相連．請(qǐng)問：圖中陰影局部的面積總和等于____________平方厘米 【答案】 50平方厘米 【解析】 如圖1，發(fā)現(xiàn)空白三角形①與陰影三角形⑤是大小、形狀都一樣的兩個(gè)三角形，所以面積也相等．這樣的三角形還有3對(duì)：②和⑥，③和⑦，④和⑧．這四個(gè)陰影三角形面積和與四個(gè)空白三角形的面積和相等．將陰影三角形⑤補(bǔ)到空白三角形①的位置，其余3對(duì)也類似操作．這樣陰影圖形變成如以以下列圖2形式，可以看出，陰影局部的面積總和與空白局部

6、的面積總和相等，從以以下列圖3中可以很明確看出這一點(diǎn)；因此陰影局部的面積總和就等于大正方形面積的一半，為平方厘米． ① ⑤ ⑥ ② ③ ④ ⑦ ⑧ 圖1 圖2 圖3 6、如圖，把兩個(gè)一樣的正三角形的各邊分別取三等分點(diǎn)和四等分點(diǎn)，并連接這些等分點(diǎn)．圖1中陰影局部的面積是16平方厘米．請(qǐng)問：圖2中陰影局部的面積是____________平方厘米． 圖1 圖2 【答案】 12 【解析】 大三角形的面積是不變的，所以圖2中陰影三角形的面積和是平方厘米． 7、如以以下列圖，在兩個(gè)

7、一樣的等腰直角三角形中各作一個(gè)正方形，如果正方形A的面積是36平方厘米，那么正方形B的面積是多少平方厘米 A B 【答案】 32平方厘米 【解析】 將第一個(gè)等腰直角三角形劃分如下左圖，從圖中可看出：第一個(gè)等腰直角三角形被分成4等份，正方形A占其中2份．所以大等腰直角三角形的面積是平方厘米．將第二個(gè)等腰直角三角形劃分如下右圖，從圖中可以看出：第二個(gè)等腰直角三角形被分成9等份，正方形B占其中4份．所以正方形B的面積是平方厘米． 8、大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中方式切割〔切割點(diǎn)均為等分點(diǎn)〕，形成的陰影局部面積是多少平方厘米 【答案】 24平方厘米 【解析】 如圖添

8、加輔助線，將正六邊形分割成36個(gè)面積相等的三角形，所以每一個(gè)三角形的面積是2，陰影局部面積占了12個(gè)，所以陰影局部的面積是24. ． 三、 補(bǔ)為特殊圖形 9、如以以下列圖，一個(gè)四邊形的兩條邊的長度和三個(gè)角的度數(shù)，這個(gè)四邊形的面積是多少平方厘米〔單位：厘米〕 45o 3 7 【答案】 20平方厘米 【解析】 如圖，延長四邊形的兩邊，把它補(bǔ)成一個(gè)大三角形．從條件可以知道，這是一個(gè)直角邊長為7的等腰直角三角形，而陰影局部是一個(gè)直角邊長為3的等腰直角三角形．原來四邊形面積就等于這兩個(gè)三角形面積之差．所以四邊形面積為平方厘米． 7 3 45o 10、如圖，一個(gè)六邊形的

9、內(nèi)角都是120°，其邊長如以以下列圖，那么這個(gè)六邊形的面積是邊長為1的正三角形面積的多少倍 【答案】 67 【解析】 將上圖補(bǔ)全如以以下列圖，是一個(gè)邊長為9的正三角形，最上方是一個(gè)變成為1的正三角形，左下方為邊長為3的小正三角形，右下角是一個(gè)邊長為2的小正三角形，將邊長為9的正方形分割可以得到81個(gè)邊長為1的正三角形，邊長為3的正三角形分割可以得到9個(gè)邊長為1的正三角形，邊長為2的正三角形可以分割出4個(gè)邊長為1的正三角形，所以原六變形的面積相當(dāng)于個(gè)邊長為1的正三角形 ． 四、 復(fù)雜問題 11、以以下列圖是一個(gè)正方格，每個(gè)最小正方格的面積都是1，請(qǐng)?jiān)趫D中以給出點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為1

10、3的正方形． 【答案】 答案如以以下列圖 【解析】 大正方形的面積是25，角上的四個(gè)三角形的面積相等，所以小正方新的面積可以用大正方形的面積減去四個(gè)小三角形的面積等于滿足 ． 12、正12邊形的邊長為1厘米，陰影局部都是正三角形〔邊長也為1厘米〕，如以以下列圖．那么空白局部面積等于多少平方厘米 【答案】 6平方厘米 【解析】 由于正十二邊形的內(nèi)角為，又，因此每個(gè)內(nèi)角的大小等于一個(gè)直角加上一個(gè)正三角形的內(nèi)角．正十二邊形和正三角形的各邊長度都相等，將正三角形內(nèi)部的頂點(diǎn)間隔著連起來，可以得到一個(gè)邊長是1厘米的正六邊形．一方面，正十二邊形整體的面積等于，另一方面，正十二邊形的面積可

11、以看做是．很顯然陰影局部面積相當(dāng)于12個(gè)小正三角形，而正六邊形面積相當(dāng)于6個(gè)小正三角形，兩者一對(duì)比，很容易發(fā)現(xiàn)空白局部面積等于6個(gè)小正方形的面積，即6平方厘米． 13、以以下列圖為一個(gè)邊長為2厘米的正方形，分別連接頂點(diǎn)與對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)．圍成的陰影局部的面積為多少平方厘米 1 1 1 1 1 1 1 1 【答案】 0.8平方厘米 【解析】 方法一：以中間的陰影正方形為標(biāo)準(zhǔn)，可以把圖形補(bǔ)成如圖1形式．如果中間的陰影正方形面積是1份，那么原來的大正方形面積是5份．而原來正方形的邊長是2厘米．所以陰影局部的面積是平方厘米． 方法二：參照中間陰影正方形的方向，同樣也可以把大正

12、方形作一個(gè)剪拼，如圖2．可看出整個(gè)大正方形正好使陰影局部的5倍．所以陰影面積為平方厘米． 方法三：如圖3，將大正方形分割成20個(gè)三角形，可以看出陰影局部正好是其中4塊． 圖1 圖2 圖3 隨堂練習(xí) 1、圖中的數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長度，試求下面多邊形的面積〔單位：厘米〕 【答案】 78平方厘米 【解析】 如圖將圖形分割成三個(gè)長方形，所以多邊形的面積是平方厘米 ． 2、如以以下列圖，在正方形ABCD內(nèi)部有三角形CEF正方形ABCD的邊長是6厘米，圖中線段AE、AF都等于2厘米．求三角形CEF的面積． 【答案】 12平方厘米 【解析】 正方形的面積是36平方

13、厘米，三角形AEF的面積是2平方厘米，三角形BEC和DFC的面積是12平方厘米所以三角形EFC的面積是平方厘米． 3、如以以下列圖，大三角形的面積為20平方厘米，連接大正三角形的各邊中點(diǎn)得小正三角形，將小正三角形如圖三等分．那么圖中陰影局部的面積總和等于__________平方厘米 【答案】 10平方厘米 【解析】 根據(jù)題意，得大三角形被分割成形狀、大小一樣的12個(gè)小三角形，而陰影局部占了其中的6個(gè)，所以其面積為平方厘米． 4、如圖，把兩個(gè)同樣大小的正方形分別分成和的方表格圖1陰影局部的面積是162，請(qǐng)問圖2中陰影局部的面積是多少 【答案】 150 【解析】 圖1這種大正方

14、形被分成25塊，陰影局部面積占18塊面積是162，那么每一個(gè)小正方形的面積是，大正方形的面積是，圖2中大正方形被分成了9塊，那么每個(gè)小正方形的面積是，陰影局部的面積是． 5、如圖，長方形的面積是60平方厘米，其內(nèi)3條長度相等且兩兩夾角為120°的線段將長方形分成了兩個(gè)梯形和一個(gè)三角形．請(qǐng)問：一個(gè)梯形的面積是多少平方厘米 【答案】 25平方厘米 【解析】 從以以下列圖中容易看出，△AOB、△BOE和△AOE都是頂角為的等腰三角形，它們的底角都是，因此△ABE的三個(gè)角都是，是一個(gè)正三角形． 這樣一來，△AOB、△BOE和△AOE的面積都相等，它們的面積之和是△ABE的面積，即長方形面積

15、的一半平方厘米，因此這3個(gè)三角形的面積都是平方厘米． 大長方形由2個(gè)梯形以及△AOB組成，那么1個(gè)梯形的面積就是平方厘米． A B C D E O 6、大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中不同方式切割〔切割點(diǎn)均為等分點(diǎn)〕，形成的陰影局部面積各是多少平方厘米 【答案】 18平方厘米；54平方厘米；24平方厘米 【解析】 〔1〕將正六邊形分割如以以下列圖1，整個(gè)六邊形被分成了24塊，陰影局部占4塊．所以陰影面積為平方厘米． 〔2〕可以把正六邊形按以以下列圖2方式分割，整個(gè)六邊形同樣被分成了24塊，且每個(gè)角上的空白三角形面積都等于1塊．則陰影局部占18塊．所以陰影面積

16、為平方厘米． 〔3〕觀察空白三角形：可以發(fā)現(xiàn)兩種不同形狀的三角形等底同高，面積是相等的．所以分割時(shí)只用考慮其中一種形狀就可以了．把正六邊形作如以以下列圖4分割，整個(gè)六邊形同樣被分成了18塊，陰影局部占6塊．所以陰影面積為平方厘米． 圖1 圖2 圖3 圖4 課后作業(yè) 1、以以下列圖的每個(gè)角都是直角，數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長度，圖中多邊形的面積是________． 【答案】 138 【解析】 把這個(gè)十字形橫著切兩刀，變成三個(gè)長方形，其面積是． 2、以以下列圖的每個(gè)角都是直角，數(shù)字分別表示對(duì)應(yīng)線段的長度，圖中多邊形的面積是________． 【答案】 84 【解

17、析】 通過把這個(gè)土字形進(jìn)展分割，可以得到其面積是． 3、如以以下列圖，平行四邊形的面積是12，把一條對(duì)角線四等分，將四等分點(diǎn)與平行四邊形另外兩個(gè)頂點(diǎn)相連．圖中陰影局部的面積總和是________． 【答案】 6 【解析】 將右上兩個(gè)陰影三角形切下來添到左側(cè)空白處，使其拼成一個(gè)大的三角形．陰影面積是平行四邊形面積的一半．所以陰影局部的面積是6． 4、如圖，在兩個(gè)一樣的等腰直角三角形中各作一個(gè)正方形，如果三角形A的面積是16平方厘米，那么三角形B的面積是________平方厘米． 【答案】 18 【解析】 題中左側(cè)的等腰直角三角形能夠被分成9塊面積相等的等腰直角三角形．三角形

18、A的面積是16平方厘米，可以分成2塊面積相等的等腰三角形，所以一個(gè)最小等腰三角形的面積是8平方厘米，大等腰直角三角形的面積就是平方厘米．在右側(cè)這個(gè)大等腰直角三角形可以分成4塊等大的等腰直角三角形，一塊的面積是平方厘米．所以B的面積是18平方厘米． 5、如以以下列圖，正六邊形ABCDEF的面積是36．陰影正六邊形的面積是________． 【答案】 9 【解析】 把大六邊形劃分為24個(gè)小正三角形，其中陰影局部可以分成6個(gè)小正三角形，所以大六邊形是陰影局部面積的4倍，正六邊形面積是36，陰影局部的面積是． 6、〔龍校四年級(jí)春季〕如圖，在四邊形ABCD中，，，，．求該四邊形的面積． 【答案】 16 【解析】 延長BA、CD交于E點(diǎn)，則△EAD與△BEC均為等腰直角三角形，面積分別為與，故．